Cours Composites 06-07
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9999Matériaux CompositesGENERALITESdéfinitions, avantages et inconvénients, marchés d’applicationPROPRIETES ELASTIQUESdes propriétés micro aux propriétés macroCRITERES DE RUPTURETECHNOLOGIE éléments constitutifs et procédés de fabrication58Critères de rupturematrice fibre + interface ou interphase microscopique mésoscopique macroscopique 591Critères de rupture pour une couche32 σ2σ6En général, 5 contraintes à la rupture : σ 11X: contrainte à la rupture en traction dans la direction 1X’ : la rupture en compression dans la direction 1Y: contrainte à lans la direction 2Y’ : lans la direction 2S: contrainte à la rupture en cisaillement dans le plan 1260Critères de rupture pour une couche1) Critère de la contrainte maximale :′−X<<σ XPas de rupture des fibres si : 1′Pas de rupture de la matrice si : −YY<<σ2−
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Français
Matériaux Composites
9GENERALITES définitions, avantages et inconvénients, marchés d’application 9PROPRIETES ELASTIQUES des propriétés micro aux propriétés macro 9CRITERES DE RUPTURE 9TECHNOLOGIE éléments constitutifs et procédés de fabrication
fibre
Critères de rupture
m atrice
+ interface ou interphase microscopique
mésoscopique
macroscopique
58
59
1
Critères de rupture pour une couche
En général, 5 contraintes à la rupture : 1 X :contrainte à la rupture en traction dans la direction 1 X’ :rupture en compression dans la direction 1contrainte à la Y :contrainte à la rupture en traction dans la direction 2 Y’ :la rupture en compression dans la direction 2contrainte à S :contrainte à la rupture en cisaillement dans le plan 12
Critères de rupture pour une couche
1) Critère de la contrainte maximale :
Pas de rupture des fibres si :− ′ < σ1<X Pas de rupture de la matrice si :−Y′ < σ2<Y Pas de rupture en cisaillement si :−S< σ6<S
2) Critère de la déformation maximale :
Pas de rupture des fibres si : Pas de rupture de la matrice si : Pas de rupture en cisaillement si :
-X’ε<ε1< Xε -Y’ε<ε2< Yε -Sε<ε6< Sε
6
2 2
60
61
2
Critère de la contrainte max. Unidirectionnel dans les axes principaux d’orthotropie
X′ =1130
2 Y=42
Y′ =141
X=
1 ′ X=1130
6 S=63
S=63
X
=1
Critère de rupture en dehors des axes principaux
2 2 ⎧⎪⎨σ21⎡=⎪⎣⎬⎫Tσ⎤⎧σ⎦⎪⎨xy⎫=⎡⎪⎢⎬scsc−s2csc2⎤⎪σ⎨⎥⎧0x⎪⎬⎫ ⎪⎩σ6⎩⎪σ⎪σ⎭xy⎢⎭⎣⎪⎢−s2c s2c c2−s2⎥⎦⎪⎥⎩0⎪⎭
2 Traction suiσ⎪⎨⎪⎧1σ⎧⎬⎨⎪=⎪⎫xc⎬⎫⎪ vant x :σ2 σ⎪ ⎪xs2⎪ ⎩σ6⎭ ⎩−σxsc⎭
− ′ < σxc2<X Critère de la contrainte max :−Y′ < σxs2<Y −S< −σxsc<S
x
xθ 1
1500
1000
500
Y00
z 3
x
1
62
2
10 20 30 40 50 60 70 80 9063
3
Tsai-Hill
2 2 2 Critère de rupture d’une couche :⎝⎜⎛Xσ)'(1⎜⎠⎟+⎝⎞⎛Yσ)'(2σ⎟−⎠⎞X1'(σ22)⎛σ⎜+⎝S6⎞⎟=⎠1 Il ne faut pas oublier de placer au dénominateur des 3 premiers termes les valeurs des contraintes de rupture correspondant à la nature des sollicitations (traction ou compression)
