7Chapitre 2 : Perturbations et stabilit´e dansles syst`emes dynamiquesLebutdecechapitreestdepr´esenterlesnotionsclassiquesdelath´eoriedessyst`emesdy-namiquesquiserontutilis´eesdanscetteth`ese.Onypasseraaussienrevuelesprobl´ematiqueset les r´esultats connus concernant la stabilit´e structurelle de la dynamique des ´equationsdiff´erentielles ordinaires et des ´equations aux d´eriv´ees partielles.1 Probl`emes de stabilit´e : le formalisme math´emati-quePoursimplifier,nousnouslimiteronsiciauxsyst`emesdynamiquesappel´essemi-groupes.D´efinition 1.1. Soit r un entier positif ou nul. Soit X un espace de Banach et M unersous-vari´et´e de X de classe C . La famille (S(t)) d’applications de M dans M estt∈R+r rappel´ee semi-groupe non-lin´eaire de classeC , ou simplement semi-groupeC , si :i) S(0)=Id,ii) pour tout temps positifs t et s, S(t)S(s)=S(t+s),0iii) l’application S : (t,U)→ S(t)U est de classeC (R ×M,M) et toutes ses d´eriv´ees+0de Fr´echet en U jusqu’a` l’ordre r sont de classeC (R ×X,X).+rOn dit que (S(t)) est un groupe de classe C si les trois propri´et´es pr´ec´edentes sontt∈Rvraies pour t et s dansR.Dor´enavant, nous entendrons par syst`eme dynamique, ou semi-groupe, un semi-groupe0de classeC .Notons que l’on peut aussi d´efinir des syst`emes discrets, ou` la dynamique ne correspondplus `a une ´evolution continue pendant un temps t≥ 0 mais un nombre n∈N d’it´erationsd’un processus.Nous rappelons ici quelques d´efinitions classiques.0D´efinition1.2. ...
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