Statistique* et gestion quantitative du risque - (*incluant ...
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Statistique et gestion quantitative du risque
( incluant la probabilite computationnelle)
Paul Embrechts
Departement de mathematiques
et
RiskLab
ETH Zurich, Suisse
www.math.ethz.ch/ embrechts
Paul Embrechts (ETH Zurich) Statistique et GRQ 1 / 37 Cette presentation s’appuie sur des travaux e ectu es en
collaboration avec :
Guus Balkema
Valerie Chavez-Demoulin
Matthias Degen
Rudiger Frey
Dominik Lambrigger
Natalia Lysenko
Alexander McNeil
Johanna Neslehova
Giovanni Puccetti
Paul Embrechts (ETH Zurich) Statistique et GRQ 2 / 37 L’evolution des outils analytiques de gestion du risque
1938 Duree d’une obligation
1952 Paradigme \moyenne-variance" de Markowitz
1963 Modele b^eta unifactoriel de Sharpe
1966 Modeles multifactoriels
1973 Modele d’evaluation de Black{Scholes et parametres grecs
1983 RAROC, rendement ajuste pour le risque
1986 Restrictions imposees sur l’exposition par tranche de duree
1988 sur les parametres grecs, Bale^ I
1992 Tests de stress
1993 Valeur-a-risque (VaR)
1994 RiskMetrics
1996 Bale^ I 1/2
1997 CreditMetrics
1998- Integration des risques de credit et de marche
2000- Gestion globale des risques d’entreprise
2000- Bale^ II
(Jorion 2007)
Paul Embrechts (ETH Zurich) Statistique et GRQ 3 / 37 Des mathematiques et de la nance (1/3)
Pour plusieurs problemes d’economie ou de nance , tels:
la theorie de non-arbitrage
le calcul des prix et des couvertures de produits derives
(options, .. .)
l’information de marche
les modeles plus realistes, etc .. .
les ...
Voir
( incluant la probabilite computationnelle)
Paul Embrechts
Departement de mathematiques
et
RiskLab
ETH Zurich, Suisse
www.math.ethz.ch/ embrechts
Paul Embrechts (ETH Zurich) Statistique et GRQ 1 / 37 Cette presentation s’appuie sur des travaux e ectu es en
collaboration avec :
Guus Balkema
Valerie Chavez-Demoulin
Matthias Degen
Rudiger Frey
Dominik Lambrigger
Natalia Lysenko
Alexander McNeil
Johanna Neslehova
Giovanni Puccetti
Paul Embrechts (ETH Zurich) Statistique et GRQ 2 / 37 L’evolution des outils analytiques de gestion du risque
1938 Duree d’une obligation
1952 Paradigme \moyenne-variance" de Markowitz
1963 Modele b^eta unifactoriel de Sharpe
1966 Modeles multifactoriels
1973 Modele d’evaluation de Black{Scholes et parametres grecs
1983 RAROC, rendement ajuste pour le risque
1986 Restrictions imposees sur l’exposition par tranche de duree
1988 sur les parametres grecs, Bale^ I
1992 Tests de stress
1993 Valeur-a-risque (VaR)
1994 RiskMetrics
1996 Bale^ I 1/2
1997 CreditMetrics
1998- Integration des risques de credit et de marche
2000- Gestion globale des risques d’entreprise
2000- Bale^ II
(Jorion 2007)
Paul Embrechts (ETH Zurich) Statistique et GRQ 3 / 37 Des mathematiques et de la nance (1/3)
Pour plusieurs problemes d’economie ou de nance , tels:
la theorie de non-arbitrage
le calcul des prix et des couvertures de produits derives
(options, .. .)
l’information de marche
les modeles plus realistes, etc .. .
les ...
Statistique et gestion quantitative du risque ( incluantlaprobabilitecomputationnelle)
hctsE(THZurich)
Paul Embrechts
Departementdemathematiques et RiskLab ETH Zurich, Suisse www.math.ethz.ch/ embrechts
tStasiitqueteGRQ1/37
Cettepresentations’appuiesurdestravauxe ectu collaboration avec :
lumErbe
Guus Balkema ValerieChavez-Demoulin Matthias Degen Rudiger Frey Dominik Lambrigger Natalia Lysenko Alexander McNeil JohannaNeslehova Giovanni Puccetti
hctsE(THuZrich)StatistiqueetGRQ
es en
2/37
L’evolution des outils analytiques de gestion du risque 1938Dureed’uneobligation 1952 Paradigme “moyenne-variance” de Markowitz 1963ModelebeˆtaunifactorieldeSharpe 1966 Modeles multifactoriels 1973 Mod eled’evaluationdeBlack–Scholesetparametresgrecs 1983 RAROC, rendement ajuste pour le risque 1986Restrictionsimposeessl’expositionpartranchededuree ur 1988 Restrictionssurlesparametresgrecs, Bˆale I 1992 Tests de stress 1993 Valeur-a-risque (VaR) 1994 RiskMetrics 1996Bˆale I 1/2 1997 CreditMetrics 1998-Integrationdesrisquesdecreditetdemarche 2000- Gestion globale des risques d’entreprise 2000-Baˆle II
aPlumErbceths(ETHZurich)StatistiqueetRGQ
(Jorion 2007)
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Des mathematiques et de la nance (1/3)
Pourplusieursproblemesd’ economie ou de nance , tels : latheoriedenon-arbitrage lecalculdesprixetdescouverturesdeproduitsderives (options, . . . ) l’informationdemarche les modeles plus realistes, etc . . . les mathematiques fournissent les bons outils : latheoriedes(semi-)martingales lesESD(LemmedeItˆo),lesEDP,lesmethodesdesimulation lesltrationsdesigma-algebres dumouvementbrownienauxprocessusdeLevygeneraux
7/3Q4
Des mathematiques et de la nance (2/3)
Daucunspretendentque: ’
These1: Lesmathematiquesontfortementin
uenceledeveloppement delanance(appliquee). These2: La nance o re des perspectives de recherche interessantes et exigeantes pour les mathematiques (notamment en modelisation stochastique, en analyse numerique et en rechercheoperationnelle).