Critère de rupture en dehors des axes principaux
⎪⎧⎩⎪⎨12⎬⎭⎫⎣⎪=⎪⎡Tσ⎨⎪⎦⎧⎪⎤yx⎢⎪−⎬⎢⎢⎫⎡=⎪sc22cs22−22−sccsσ⎥⎥⎨⎩⎧⎪⎥⎤⎪0x⎬⎫⎭⎪⎪ σσσ σ6⎩σxy⎭ ⎣ ss c c c2s2⎦0
Traction suivant x :σ⎨⎪⎧216⎨σ⎬=⎪⎪⎫⎧⎪⎪xc22c⎬⎪⎪⎫ σ σxs ⎪⎩σ⎭⎩−σxs⎭
x
x
θ 1
Critère de Tsai-Hill (traction) :σx2<c4s41c2s2c2s2 2+Y2−X2+S2
z
3
x
64
2
65
4
Tsai-Wu
Critère de rupture d’une couche :
un paramètre supplémentaire
⎡⎣⎢1X−X1⎦⎤′⎥σ1⎣+⎡⎢Y1−Y1⎦⎤′⎥σ2+Xσ1X2+′YσY22+′Sσ226+2XXF1∗′2YY′σ1σ2=1
−1≤F1∗2=F12XX′YY′ ≤1assure la convexité du critère
1 Hypothèse possible :F1∗2= − 2
Autres hypothèses
von Mises généralisé
66
67
5
Tsai-Wu Unidirectionnel dans la base d’orthotropie von Mises Généralisé
X′ =1130
2 Y=42
X=1270 1
Y′ =141
X′
1130
6
S=63
S=63
X=
Déformations des couches dans la base du stratifié
⎧⎨⎪⎪γεεxyxy⎫⎬⎪⎭kε⎧⎪⎩γ⎨ε⎪000xyyx⎪⎭⎫⎪⎬h⎢⎣⎡⎢aaa211116 ⎩ ⎪ ⎢= =
0xy
aa2221aa6162⎪⎥⎨⎥⎧⎤⎪00⎪⎬⎫⎪ a26a66⎥⎩⎦σ0xy⎭
déformation des couches (dans x,y,z)=déformation du stratifié (dans x,y,z)
70
68
69
1
6
Déformations des couches Arbre de transmission
εxa a ⎪⎨⎪⎧ε00y⎬⎪⎫⎪=h⎢⎢⎡a1211a2122 ⎩γ0xy⎭⎢⎣a16a26
z h/2
-h/2
a1600 a26⎪⎥⎨⎥⎪⎧⎤⎥0⎬=⎪⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧0⎬⎪⎪⎫ a66σ⎩⎦0xy⎭2.9 10−5σ0xy⎭
+45 -45 -45 +45
z4 z3 z0
y
70
Contraintes dans les couches dans la base du stratifié
x x σyQ12Q22Q26εyQ12Q22 ⎪⎧⎪⎨⎩σ⎪⎫⎪⎬⎭=⎡⎢⎢⎢⎢Q11Q12Q16⎥⎢⎩⎭⎪⎣⎪⎤⎥⎢⎡⎪⎧⎫⎬⎢⎥⎪⎢⎥ε=⎨Q11Q12 σkxy⎣Q16Q26Q66⎦γxykQ16Q26 k ⎩⎨⎪⎧⎪σσσxyyx⎬⎪⎫⎭⎪k⎢=⎡⎢⎢⎢⎣QQQ121611QQQ222621QQQ266661⎥⎤⎥⎥⎥⎦k⎩⎪⎨⎪⎧10.90025σ0xy⎭⎪⎬⎪⎫ −
QQ1626⎥⎤⎥εε⎪⎧00yx⎫⎪ Q66⎥⎦⎥k⎩γ⎪⎨0xy⎬⎪⎭
71
7
Contraintes dans une couche dans sa base d’orthotropie
⎧σx⎫⎧0.92 ⎩⎪⎨⎪y⎪⎪⎭⎬=⎪⎨⎩⎪0.92⎫⎪σ⎬⎭⎪0xy⎨σ⎪σ⎧⎩⎪xyxy⎬⎪⎫⎪⎭−45⎪=⎨⎪⎩⎧.0-0-29129.⎪σ⎬⎪⎫⎭0xy σxy451
⎧ ⎫ ⎪⎪⎨⎩σσσ621⎪⎫⎭⎬⎪k⎣=⎡Tσ⎦⎤kσ⎧⎩σ⎨⎪⎪σyxyx⎭⎫⎬⎪⎪k⎢⎣⎢⎢−⎡=ssc22sccs22c c−222−scscs2⎥⎤⎨⎧⎥⎪⎩⎦⎥σσ⎪σyxyx⎭⎬⎪⎪k ⎨⎪⎪⎧σσ621⎪⎫⎬⎪45⎪⎧⎨0.0-6329.14076⎫σ⎪⎬0xy⎩⎧⎪⎨σσ⎪1⎭⎩⎧⎫⎪⎪⎬⎨=⎪⎪042360.076-1.9⎫⎪⎪⎭σ⎬0xy ⎩⎭=⎪⎩⎪⎭26−45
Contrainte max[-45 45]S dans la base (x,y,z)
⎧⎪⎨σ1⎪=⎨⎬⎫⎧⎪1.9236⎪⎫ 0764σxy ⎪⎩σ62⎪⎭45⎪⎩0.0-⎬⎪⎭0
−1130≤1.9236σ0xy≤1270 −141≤ −0.0764σ0xy≤42 −63≤0≤63
−587.4≤ σ0xy≤660.2 -549.7≤ σ0xy≤1845.5
0xy
0xy
72
0x
8
Contrainte max[-45 45]S dans la base (x,y,z)
0y
0x
Tsai-Hill [-45 45]s
0xy
0xy
Critère de rupture d’une couche :⎛⎝⎜Xσ')(1⎞⎠⎟2+⎛⎝⎜Yσ)('2⎞⎠⎟2− σX(1σ22)'⎜+σ⎛⎝S6⎠⎞⎟2=1
Il ne faut pas oublier de placer au dénominateur des 3 premiers termes les valeurs des contraintes de rupture correspondant à la nature des sollicitations (traction ou compression)
⎜⎛−1,92X3′6σ0xy⎞⎟2⎛⎜+⎝0,076Y4σ0xy⎞⎟⎠2−(−1,9236σ0xyX)′(20,0764σ0xy)⎛⎜+0S⎞⎟2=1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜⎛1,9236σ0xy⎟⎠⎞2⎜⎝+⎛−0,0764σ0xy⎟⎠⎞2−(1,9236σ0xy)(−02,0764σ0xy)=1 1130 42 1130
0xy=397MPa
0x
75
9
Tsai-Hill
0xy=397MPa
Adresse Web
http://www.materials-sciences.com/
Calculateur permettant l’obtention :
• de la matrice A • du critère de rupture du premier pli des stratifiés 9contraintes et déformations max 9von Mises généralisé
77
10
Tsai-Wu[-45 45]S
0y
0x
0xy
604.6
320.6
-320.6
-604.6
0x
78
11
