Temkine-these
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´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEAIX-MARSEILLE IIFacult´e des Sciences de Luminy`THESEpour obtenir le grade de´ ´ ´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEDiscipline : Math´ematiquespr´esent´ee et soutenue publiquementparAlexandre TEMKINEle 15 D´ecembre 2000TitreTours de corps de classes de Hilbertpour les corps globaux et applicationsDirecteur de Th`ese : Gilles LACHAUDJURYM. Lachaud Gilles Directeur de Recherches, I.M.L.M. Perret Marc Maˆıtre de conf´erences, Universit´e de LyonM. Quebbemann Heinz-Georg Professeur, Universit´e d’ Oldenburg RapporteurM. Schoof Ren´e Professeur, Universit´e de Rome RapporteurM. Tsfasman Mikha¨ıl Directeur de Recherches, I.P.P.I.Professeur Associ´e, Universit´e de la M´editerran´ee˘M. Vladut¸ Serge Directeur de Recherches, I.M.L.RemerciementsMa reconnaissance va tout d’abord `a mon directeur de th`ese, Gilles La-chaud, dont l’´etendue des connaissances et la disponibilit´e m’ont permis demener `a bien ce travail.Je remercie Ren´e Schoof et Heinz-Georg Quebbemann d’avoir accept´e lalourde tˆache de rapporteur. Merci a` Mikha¨ıl Tsfasman pour m’avoir invit´edurantunmoisa`l’Universit´eind´ependantedeMoscouetmercia`MarcPerretpoursonsoutienmoraltoutaulongdecetteth`ese,quandlebesoins’enfaisaitsentir. Je les remercie tous deux, ainsi que Serge Vl˘adut¸ pour avoir accept´ede faire partie du jury.Parmi les contacts scientifiques et humains qui ont marqu´e mon parcoursmath´ematique avant et pendant cette th`ese, ...
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´ ´ ´ UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE AIX-MARSEILLE II Facult´edesSciencesdeLuminy
` THESE pour obtenir le grade de ´ ´ ´ DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE Discipline:Math´ematiques
pre´sent´eeetsoutenuepubliquement par Alexandre TEMKINE le 15 Decembre 2000 ´
Titre Tours de corps de classes de Hilbert pour les corps globaux et applications
DirecteurdeTh`ese:GillesLACHAUD
JURY M.Lachaud de Recherches, I.M.L.Gilles Directeur M.Perrets,ceivUnf´onenerrtıˆcedeaMaMcrLeoynreis´tde M.QuebbemannHeinz-GdeOld’´eitrsveniU,ruesseforPgroeueroptrRgpabnru M.SchoofurPurro,fUeesns´eersiRtniveoReme´edroetaRpp M.TsfasmankhMieriDlı¨aRedruetcecherches,I.P.P..I ProfesseurAssocie,Universit´edelaMe´diterran´ee ´ M.ud¸tlVa˘ de Recherches, I.M.L.Serge Directeur
Remerciements
Mareconnaissancevatoutd’aborda`mondirecteurdeth`ese,GillesLa-chaud,dontl’e´tenduedesconnaissancesetladisponibilit´em’ontpermisde menera`biencetravail. JeremercieRen´eSchoofetHeinz-GeorgQuebbemannd’avoiraccepte´la lourdetaˆchederapporteur.Mercia`Mikhaı¨lTsfasmanpourm’avoirinvite´ durantunmois`al’Universit´eind´ependantedeMoscouetmercia`MarcPerret poursonsoutienmoraltoutaulongdecettethe`se,quandlebesoins’enfaisait sentir.Jelesremercietousdeux,ainsiqueSergeVl˘adut¸pouravoiraccepte´ de faire partie du jury. Parmilescontactsscientifiquesethumainsquiontmarque´monparcours mathe´matiqueavantetpendantcetteth`ese,jeveuxciterPhilippeEspe´ret, Yves Laszlo et Christian Maire, et leur exprimer ma vive reconnaissance. Merciaussia`MireilleCareta`Jean-PierreSerre,a`l’ensembledesmembres del’e´quipeATIetplusgeneralementa`touslesmembresdel’Institutde ´ ´ Math´ematiquesdeLuminy. Enfin,horsdel’universmath´ematique,messoutiensont´et´einnombrables ettoutaussiimportants.Jeciteraiseulement,peˆle-meˆle,B´ea,plusieursDa-vid,Ire`ne,Je´roˆme,Corinne,mesparentsJacquesetNadine,mesfr`ereset soeurJulie,Pierre,Ste´phaneetMarc,C´edric,Tristan,Christophe,plusieurs Sophie,Cyril,Dorothe´e,Manu,Sofien,....
