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Sandrine GrellierCALCUL DIFFERENTIELSandrine Grellier23 janvier 2005CALCUL DIFFERENTIELSandrine GrellierCHAPITRE 1CONNEXITE1.1. Espaces metriques connexes.De nition 1.1.1 . — Un espace metrique (X,d) est connexe si les seules parties a la fois ouvertes et fermees de Xsont la partie vide ∅ et la partie totale X. Une partie Y d’un espace metrique (X,d) est connexe si l’espace metrique(Y,d) est connexe.Proposition 1.1.2. — Soit (X,d) un espace metrique non vide. Les proprietes suivantes sont equivalentes :1. (X,d) est connexe,2. X n’est pas l’union de deux ouverts disjoints et non vides de X,3. X n’est pas l’union de deux fermes disjoints et non vides de X,4. Toute fonction continue de X a valeurs dans {0,1} est constante sur X.Proprietes 1.1.3. — 1. Si f : (X ,d ) 7→ (X ,d ) est une fonction continue et si (X ,d ) est connexe alors1 1 2 2 1 1(f(X ),d ) est connexe.1 22. Si f : (X ,d ) 7→ (X ,d ) est un homeomorphisme alors (X ,d ) est connexe si et seulement si (X ,d ) est1 1 2 2 1 1 2 2connexe.3. Si (A ) est une famille de parties connexes de (X,d) d’intersection non vide alors∪A est une partie connexe dei i(X,d).4. L’adherence d’une partie connexe est une partie connexe.5. Le produit d’espaces connexes est connexe.1.2. Les parties connexes de R.Theoreme 1.2.1. — Les parties connexes deR sont les intervalles (non vides). En particulier,R est connexe.Corollaire 1.2.2. — (Theoremedesvaleursintermediaires.)Soit(X ...
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CHAPITRE 1
´ CONNEXITE
1.1.Espacesm´etriquesconnexes. De´finition1.1.1ecseUpna.et—m´qurie(X, dse)noctexenelisalofsiuoevtrsetesseulesparties`aes´ermfedeX sont la partie vide∅et la partie totaleX. Une partieYseap’dnu(euq´mecirteX, dsixeesl’tcesneon)iruqeapec´mte (Y, d) est connexe. Proposition 1.1.2. —Soit(X, d)antesuivt´eqssoneltniuavse:cepaesunt´esri´eprop.Lesivednenoiruq´mte 1. (X, d)est connexe, 2.Xn’est pas l’union de deux ouverts disjoints et non vides deX, 3.Xntnotnesjsioseidsdeviden’tpesl’asoinudednfxue´mreX, 4.Toute fonction continue deXnsdarseualav`{0,1}est constante surX. Propri´etes1.1.3 1.. —Sif: (X1, d1)7→(X2, d2)est une fonction continue et si(X1, d1)est connexe alors (f(X1), d2)est connexe. 2.Sif: (X1, d1)7→(X2, d2)srm´eomorphismealotseohnu(X1, d1)est connexe si et seulement si(X2, d2)est connexe. 3.Si(Ai)est une famille de parties connexes de(X, d)d’intersection non vide alors∪Aiest une partie connexe de (X, d). 4.L’adhu’enaptre´ercndesteeepuncoieexnnexen.itranoce 5.Le produit d’espaces connexes est connexe.
1.2. Les parties connexes deR. The´ore`me1.2.1. —Les parties connexes deRsont les intervalles (non vides). En particulier,Rest connexe. Corollaire 1.2.2. —(.iaedesirntsim´er´hTedemr`eourlevaes) Soit(X, d)upsenxeeetiqueconnacem´etrf:X7→ Rune application continue. Alorsf(X)est un intervalle ; en particulier sia, b∈Xet sizest tel quef(a)≤z≤f(b) alors il existe un pointc∈Xtel quef(c) =z.
1.3.Connexite´pararcs. De´finition1.3.1. — Soient (X, dcem´espaqueetetri)nux, ydeux points deX. Un chemin dex`ayest une application continueγ: [0,1]7→Xtelle queγ(0) =xetγ(1) =y. D´efinition1.3.2—U.spneeuqi(mecarte´X, d) est connexe par arcs si pour tousx, y∈Xil existe un chemin dex ay. ` De´finition1.3.3. — SoitEun espace vectoriel. Soienta, b∈E, on appelle segment joignantaa`bl’ensemble [a, b] ={ta+ (1−t)b;t∈[0,1]}. D´efinition1.3.4. — SoitEteenlei´mroveceorctunpaesAune partie deE. On dit queAio´lperase´tte`troppara un pointa∈Asi, pour toutb∈A, le segment [a, b] est inclus dansA. On dit queAest convexe si, pour tousa, b∈Ale segment [a, b] est inclus dansA. Remarque 1.3.5. — Un ensemble convexe est donc en particulier connexe par arcs.
