Thèse complète version définitive irem
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UNIVERSITÉ PARIS 7 – DENIS DIDEROT U.F.R. de Mathématiques Ecole doctorale : Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines THÈSE pour l’obtention du Diplôme de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS 7 SPÉCIALITÉ : Didactique des mathématiques présentée par Françoise LEMONNIER JORE Titre : Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique Directeur de thèse : Bernard PARZYSZ Soutenue le : 10 novembre 2006 JURY : Teresa ASSUDE, Maître de Conférences, IUFM d’Aix-Marseille, Rapporteur Régis GRAS, Professeur Émérite des Universités, Ecole Polytechnique de l’Université de Nantes, Président du jury Christophe HACHE, Maître de Conférence, Université Paris 7 Bernard PARZYSZ, Professeur Émérite des Universités, IUFM d’Orléans-Tours, Directeur Éric PINSON, Professeur des Universités Catholiques, Université Catholique de l’Ouest Angers Rudolf STRÄßER, Professeur, Justus Liebig Universität Giessen, Rapporteur Remerciements Six ans, c’est long, et pourtant j’ai l’impression que c’était hier que nous prenions la décision, que nous nous lancions dans l’aventure. Je devrais certainement dire je, mais j’insiste sur le nous. Ce nous, c’est bien sûr mon directeur de thèse, Bernard Parzysz, sans qui ce travail n’aurait jamais vu le jour. Je tiens à le remercier chaleureusement parce qu’il m’a poussée à me lancer, ...
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UNIVERSITÉ PARIS 7 DENIS DIDEROT U.F.R. de Mathématiques Ecole doctorale : Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines THÈSE pour l’obtention du Diplôme de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS 7 SPÉCIALITÉ : Didactique des mathématiques
présentée par Françoise LEMONNIER JORE Titre : Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique Directeur de thèse : Bernard PARZYSZ Soutenue le : 10 novembre 2006 JURY : Teresa ASSUDE, Maître de Conférences, IUFM d’Aix-Marseille, Rapporteur Régis GRAS, Professeur Émérite des Universités, Ecole Polytechnique de l’Université de Nantes, Président du jury Christophe HACHE, Maître de Conférence, Université Paris 7 Bernard PARZYSZ, Professeur Émérite des Universités, IUFM d’Orléans-Tours, Directeur Éric PINSON, Professeur des Universités Catholiques, Université Catholique de l’Ouest Angers Rudolf STRÄßER, Professeur, Justus Liebig Universität Giessen, Rapporteur
Remerciements
Six ans, c’est long, et pourtant j’ai l’impression que c’était hier que nous prenions la décision, que nous nous lancions dans l’aventure. Je devrais certainement dire je, mais j’insiste sur le nous. Ce nous, c’est bien sûr mon directeur de thèse, Bernard Parzysz, sans qui ce travail n’aurait jamais vu le jour. Je tiens à le remercier chaleureusement parce qu’il m’a poussée à me lancer, parce qu’il m’a soutenue quand je désespérais d’écrire le fin mot, mais surtout parce qu’il m’a guidée dans ma recherche, guidée de ses conseils, de ses suggestions, de ses orientations. Nos discussions étaient toujours riches d’une réflexion à construire ensemble. Ce nous, c’est aussi vous quatre, Phillippe, Jérémy, Sandie, Laurine, qui avez supporté les journées où j’étais enfermée dans mon bureau, mes sautes d’humeur parce que je n’arrivais pas à faire ce que je voulais ; vous qui étiez fiers de ce que je faisais. Ce nous, c’est aussi vous tous, mes amis, qui avez cru les premiers que j’en étais capable. Je ne listerai pas les noms, la liste serait trop longue, vous vous reconnaîtrez. Je tiens également à remercier Teresa Assude et Rudolf Sträßer qui ont eu la lourde tâche en plein été de lire mon texte et d’en faire un rapport. Leurs commentaires sont riches d’enseignement et m’ouvrent de nouvelles perspectives. Merci aussi à Régis Gras, dont les conseils à diverses reprises m’ont permis de m’initier à l’analyse implicative et à l’utilisation du logiciel CHIC, mais aussi d’oser écrire et communiquer seule sur mon travail. Merci encore à Éric Pinson qui tout au long de ces six années a su m’encourager et me faire confiance. Merci enfin à Christophe Hache, qui a bien voulu accepter également de faire partie de mon jury de thèse.
Le quadrilatère ABCD est-il un carré ?
Jérémy, Sandie, Laurine : dis donc, maman, tu pourrais apprendre à te servir de ta règle et de ton équerre !
