Statistique Nonparam' etrique Fonctionnelle: Etude ...
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Statistique Nonparametrique Fonctionnelle:
Etude asymptotique et applications d’estimateurs
des Modes et Quantiles Conditionnels
fonctionnels
Frederic FERRATY, Ali LAKSACI et Philippe VIEU
Adresse pour coreespondance:
Laboratoire de Statistique et Probabilites
Universite Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France
vieu@cict.fr
Resume. Nous presenterons des resultats asymptotiques recents concernant des methodes
nonparametriques dans des cadres fonctionnels (c’est a dire pour des situations ou les vari-
ables aleatoires qui interviennent peuvent ^etre de dimension in nie). Nous aborderons
rapidement plusieurs problemes statistiques (regression, densite, lois conditionnelles, dis-
crimination de courbes, ...), et nous insisterons particulierement sur les resultats les plus
recents, issus de Ferraty, Laksaci et Vieu (2003), qui concernent les estimations de mode
conditionnel et de quantiles conditionnels. L’accent sera mis sur les liens entre les vitesses
de convergence et les probabilites de petites boules. En outre, l’expose sera ponctue de
diverses applications a des jeux de donnees qui sont des courbes, avec une attention par-
ticuliere pour un probleme de chimie quantitative dans lequel les approches fonctionnelles
s’imposent de maniere naturelle..
Mots cles: Modeles/Methodes non-parametriques fonctionnels, Variables fonctionnelles,
Probabilites de petites boules, Mode/Quantiles conditionnels fonctionnels, Statistique
asymptotique: vitesses de ...
Voir
Etude asymptotique et applications d’estimateurs
des Modes et Quantiles Conditionnels
fonctionnels
Frederic FERRATY, Ali LAKSACI et Philippe VIEU
Adresse pour coreespondance:
Laboratoire de Statistique et Probabilites
Universite Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France
vieu@cict.fr
Resume. Nous presenterons des resultats asymptotiques recents concernant des methodes
nonparametriques dans des cadres fonctionnels (c’est a dire pour des situations ou les vari-
ables aleatoires qui interviennent peuvent ^etre de dimension in nie). Nous aborderons
rapidement plusieurs problemes statistiques (regression, densite, lois conditionnelles, dis-
crimination de courbes, ...), et nous insisterons particulierement sur les resultats les plus
recents, issus de Ferraty, Laksaci et Vieu (2003), qui concernent les estimations de mode
conditionnel et de quantiles conditionnels. L’accent sera mis sur les liens entre les vitesses
de convergence et les probabilites de petites boules. En outre, l’expose sera ponctue de
diverses applications a des jeux de donnees qui sont des courbes, avec une attention par-
ticuliere pour un probleme de chimie quantitative dans lequel les approches fonctionnelles
s’imposent de maniere naturelle..
Mots cles: Modeles/Methodes non-parametriques fonctionnels, Variables fonctionnelles,
Probabilites de petites boules, Mode/Quantiles conditionnels fonctionnels, Statistique
asymptotique: vitesses de ...
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Langue
Français
StatistiqueNonparame´triqueFonctionnelle: Etude asymptotique et applications d’estimateurs des Modes et Quantiles Conditionnels fonctionnels
Fre´de´ricFERRATY,AliLAKSACIetPhilippeVIEU Adresse pour coreespondance: LaboratoiredeStatistiqueetProbabilite´s Universit´ePaulSabatier,118routedeNarbonne,31062ToulouseCedex,France vieu@cict.fr
Re´sume´.ohteseddtna´msedsnoretnluse´rseNose´eprusectnrse´ecnrcsnoasymtatsiqueptot nonparame´triquesdansdescadresfonctionnels(c’est`adirepourdessituationsou`lesvari-ablesale´atoiresquiinterviennentpeuventˆetrededimensioninfinie).Nousaborderons rapidementplusieursprobl`emesstatistiques(r´egression,densit´e,loisconditionnelles,dis-criminationdecourbes,...),etnousinsisteronsparticulie`rementsurlesre´sultatslesplus r´ecents,issusdeFerraty,LaksacietVieu(2003),quiconcernentlesestimationsdemode conditionnel et de quantiles conditionnels.L’accent sera mis sur les liens entre les vitesses deconvergenceetlesprobabilit´esdepetitesboules.Enoutre,l’expos´eseraponctue´de diversesapplications`adesjeuxdedonne´esquisontdescourbes,avecuneattentionpar-ticulie`repourunprobl`emedechimiequantitativedanslequellesapprochesfonctionnelles s’imposentdemanie`renaturelle..