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´ CHAPITRE 1. CONNEXITE
Lemme 1.3.6. —Soit(X, d)noi”alitaLeruq.eetricem´espaunendmihenceustxilexa`y” est une relation d’e´quivalence. Proposition 1.3.7. —iqtrueenUcapse´me(X, d)connexe par arcs est connexe. Th´eor`eme1.3.8. —ritoecev´ermnoelnaDcapsenussttenncono,ueruveluetnemsexesteionnexepasiilestcr arcs.
1.4. Composantes connexes. Soit (X, detique´etrmecapsenu)aun point deX. L’union des parties connexes deXcontenantaest une partie connexe : la composante connexe deaonee´tCa. C’est la plus grande partie connexe deXcontenanta. En particulierCa.)exennoctseeexnncound’ceen´hre’ldac(ra´meetferes The´or`eme1.4.1. —L’espaceXpmocnasodetnsesedionoisjr´menieuceirctmos´’noenetcsex.s
CHAPITRE 2
FONCTIONS VECTORIELLES
Dans tout ce chapitre(1),Esnsuon.eoN´tresuninsauessoctioxfongise´dapsenuenorctvecem´orlnief:I7→Eu`o, Iest un intervalle deR.
2.1.D´erive´e,in´egalit´esdesaccroissementsfinis. D´efinition2.1.1. — Soitfnunofeoitc´endiefinvoauinisegadea∈Raveltea`ansursdE. On dit quefeste´delbavir enas’il existe`∈Etel que x1−af(x)−f(a)→`lorsquex→a dansE. On dit alors que`est ledeiv´ed´ercevruetfenaet on note`=f0(a). Onde´finitdemˆemelessee´vire´d-imedherda`etioa`tecuag. On dit que la fonctionf:I7→Eesterivablesur´d l’intervalleIsiftne´niit`rairueleabiverpouttoen´dtseIentervalldse´i’le´rtxtimees´exeaud´i-iverss`eetposdemdede lorsqueIusintnrene’tsapalsrolatinfied´Ont.eruveollvacnofeiv´ed´ertionf0avveecleorpurlus´edrrdeneutqrpui,iv´e auxpointsinte´rieurs,lademi-de´riv´eea`droiteou`agaucheauxextr´emit´es.Lorsquelafonctionde´riv´eeestcontinue ena(resp. surI), on dit que la fonctionfestde classeC1ena(resp. surInsuitepad´efiniteneecelsrre´ucrrnO.) d´erive´esa`tousordresetlesfonctionsdeclasseCnen un point et sur un ensemble. Lorsquefdedess`eriv´sd´eseeop successivesa`tousordres,onditquefest de classeC∞en un point ou sur un ensemble. Remarque 2.1.2. — On aftseleenivabd´erasi et seulement si il existe`∈Eet une fonctionωeinfiovuae´disinage deaselrudsnaet`avaE, qui tend vers 0 lorsquextend versaet telle quef(x) =f(a) + (x−a)`+ (x−a)ω(x) au voisinage dea. Autrement ditfneelbav´eriestdasi kf(x)−f(a)−(x−a)f0(a)k |x−a| tend vers 0 lorsquextend versa. Propri´ete´s2.1.3. —vabl´erieen–fenUtcnodnoiaest continue ena. – Sigrseualavnsda`Eetϕruelava`snadsRelbarusso´sdtnvireI, alorsϕgsteerd´rvibaelusIavec(ϕg)0= ϕ0g+ϕg0. – Sifusrbaelrevid´leelritoecnviotcnofertuaenutseIet siEprodd’unmuniesttsuilacaenir´eoth,i, la fonction num´eriquehf, gi:x→−h7f(x), g(x)ietsabiverd´rsuleIavechf, gi0=hf0, gi+hf, g0i. Th´eor`eme2.1.4. —Soitf: [a, b]7→Eune fonction continue sur[a, b]ruselbavire´dte]a, b[. On suppose qu’il existe ϕ: [a, b]7→Rcontinue sur[a, b]avirselbe´d,ur]a, b[et telle qu’en tout pointxde]a, b[´eitalnoia´ngelti’ kf0(x)k ≤ϕ0(x). Alorsonaaussil’in´egalit´e kf(b)−f(a)k ≤ϕ(b)−ϕ(a). Corollaire 2.1.5. —).isfintsnemessiorccasedenI(age´´til Soitf: [a, b]7→Eune fonction continue sur[a, b]lbavrusedteire´]a, b[. On suppose qu’il existeM≥0tel que kf0(x)k ≤M
