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Seconde Equations et inéquations décembre 2005 Equations et inéquations 1 Equations Remarques préliminaires : • Une équation est formée de deux membres séparés par le signe =. • Les solutions d'une équation sont les nombres qui, substitués à la variable, transforment l'équation en une égalité. • Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions. • On demande toujours la valeur exacte des solutions et non une valeur approchée, sauf mention contraire. Si un nombre décimal est solution, on donnera son écriture sous forme de 3fraction irréductible (par exemple, on répondra plutôt que 0,75). 4 1.1 Equations équivalentes Définition : Des équations équivalentes sont des équations ayant le même ensemble de solutions. Méthode : On transforme une équation en une équation équivalente : • en ajoutant (ou retranchant) le même nombre aux deux membres, quel que soit le signe de ce nombre; • en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre non nul, quel que soit le signe de ce nombre. 1.2 Equation du premier degré Définition : Une équation du premier degré est une équation qui se met sous la forme ax+b=0, où a, b et x sont des réels et où x est appelée l’inconnue. b• Si aý0, elle a une seule solution : - . a• Si a=0 et bý0, elle n'a pas de solution. L’ensemble des solutions est l'ensemble vide noté Ø. • Si ab=0, tout réel est solution. L’ensemble des solutions est l'ensemble Ë des réels. Si une ...
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décembre 2005
1 Equations Remarques préliminaires : • Une équation est formée de deuxmembresséparés par le signe=. • Les solutions d'une équation sont les nombres qui, substitués à la variable, transforment l'équation en une égalité. • Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions. • On demande toujours lavaleur exactedes solutions et non une valeur approchée, sauf mention contraire. Si un nombre décimal est solution, on donnera son écriture sous forme de 3 fraction irréductible (par exemple, on répondraplutôt que 0,75). 4
1.1 Equationséquivalentes Définition : Des équations équivalentes sont des équations ayant le même ensemble de solutions. Méthode : On transforme une équation en une équation équivalente : • en ajoutant (ou retranchant) le même nombre aux deux membres, quel que soit le signe de ce nombre; • en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre non nul, quel que soit le signe de ce nombre. 1.2 Equationdu premier degré Définition : Une équation du premier degré est une équation qui se met sous la formeax+b=0, oùa,betxsont des réels et oùxest appelée l’inconnue. b • Siaelle a une seule solution : ý 0,. a • Sia=0 etbelle n'a pas de solution. L’ensemble des solutions est l'ensemble vide noté Ø.ý 0, • Sia=0 etb=0, tout réel est solution. L’ensemble des solutions est l'ensemble Ë des réels. Si une équation n'est pas du premier degré, c’estàdire que le plus grand exposant de l’inconnue 2 3 4 xest différent de 1 (si par exemple l’équation contientx,x,x,…) : • on rassemble tous les termes dans un seul membre (c’estàdire que l’on met tous les termes du même côté du signe =); • on factorise ce membre; • on utilise la règle : "un produit de facteurs est nul lorsque l'un des facteurs est nul". 2 1.3 Casparticulier : l’équationx=a• Sia>0, elle admet deux solutions :aet a. • Sia=0, elle admet une unique solution :0. • Sia<0, elle n'admet pas de solution.
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1.4 Equationcontenant l'inconnue au dénominateur Méthode : • On commence par déterminer, s'il y en a, les valeurs qui annulent les dénominateurs : elles ne peuvent pas être solutions; • on rassemble tous les termes dans un seul membre; • on écrit ce membre sous forme d'un seul quotient; • on utilise la règle : "un quotient est nul lorsque son numérateur est nul et que son dénominateur ne l'est pas" (on pourra avoir besoin de factoriser le numérateur). a c 1.5 Equationdu type :=b d Soita,b,cetddes réels tels quebý 0etdý 0. Pour résoudre ce cas particulier, on utilise la rèle desroduits en croix : a c =équivaut àad=bcb d 2 Inéquations Remarques préliminaires : • Une inéquation est formée de deux membres séparés par l'un des quatre signes suivants : <, Â, > ou Ã. • Les solutions d'une inéquation sont les nombres qui, substitués à la variable, transforment I'inéquation en une inégalité vraie. Ces solutions forment en général un intervalle ou une réunion d'intervalles.
2.1 Inéquationséquivalentes Définition : Les inéquations équivalentes sont des inéquations ayant le même ensemble de solutions. Méthode : On transforme une inéquation en une inéquation équivalente : • en ajoutant (ou retranchant) le même nombre aux deux membres, quel que soit le signe de ce nombre; • en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre strictement positif et en conservant le sens de l’inégalité; • en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre strictement négatif mais en changeantle sens de l'inégalité.
2.2 Signedeax+b (aý0)Trouver le signe deax+b, c’est trouver l’ensemble des valeurs dextel que :ax+b>0 ouax+b<0 Théorème : b b ax+best du signe deapourx>et du signe contraire de celui deapourx<.a a Le signe deax+best résumé dans le tableau de signes suivant : b õ +õ a signe de –a 0signe dea
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Exemples : 2 õ +õ 3 0+Démonstration : er 1 cas:a>0 •ax+b>0 eta>0 ñax>beta>0 b ñx>eta>0 a •ax+b<0 eta>0 ñax<beta>0 b ñx<eta>0 a
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5 õ +õ 4 +0
cd 2 cas:a<0 •ax+b>0 eta<0 ñax>beta<0 b ñx<eta<0 a •ax+b<0 eta<0 ñax<beta<0 b ñx>eta<0 a
2.3 Signed’un produit ou d’un quotient • On porte dans le même tableau le signe de chacun des facteurs. • On utilise la règle des signes ("moins" par "moins" donne "plus", "moins" par "plus" donne "moins" et "plus" par "plus" donne "plus". • Dans le cas d'un quotient, on exclut, s'il y a lieu, la ou les valeurs qui annulent le dénominateur du quotient. Dans le tableau de signes, on traduit cette exclusion par une double barre sous les valeurs exclues. Exemples : 2 5 õ +õ 3 4 0+ + ++0 0+0 0+
2.4 Résolutiond’une inéquation Pour résoudre une inéquation : • on rassemble tous les termes dans un même membre; • on factorise ce membre; • on étudie son signe, à l'aide éventuellement d'un tableau de signes; • on lit la réponse, en pensant à exclure, s'il y a lieu, les valeurs annulant les dénominateurs.
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