Motscl´es:fsnobaelnnletcoiles,Mdoe`les/M´ethodesnonrap-e´maqirtfseuctonnnios,elriVa Probabilit´esdepetitesboules,Mode/Quantilesconditionnelsfonctionnels,Statistique asymptotique:vitessesdeconvergence,Statistiqueapplique´e:chimiequantitative.
Abstract.We will present several asymptotic results about nonparametric statistical methods in situations of infinite dimensional variables.We will quickly discuss different statistical problems (such as regression, density, and conditional distribution functions estimations, curves discrimination, unsupervised curves classification, ...).A special at-tention will be given to recent results, given in Ferraty, Laksaci et Vieu (2003), concerning nonparametric estimation of functional conditional mode and quantiles.In addition to the presentation of the rates of convergence (and their links with small ball probabilities considerations), several curves data applications will be presented; A special attention will be given to some chemiometrical data set for which the functional approaches are particularly well adapted. Key words:Nonparametric Functional Models/Methods, Functional Data, Small Ball Probabilities, Functional Conditional Mode/Quantiles, Asymptotic Statistics:Rates of Convergence, Applied Statistics:Spectrometric Curves Data.
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1. Introduction
L’objectifestdemontrercommentlestechniquesnon-parame´triquespeuventˆetre utilise´eslorsquelesvariablesstatistiquessontdescourbes.Onparlealorsdeproble`me doublementinfinimentdimensionne´isquuieltcremetisea`tejbo’lsiofae`alisqu,pure`ta estimere´voluentdansdesespacesdedimensioninfinie.Onparleaussidemod`ele/m´ethode Nonparame´triqueFonctionnel: leeaparNnoiruq´mteyaatrntt`aiadalneminoisnfiniudei mod`elestatistique,tandisqueleFonctionnelailbvsraelednnlees`tiartaioctonefuratanal statistiques. L’e´tudedediffe´rentsmod`eles/me´thodesdecetypeestunedespr´eoccupationsdu groupe de travail STAPH (voir [9]), et on commencera par un rapide tour d’horizon de l’e´tatdel’artdanscesdomaines(r´egressionpourvariablesfonctionnelles,discrimination de courbes, classification de variables fonctionnelles,. . .). L’accentseramissurlesde´veloppementsre´cents,issusdeFerraty,GoiaetVieu (2003), et qui concernent l’estimation dequantiles/modes conditionnels fonctionnels. Des r´esultatsdeconvergence(avecvitesses)serontdonn´es.L’expose´seraponctu´esdejeux decourbesvenantd’horizonsdivers(chimiequantitative,g´eophysique,reconnaissancevo-cale,...)avecuninte´reˆtparticulierpourunproble`medespectrom´etrieene´tudedequalite´ alimentaire.
2.Quelquesprobl`emesdestatistiquenonpame´triquefonctionnelle
Danstoutl’expos´eonselimitera`adessituationso`uXprenant ses valeursest une v.a. dansunespacevectorielabstraitsemi-me´trique(E, dionnmensdedi),meneasriceseno´nt finie,etou`YOnsuppos´eelles.noidpssoreqaeu’ltueselavrsru.vena`.ace´nu’deollitnahn 1 de couples (Xi, Yie´epi)dnsttednnatchaayanˆemecunmqiol(euX, Y) . De telles situations se rencontrent de plus en plus souvent dans de nombreux domaines d’applicationstelsquel’e´conom´etrie,lessciencesenvironnementales,lag´eophysique,la chimiequantitative,lam´edecine,...(voirFerratyetVieu,2004b,pourdenombreux exemples).Ainsidepuisunebonnedizained’anne´esetcedemani`erenaturelle,lacom-munaute´statistiques’estpr´eoccupe´dude´veloppementdemod`eles/m´ethodesadapte´sa` cessituations.Alorsquelespremie`res´etudesdanscettedirectionsesontessentiellement concentr´eessurdesmod`eleslin´eaires(voirlesmonographiesdeRamsayetSilverman, 1997etBosq,2000),lesd´eveloppementsre´cents(voirFerratyetVieu,2003,pourune´tat del’art)fonte´tatdemode`lesnonparam´etriquesadapte´sa`cetypededonn´ees. Nouspr´esenteronsrapidementquelquesunsdecesmode`les,commelemode`lede r´egressionnonparame´triquefonctionnelle(voirFerratyetVieu,2004),pourlequell’objectif estd’estimerl’ope´rateurRsssaetuj`atiecuntnem´nilriaeiamenn´e(noairecessnoiditnoed 1 VoircependantFerraty,GoiaandVieu,2002,pourdesre´sultatsdansuncontextedede´pendance
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