Sommaire
Introduction ............................................................................................................................ 21
Chapitre 1 : Dessin, figure et paradigmes géométriques dans la littérature .................... 27 1. Dessin objet géométrique .......................................................................................... 27 2. Figure ........................................................................................................................... 46 3. Les paradigmes géométriques ...................................................................................... 55
Chapitre 2 : Cadre théorique didactique et problématique ............................................... 69 1. Définition des paradigmes géométriques retenus......................................................... 69 2. Des paradigmes particuliers en environnement informatique.................................... 100 3. Ma problématique ...................................................................................................... 113 4. Méthodologie ............................................................................................................. 122
Chapitre 3 : Les paradigmes géométriques face aux concepts didactiques, aux instructions officielles et aux contenus mathématiques .................................................... 129 1. Paradigmes géométriques, cadre géométrique et changement de cadres ................... 129 2. Les paradigmes géométriques et les organisations praxéologiques de Chevallard.... 137 3. Les paradigmes géométriques dans les instructions officielles de l’école et du collège 141 4. La médiatrice dans les manuels.................................................................................. 145
Chapitre 4 : Présentation du questionnaire, des grilles d’analyse et des hypothèses fines de recherche .......................................................................................................................... 157 1. Présentation du questionnaire et de la grille d’analyse initiale .................................. 157 2. Les premières analyses : où apparaît la nécessité de tout recommencer
............... 165 3. Mise en place d’un nouveau codage et hypothèses sous-jacentes ............................. 174 4. Variantes et nouvelles questions dans les tests ultérieurs .......................................... 203 5. Synthèse ..................................................................................................................... 214
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Chapitre 5 : Présentation des résultats .............................................................................. 221 1. Origine des étudiants : bac, licence et suppléances.................................................... 223 2. Les items de reconnaissance de figure plane ............................................................. 224 3. Items 3, 5 et 8 : tracer une médiatrice ........................................................................ 255 4. Items de construction de quadrilatères ....................................................................... 287 5. Synthèse ..................................................................................................................... 298
Chapitre 6 : Expérimentation sous Cabri-géomètre II..................................................... 303 1. Organisation de l’expérimentation Cabri ................................................................... 304 2. Le test sous Cabri ....................................................................................................... 307 3. La situation PARC ..................................................................................................... 324 4. Productions des groupes et analyse ............................................................................ 335 5. Conclusions
........................................................................................................... 357
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon .................................... 363 1. Description du dispositif, analyse a priori et premières observations........................ 364 2. Les résultats des étudiants aux étapes 2 et 6 .............................................................. 407 3. Les résultats des étudiants à l’étape 8 ........................................................................ 427 4. Synthèse ..................................................................................................................... 440
Conclusion............................................................................................................................. 443
Bibliographie......................................................................................................................... 451
Annexes ................................................................................................................................. 467
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Sommaire détaillé
Introduction ............................................................................................................................ 21
Chapitre 1 : Dessin, figure et paradigmes géométriques dans la littérature .................... 27 1. Dessin objet géométrique .......................................................................................... 27 1.1. Dessin objet géométrique .................................................................................. 28 1.2. Un dessin
mais pas n’importe lequel ! ............................................................ 30 1.3. Le dessin représentant de l’objet géométrique théorique..................................... 35 1.3.1. Des interprétations multiples........................................................................ 35 1.3.2. Un domaine de fonctionnement limité ......................................................... 36 1.3.3. Un domaine d’interprétation limité .............................................................. 36 1.3.4. Absence d’isomorphisme, description discursive ........................................ 37 1.4. Le dessin objet de la géométrie ............................................................................ 38 1.5. Un objet théorique
mais pas seulement
...................................................... 43 2. Figure ........................................................................................................................... 46 2.1. Figure = dessin ..................................................................................................... 46 2.2. Figure = objet géométrique théorique .................................................................. 48 2.3. Figure = classe d’équivalence de dessins ............................................................. 48 2.4. Concept figural ..................................................................................................... 49 2.5. Figure : définition variable ................................................................................... 52 2.6. Figure : objet géométrique particulier .................................................................. 53 2.7. Dessin-figure-objet géométrique théorique : synthèse......................................... 54 3. Les paradigmes géométriques ...................................................................................... 55 3.1. Les paradigmes géométriques de Houdement et Kuzniak ................................... 56 3.1.1. Intuition ........................................................................................................ 56 3.1.2. Expérience .................................................................................................... 58 3.1.3. Déduction ..................................................................................................... 60 3.1.4. Définition de GI, GII, GIII ........................................................................... 61 3.1.5. Continuité ou rupture ................................................................................... 62 3.1.6. Synthèse de Houdement-Kuzniak ................................................................ 65 3.2. Les paradigmes géométriques de Parzysz ............................................................ 65
