Statistique Inférentielle
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Statistique Inf
Statistique Inf
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 1 Statistique Inf
Chapitre 1 Outils probabilistes
I Convergence et ordre
Convergence en probabilite
Voir
Statistique Inf
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 1 Statistique Inf
Chapitre 1 Outils probabilistes
I Convergence et ordre
Convergence en probabilite
MD3
StatistiqueInf´erentielle
StatistiqueInf´erentielle
J. Rousseau4-20(20005)
Page 1
Xn−L→X
∀funitrobeee´nmil,oncE(f(Xn)) =E(f(X)) n→∞ ∀t∈RE¡eitXn¢→E¡eitX¢
⇐⇒
I Convergence et ordre
Chapitre 1 Outils probabilistes
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StatistiqueInfe´rentielle
MD3
limP(|Xn n→∞
Co ˆ nvergence presque sure:
∀ε >0
−X|> ε) = 0.
Convergence en loi:
Xn−P→X⇐⇒
⇐⇒
Convergenceenprobabilite´:
µlim sup|Xn−X|= 0¶ n→∞
J. Rousseau5)0020(-204
⇐⇒
P
= 1.
Xpn−.s→.X
Statistique Inf´rentiell e e
The´oreme1.1.1. ` p.s 1.Xn−→.X⇒Xn−P→X⇒Xn−L→X 2.Xn−P→c⇐⇒Xn−L→csicest une constante. 3. siXn−L→XetXn−Yn−P→0 alorsYn−L→X. 4. siXn−P→XetYn−P→Yalors (Xn Yn)−P→(X Y). 5. siXn−L→XetYn−P→calors (Xn Yn)−L→(X c)
Lemme 1.1.2. (Slutsky) SiXn−L→XetYn−L→co`ucest une constante alors 1.Xn+Yn−L→X+c. 2.X Y−L→cX. n n 3.Xn/Yn−L→X/csic6= 0.
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J. Rousseau)025000-42(
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StatistiqueInf´erentielle
The´ore`me1.1.3.Soitgcontinue en tout point deCtel queP(X∈ C) = 1 , alors siXn−L→X(resp.−P→,p−.s→.) alorsg(Xn)−L→g(X) (resp.−P→,−p.s→.).
Remarquons que ceci implique, sigest bornee, queEg(Xn)→Eg(X) ce qui ne permet pas, par exemple d’obtenir la convergence des moments carx→xkontnese.´ernbo
Uniformeinte´grabilit´e:la suiteXnnttigr´eleabsitsefinu´mroneme Mli→m∞linm→s∞upE¡|Xn|1|Xn|>M¢= 0.
Th´eor`eme1.1.4.(Cvdesmoments) Soitgcontinue en tout point deCtel queP(X∈C) = 1 etXn−L→X. AlorsEg(Xn)→Eg(X)⇐⇒(g(Xnlb.etneme´mrarge´tni))fonitues
MD3
J. Rousseau005)(2004-2
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StatistiqueInfe´rentielle
Ordreenprobabilite´
soit (gn) une suite de nombres positifs.
Xnest d’ordre plus petit quegne:t´aborilibpne
Xn=oP(gn)
si
Xn−P→0. gn
Xnest au plus d’ordregnilitobab´e:rpne
Xn
=OP(gn)
si
∀ε >0∃MεP(|Xn| ≥Mεgn)≤ε.
On dit aussi queXnborn´eenprobabiltie´aprtseg
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J. Rousseau002-4002(5)
n.
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>0
3.
idem pourXn=OP(fn) etYn siXn=oP(fn) etYn= 0P(gn)
XnYn=oP(fngn)
2.
=OP(gn).
oP(fngn) oP(fsn)pour s oP(max(fn gn))
XnYn |X|s n Xn+Yn
= = =
J. Rousseau(2)05204-00
MD3
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Lemme 1.1.5.
siXn=oP(fn) etYn=oP(gn) alors
1.
Corollaire 1.1.6.
1. siE(Xn2) =O(a2n) alorsXn=OP(an). 2. siE((Xn−E(Xn))2) =O(a2n) etE(Xn) =O(an) alorsXn=OP(an).
StatistiqueInf´erentielle
StatistiqueInfe´rentielle
D´eveloppementslimitesenprobabilite´ ´
The´ore`me1.1.7. si
Xn
=a
+OP(rn)
ou`rn→0 etaune constante. continues enaalors
(resp.oP(rn))
Sigest une fonction avecserivd´e´se
g(Xn) =g(a)+g0(a)(Xn−a)+∙ ∙ ∙+1(Xn (s−1)gs−1)(a)(
MD3
(resp. oP(rns))
J. Rousseau)5002-(2004
−a )s−1+OP(rns)
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StatistiqueInf´erentielle
IIThe´ore`mesLimites
Lesvariablesconsid´ere´essonta`valeursdansRk.
Loi des Grands Nombres.
The´ore`me1.2.1.(LoiFaibledesGrandsNombres) Soit (Xn que i.i.d. telle) une suite de v.a.EkXnk<∞etEXn=µ, alors X¯n1=nXi−P→µ. nX i=1
Th´eor`eme1.2.2.(LoiFortedesGrandsNombres) Soit (Xn que) une suite de v.a. i.i.d. telleEkXnk<∞etEXn alors n Xn1=XXi−p.s→.µ. ¯ n i=1
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J. Rousseau(02402-00)5
=µ,
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StatistiqueInf´erentielle
The´ore`meCentralLimite.
The´ore`me1.2.3.(Th´eor`emeCentralLimite) SoitXnune suite de v.a. i.i.d. de moyenneµet de matrice de covariance (finie) Σ, alors
n √n(X¯n−µ) =√1nX(Xi−µ)−L→ N(0Σ) i=1
ou`N(0)Σtole´dneisneagsuetruvecericeematr´edcentecnairavoced Σ.
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J. Rousseau0420(2-00)5
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StatistiqueInfe´rentielle
Nouspre´sentonsensuitedeuxextensionsauxcasdev.a.inde´pendantes nonidentiquementdistribue´es(a`valeursr´eellespoursimplifier).
Th´eore`me1.2.4.(Th´eore`meCentralLimite-Lindeberg) ep SoientXn´dadnesetntnecdv.esina.r´eestelsqueE|Xn|2=σn2. tonsVn=Pin=1σi2, si nli→m∞V1ni=nX1E³Xi21{Xi>Vnε}´= 0∀ε >0 2
alors
Nous donnons ensuite v´erifiercesconditions.
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1n √Vin=X1Xi−L→ N(01)
une condition de type
moment
J. Rousseau0520)(24-00
permettant
No-
de
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StatistiqueInf´erentielle
The´ore`me1.2.5.(The´or`emeCentralLimite-Lyapunov) SoientXnndantescentr´eesedvsa.i.dne´epsleteuqE|Xn|2=σn2. tonsVn=Pin=1σi2, si il existeδ >0 tel que 1n linmVn1+δ/2i=X1E|Xi|2+δ= 0
alors
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X 1n √Vin=1X
i−L→ N(01)
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No-
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