Tabledesmatie`res
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert class field towers of function fields over finite fields. . . . . . 2 and lower bounds forA(q) Hilbert class field towers of function fields over finite fields. . . . . 21 and lower bounds forA(q), II Asymptotically good families of unimodular lattices. . . . . . . . . . . . . 31 On the splitting rate of places in infinite unramified towers. . . . 41 of number fields
Introduction
Cetteth`eseestlere´uniondequatrearticles,chacund’euxfaisantl’objet d’un chapitre. Au centre de ces quatre articles se trouve la notion de tour de corpsdeclassesdeHilbert.Etantdonn´euncorpsglobal,c’est-`a-diresoitun corpsdenombres,soituncorpsdefonctionsa`unevariablesuruncorpsfini, etunensemblefinideplacescontenantlesplacesarchime´diennesdanslecas descorpsdenombres,onpeutluiassocierparlathe´orieducorpsdeclasses soncorpsdeclassesdeHilbert,c’est-a`-diresonextensionabe´liennemaxi-malenonramifi´eeo`ulesplacesdonn´eessonttotalementde´compos´ees.Par it´eration,onde´finitalorsunesuitecroissantedecorpsglobaux,appele´etour decorpsdeclassesdeHilbert.Sousuneconditiondonne´eparleThe´ore`me de Golod-Shafarevich, cette suite est strictement croissante. Cere´sultatconnudepuislemilieudesanne´essoixanteaplusieursapplica-tions : dans le cas des corps de fonctions, il permet d’obtenir des bornes infe´rieuresdeA(q), quantit´ qui mesure le nombre asymptotique maximal de e pointsrationnelsd’unecourbealge´briqueprojectivelisseabsolumentirre´duc-tibled´efiniesuruncorpsfini.Detellesbornesont´et´edonn´eesnotamentpar Serre, Perret, Xing et Niederreiter et Xing. L’objet des deux premiers articles estdedonnerdesam´eliorationsdecesbornes.Lepremierarticledoitparaıˆtre auJournal of Number Theory.isa’ne´sape´temuos,ledeuxi`em Dansletroisi`emearticle,nousutilisonsleThe´or`emedeGolod-Shafarevich dans le cadre des corps de nombres pour prouver l’existence de familles asymptotiquementbonnesdere´seauxunimodulaires.IlaetesoumisauJour-´ ´ nalf¨urdieReineAngewandteMathematik. Enfin,l’objetdelaquatri`emepartieestl’´etudedanslecadredescorpsde nombresdutauxdede´compositiondesplacesdanslestoursinfiniesdecorps declassesdeHilbert.Iln’apase´t´esoumis.
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HILBERT CLASS FIELD TOWERS OF FUNCTION FIELDS OVER FINITE FIELDS AND LOWER BOUNDS FORA(q) ALEXANDRE TEMKINE Abstract.We obtain lower bounds for the asymptotic number of rational points of smooth algebraic curves over finite fields. To do this we construct infinite Hilbert class field towers with good parameters. In this way we improve bounds of Serre, Perret, Xing, and Niederreiter and Xing.
1.introduction In what follows,Fqis a finite field withqelements, whereqis a prime power. LetKbe a function field overFqor equivalently a projective smooth absolutely irreducible curve defined overFqso thatFqis the constant field ofK. We writeN(K) for the number of rational places ofK, andg(K to the Weil-Serre bound (see According) for its genus. [11] for example), we have: (1)N(K)≤q+ 1 +g(K)2q1/2, wherebxcdenotes the lower part ofx, i.e.,bxcis the greatest integer not exceeding the real numberx study the asymptotic behaviour of. To N(K) wheng(K)→ ∞, we introduce as usual the following quantity: Definition.For any prime powerqlet A(q) = lgi(mK)s→u∞pgN((KK)). One can easily deduce from (1) thatA(q)≤2q1/2tua¸˘lda.Vdn Drinfeld [13] obtained the following improvement: (2) for anyq, A(q)≤q1/2−1. A famous result by Ihara ([4] and other papers) obtained independently byTsfasman,Vla˘du¸tandZink[12]insomecases,andusingmodular towers proves that it is an equality ifq Henceis a square. A(q) =q1/2−1 , ifqis a square. For the complete story of this result, see Ihara’s Mathematical Review of [12]. Date: June 24, 1999.
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HILBERT CLASS FIELD TOWERS 3 For non-squareq [14] used degenerate, the situation is unclear. Zink Shimura surfaces to prove that ifpis a prime, then A(p3)≥2(p2−1) p+ 2 The other best results so far have been obtained by means of Hilbert class field towers by Serre ([9], [10]), Perret [8], and more recently by Niederreiter and Xing [6]. Serre [10] has shown that (3)A(q)≥clogq, for an absolute effective constantc >0. Niederreiter and Xing [6] proved that ifqis odd andm≥3 is an integer, then A(qm)≥d2(2q2+1q)1/2e+ 1, and a similar result ifq result is better than Serre’s foris even. This many values ofqm, but not for all since their lower bound remains the same whenqis fixed andmlarge and prime (ifm=m0m00with m00≥3, we can writeqm=qm0m00and get a better estimate). [7] In they improved slightly these results and extended Serre’s method. For small values ofqresults so far have been obtained by, the best Niederreiter and Xing [6], who showed A182)(. . . ≥=0173.255 A26)3(3803. . . ≥0=361. A(5)≥2 . 3 In this paper, we give a generalization of (3), which improves it for all non-primeq, and also improvements forA(3) andA(5). The second section of this paper is devoted to preliminaries. The main result of this paper is: Theorem.There exists an effective constantc >0such that for any qand anyn, A(qn)≥c n2lgolq ogqlogn+ log.q It improves (3) since Serre proved only: A(qn)≥c nlogq. Its proof can be found in section 3 for the case of odd characteristic (Theorem 9) and in section 4 for the case of characteristic 2 (Theorem 13). We also obtain improvements forA(3) andA(5):