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Chapitre 2 : Cadre théorique didactique et problématique ............................................... 69 1. Définition des paradigmes géométriques retenus......................................................... 69 1.1. Définition ............................................................................................................. 69 1.2. Contrôle de G1 par G2 et de G2 par G1............................................................... 71 1.3. Exemples pour illustrer ........................................................................................ 72 1.4. Décider entre G1 et G2......................................................................................... 73 1.4.1. L’action détermine généralement la nature de l’objet géométrique............. 74 1.4.2. Cas de plusieurs actions ............................................................................... 75 1.4.3. Même dans G1, il faut déduire pour conclure ............................................. 76 1.4.4. La distinction définition / propriété n’est pas ici efficace ............................ 77 1.4.5. Comment savoir si une propriété relève de G1 ? ......................................... 77 1.4.6. Technologie de G2 mais technique de G1 ................................................... 78 1.4.7. Synthèse, pour décider entre G1 et G2......................................................... 79 1.5. Pseudo-paradigme ................................................................................................ 81 1.6. Une action particulière : construire ...................................................................... 81 1.6.1. Qu’est-ce qu’une construction, dans les paradigmes G1 et G2 ? ................. 82 1.6.2. Des actions différentes avec un langage commun ....................................... 84 1.6.3. D’autres théories possibles........................................................................... 87 1.7. Définitions dans G1 et G2 .................................................................................... 93 1.8. Règle d’exhaustivité dans G1 et G2 ..................................................................... 96 1.9. Eléments de synthèse autour des paradigmes G1 et G2....................................... 97 2. Des paradigmes particuliers en environnement informatique.................................... 100 2.1. Les caractéristiques de Cabri.............................................................................. 101 2.2. Cabri et les paradigmes G1 / G2 : première approche ....................................... 102 2.3. Une validation particulière : l’oracle, et les autres Cabri-vérifications.............. 103 2.4. Les paradigmes G1 et G2 informatiques de Dahan............................................ 105 2.5. Eléments de synthèse autour des paradigmes G1I et G2I .................................. 111 3. Ma problématique ...................................................................................................... 113 3.1. Les questions ...................................................................................................... 114 3.2. Les hypothèses de recherche .............................................................................. 116 3.3. Une hypothèse de travail .................................................................................... 116 4. Méthodologie ............................................................................................................. 122 4.1. Trois dispositifs dans le travail........................................................................... 122 4.2. Analyse implicative............................................................................................ 123
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Chapitre 3 : Les paradigmes géométriques face aux concepts didactiques, aux instructions officielles et aux contenus mathématiques .................................................... 129 1. Paradigmes géométriques, cadre géométrique et changement de cadres ................... 129 1.1. G1 et G2 sont-ils des cadres ? ............................................................................ 129 1.2. Paradigmes et changements de cadres. .............................................................. 134 2. Les paradigmes géométriques et les organisations praxéologiques de Chevallard.... 137 2.1. Type de tâche : donner la nature d’un triangle................................................... 137 2.2. Type de tâche : construire une médiatrice.......................................................... 139 2.3. Une praxéologie emprunte à divers paradigmes ................................................ 140 3. Les paradigmes géométriques dans les instructions officielles de l’école et du collège 141 3.1. Les instructions de l’école................. ................................. 141 ................................ 3.2. Les instructions du collège ................................................................................. 144 4. La médiatrice dans les manuels.................................................................................. 145 4.1. Définition et propriétés de la médiatrice dans les manuels ................................ 148 4.2. Procédures de construction de la médiatrice dans les manuels .......................... 149 4.3. Justification des procédures de construction ...................................................... 152 4.4. En conclusion sur la médiatrice dans les manuels ............................................. 154
Chapitre 4 : Présentation du questionnaire, des grilles d’analyse et des hypothèses fines de recherche .......................................................................................................................... 157 1. Présentation du questionnaire et de la grille d’analyse initiale .................................. 157 1.1. Item 1.................................................................................................................. 159 1.2. Item 2.................................................................................................................. 159 1.3. Items 3 et 5 ......................................................................................................... 160 1.4. Item 4.................................................................................................................. 161 1.5. Item 6.................................................................................................................. 162 1.6. Item 7.................................................................................................................. 163 1.7. Item 8.................................................................................................................. 163 1.8. Item 9.................................................................................................................. 165 2. Les premières analyses : où apparaît la nécessité de tout recommencer
............... 165 2.1. Des formats de fichiers différents ...................................................................... 166 2.2. Des différences inexplicables entre les résultats des trois groupes .................... 166 2.2.1. Item 1.......................................................................................................... 167
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