Space-time adaptive methods for beam dynamics simulations [Elektronische Ressource] / von Sascha Schnepp

Space-Time Adaptive Methods for
Beam Dynamics Simulations
Vom Fachbereich 18
Elektrotechnik und Informationstechnik
der Technischen Universität Darmstadt
zur Erlangung
der Würde eines Doktor Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigte
DISSERTATION
von
Dipl.-Ing. Sascha Schnepp
geboren am 17. März 1978 in Wiesbaden
Referent: Prof. Dr.-Ing. Thomas Weiland
Korreferent: Prof. Dr. techn. Romanus Dyczij-Edlinger
Tag der Einreichung: 12.01.2009
Tag der mündlichen Prüfung: 23.04.2009
D17
Darmstädter Dissertation
Darmstadt, 2009Space-Time Adaptive Methods for Beam Dynamics Simulations
cCopyright 2009
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Sascha SchneppCONTENTS
Kurzfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Motivation and Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Continuous Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Maxwell’s Equations in Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Maxwell’s Equations in Integral and Differential Form . . . . . . 7
2.1.2 Conservation of Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Constitutive Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4 Conservation of Electromagnetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.5 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.6 Wave Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.7 Relativistic Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Charged Particle Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Newton-Lorentz Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Hamiltonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Liouville’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5 Statistical Beam Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Discrete Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Discretization of Continuous Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Finite Integration Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29iv Contents
3.2.1 Semidiscrete Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Properties of the Finite Integration Technique . . . . . . . . . . . 33
3.3 Finite Integration-Finite Volume Hybrid Method . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Semidiscrete Finite Volume Formulation in 1D . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Properties of Finite Volume Methods in 1D . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3 The Hybrid Scheme in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Discontinuous Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Semidiscrete Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Properties of the Discontinuous Galerkin Method . . . . . . . . 50
3.5 Discretization of Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Time Integration of Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2 Time Integration of Non-Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . 61
3.5.3 Time Integration Applying Split Operator Techniques . . . . . . . 61
3.6 Consistency, Stability and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 Discrete Charged Particle Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7.1 Approaches to Beam Dynamics Simulations . . . . . . . . . . . . . 78
3.7.2 Particle-In-Cell Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4. Time-Adaptive Grid Refinement Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1 Overview of Existing Works. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Time-Adaptive Grid Refinement for the Finite Integration Technique . . . 90
4.2.1 Interpolation of Grid Voltages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.3 Charged Particle Dynamics on Adaptive Grids . . . . . . . . . . . 98
4.3 Time-Adaptive Grid Refinement for the FI-FV Method . . . . . . . . . . 105
4.4 Time-Adaptive Grid Refinement for the Discontinuous Galerkin Method106
4.4.1 Projection Based h-Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.2 Projection Based p-Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4.3 Properties of the Projection Based Adaptations . . . . . . . . . . . 110
4.4.4 Automated hp-Adaptivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Contents v
5. Tests and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1 Sanity Check . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 Grid Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.2 Interpolation Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.3 Dispersive Behavior of the FIT, LT-FIT and FI-FV scheme . . . . 125
5.1.4 Dispersive Behavior of the DGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.5 Adaptive FIT Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.6 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.7 Automated hp-Adaptive DG Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Comparison and Benchmarking of the Numerical Methods . . . . . . . . . 135
5.3 Self-Consistent Simulation of the PITZ RF Gun . . . . . . . . . . . . . . 140
6. Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Appendix 149
A. AChargeConservingPIC-Schemefor3DBeamDynamicsSimulations151
B. Projection Matrices for DG-h-Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C. Efficient Dynamic Memory Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
D. Exemplary tamBCI Input File . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Abbreviations and Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Curriculum Vitae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193KURZFASSUNG
In der vorliegenden Arbeit werden Techniken zur zeitadaptiven Anpassung der lokalen
räumlichen Auflösung für die Methode der Finiten Integration (FIT), die Discontinuous
Galerkin Methode (DGM) und eine Hybridmethode, welche die FIT mit der Methode der
Finiten Volumen kombiniert (FI-FV), eingeführt. Die FIT und die DGM sind etablierte
Methoden zur numerischen Berechnung elektromagnetischer Feldprobleme. Die FI-FV
Hybridmethode wurde im Rahmen dieser Arbeit entwickelt.
Die semi-diskreten, also räumlich diskret jedoch kontinuierlich in der Zeit, und die voll
diskreten Formulierungen der untersuchten Methoden werden abgeleitet. Für jeweils
beide Formulierungen wird eine Untersuchung der Dispersions- und Dissipationseigen-
schaften auf statischen Rechengittern durchgeführt. Als ein Ergebnis dieser Analysen
werden asymptotische Ordnungen des Dispersions- und Dissipationsfehlers angegeben.
Anschließend werdenfürjededernumerischen Methoden, Techniken zurBestimmungund
Modifizierung der diskreten elektromagnetischen Größen in lokal verfeinerten Gebieten
dargelegt. Die Adaptionstechniken für die FIT und die FI-FV Methode basieren auf
linearen oder Splineinterpolationen dritter Ordnung. Im Rahmen der DGM werden Pro-
jektionsoperatoren verwendet, und es wird gezeigt, dass deren Anwendung zu minimalen
Adaptionsfehlern führt. Die numerische Stabilität der entwickelten adaptiven Methoden
wird bewiesen.
Die entwickelten Algorithmen finden Anwendung bei der selbstkonsistenten Simulation
der Dynamik geladener Teilchen und elektromagnetischer Felder. Die Ergebnisse der
ersten Designstudie des vollständigen ersten Abschnitts des Freie-Elektronen Laser in
Hamburg (FLASH), unter Berücksichtigung von Raumladungs- und Strukturwechsel-
wirkungen, werden vorgestellt.ABSTRACT
This work establishes techniques for adjusting the local spatial resolution of selected
numerical methods in a time-adaptive manner. Such techniques are developed within the
framework of the Finite Integration Technique (FIT), a hybrid Finite Integration-Finite
Volume (FI-FV) Scheme and the Discontinuous Galerkin Method (DGM). While the FIT
and the DGM are established methods for the numerical solution of electromagnetic field
problems, the FI-FV Scheme has been developed in the context of this work.
The semi-discrete, i.e., discrete in space and continuous in time, as well as the fully
discretized formulationsofallconsideredmethodsarepresented. Forbothformulationsof
eachmethod,ananalysisofthedispersiveanddissipativebehavioronfixedcomp