Cependant, force est de constater que : These3: Depuisquelquesannees,la“nanceappliquee”etla“nance mathematique”ontcommencea diverger ,peut-eˆtre simplement en raison d’un processus de maturation.
aP
Parconsequent: etenraisond’evenementscommelesproblemes autour du Long-Term Capital Management (1998), la crise du papier commercial (2007/8), etc...
lumEbrechtsE(HTuZirhc)StatistiqueetGRQ5/73
Descritiquesontcommenceasefaireentendre(danslapresse):
Des mathematiques et de la nance (3/3)
qieuteRG)StatistTHZurich
Avecleursexpressionsbrancheesetleursformulesclinquantes, les“Quants”etaientlesstarsdelananceavantquelacrise ducreditn’eclate.( The Economist )
Les commentaires en ce sens abondent...
Lesmathematiciensmenacentlesfondementsdesinstitutions nancieres.(LTCM)
“Leretourdesgrossestˆetesetdesmauxdeteˆte.”(LTCM)
rechts(EPaulEmb
Pourlesnsdecettepresentation: { Statistique } ∪ { Probabilitecomputationnelle } \ { Econometrie }
7
La gestion des risques releve autant du jugement humain que du genie mathematique ( The Economist , 17.5.07)
Mais que dire de la statistique et de la GQR ?
Nous abordons des questions pratiques :
-L’interdependance et la concentration des risques L’ tion des risques -agrega -Les problemes d’echelle -L’importancedesextreˆmes -Lamultidisciplinarite
La GQR est en pleine croissance.
Nous xons des principes fondamentaux.
etGRQ7/3tistiqueatS)hciruZHTE(stchremblEauP
Les notions statistiques font partieintegrante de la loi ! -La valeur-a-risque au niveau de conance sur la periode d
ComitedeBaˆle(CB)etAccords ( I , Amendement ( I 1/2), II ) : -Le CB a ete cree en 1974 par les gouverneurs des banques centrales du Groupe des 10.” “ -Il formule des normesinternationalesd’adequationducapital pour les institutions nanci eres designees jusqu’ici sous le nom desAccordsdeBˆale x , x ∈ { I , I 1 / 2 , II } . -Son objectif principal : eviter les risques systemiques.
Examinons quelques questions tres concretes de GQR
X : un alea denotant la (min -) valeur de la position au terme de la periode [0 , d ], 0 = aujourd’hui, d = horizon Notation : souvent Va ( X ), VaR , VaR . . . ( E ) R
VaR d ( X ) = inf { x 0 : P ( X x ) } ,
uqeesiit/873GtQRurHZETs(atSth)icluaPthcerbmE
Mais :
quantileextreˆme !
Que peut-on en faire ?
73
Cependant : Risquedemarche(RM): = 0 . 99 , d = 10 jours Restrictions pour les courtiers (RM) : = 0 . 95 , d = 1 jour Risquedecredit(RC): = 0 . 999 , d = 1 an Risqueoperationnel(RO): = 0 . 999 , d = 1 an Capital economique (CE) : = 0 . 9997 , d = 1 an
la VaR n’est rien d’autre qu’un quantile ... ( E )
Donc :
la VaR est typiquement un
En termes statistiques :
Adequation de capital minimal : le ratio de Cook
Pa
Les comptables, les gestionnaires, Les Quants (nous !) ✠ le conseil d’administration (eux !) ✲ PositioCnaspiptaolnrdeegrleeesmentraliereris=8% pa que ✒❍❍❍❍ ❍❍ Bˆale I , I 1 / 2 :RC,RMBˆale II : RC, RM, RO (brut)(n)
Remarque importante Les plus grandes banques internationales ont leurs propres modeles , ce qui ouvre la porte a des applications non triviales des mathematiquesetdelastatistique.
ulEmbrechtsE(HTuZirhc)tSatistiqueetGRQ
(1)
10/37
(2)
60 CR tMI ( RM ) = max n VaR t 0 . 99 , 10 , 6 k 0 X VaR t 0 . 9 i 9 , +110 o + CR tRS i =1
uZHThciratS)tsitueiqGRet1/Q1
Un exemple du denominateur pour le RM au jour t :
37ulpeueisemeud)tnynidiqamismassauuqmene(tepdnytipenteXdesous-jacE(sthcerbmEluaP.esllrepoemstieer/ssetrufecasud)ouplnes(ntairscestieisatqutitieuledeemadohtgoloqueetdelaqualittkseitgntstasiitertienrsa.v.La!rp)2(edeuocnudneondcatilleetaiee.ilspxilnUeeR=CpiCaernek∈[3deleintuqMe=IoMatdlresietinosstsetemiTo:esutsqcentua.tkdpeneddbucaesstatistiquemensiR=MRssramedeuqteac]F,5restdeuruqReceiuqsemeraRS=Rcheespisqu