(1)Citnesseetnemelletrpihaecr´tisteeY’D.rudsae.unezilycodupodecopi´e
8CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES pour toutx∈]a, b[. Alors kf(b)−f(a)k ≤M(b−a). Unecons´equenceimme´diatedel’ine´galite´desaccroissementsfinisestlefaitqu’unefonctiond´erivablesurun intervallenontrivialetdede´rive´enulleestconstante. Proposition 2.1.6. —Soitfauvoisinaged’unpiotnunnofeoitce´dneinfiantoiupeaedte´iravlba. Si kf0(x)k |x−a|k→0 lorsquextend versaalors kf(x)−f(a)k |x−a|k+1→0 lorsquextend versa. Autrement dit, sif0(x) =o(|x−a|k)au voisinage dea, alorsf(x)−f(a) =o(|x−a|k+1). 2.2. Formules de Taylor Lemme 2.2.1. —Soient une fonctiongavela`nasrudsEbromnn,uel´eeraetn∈N∗. On suppose quegestn−1 foisd´erivableauvoisinagedeaetnbavineelisfoerd´aavec0 =g(a) =g0(a) =∙ ∙ ∙=g(n)(a). Alorsk|gx−(xa)|nk→0 lorsquextend versa. Th´eore`me2.2.2. —(formule de Taylor-Young).Soientfgenasioideuenofefinieauvnctiond´a∈Rsruelavat`e dansEetn∈N∗. On suppose quefestn−1blvauveasioigenaedfe´iriodsaetnableenof´dsivirea. Alors il existe une fonctionωd´,niefiuveasioieganedarsdanseva`tuelaE, qui tend vers0quandxtend versaet satisfait f(x) =f(a () +x1−!a)f0(a) +∙ ∙ ∙+ (x−n!c)nf(n)(a) + (x−c)nω(x). The´ore`me2.2.3. —(formule de Taylor-Lagrange).Soitf: [a, b]7→Eune fonction de classeCndans[a, b]et n+ 1lbdeiravdse´fioans]a, b[. On suppose de plus qu’il existeM≥0tel que kf(n+1)(x)k ≤M pour toutx∈]a, b[. Alors n f(b) =f(a) + (b1−!a)f0(a) +∙ ∙ ∙(b−n!a)f(n)(a) +R o˘Rgelatie´`tlai’´ntasruetcnasiafsiveun a)n+1 kRk ≤M(b(n−+ 1)!. Corollaire 2.2.4. —Soientfefunnseiade´nfioidnnotc]a−r, a+r[aval`snadsrueEetn∈N∗. On suppose quef estn+ 1ordreed’esdoifblvari´eseuqte,e´vire´dan+ 1esteemamnnroeeapoj´rnnrubromeM. Alorsfuep´’stirceer sous la forme f(x) =f(a () +x1−!a)f0(a) +∙ ∙ ∙(x−n!a)nf(n)(a) +R(x) avec − kR(x)k ≤M|x a|n+!1. (n+ 1) ´ 2.2.1.Etudelocaled’unecourbeparam´etr´ee.— D´efinition2.2.5—.nOreunefonconsid`enctiofnas`aursdvaleRntreerntniruuveollvaedteiuse´nfiIdeR. On noteraCfestntavideelacourberepr´efsedeniopstadt`elirns’eblem’cseM(t) obtenus parflorsqu’on munitRnde sa structure canonique d’espace affine. SoitA∈ Cfimage dea∈I. On dit que la courbeCfadmet une tangente enA silesdeuxconditionssuivantessontre´alis´ees: (i) Il existeη >0 tel quet∈]a−η, a+η[\{a}=⇒M(t)6=A. (ii) Il existe une fonction vectoriellevru]inse´dfiea−η, a+η[ qui admet une limite enaet telle que pour tout t∈]a−η, a+η[\{a}, le vecteurv(t) dirige la droiteAM(t). Proposition 2.2.6. —SoitAun point deCfimage dea∈I. (i)Sifelne´drevibaestaet sif0(a)6= 0alorsCfadmet une tangente enAodnnertstcueiderteurnvecontud´e parf0(a). (ii)Supposons quefest de classeCnau voisinage deaavecf0(a) = 0. On suppose de plus qu’il existej∈ {1,∙ ∙ ∙, n}tel quef(j)(a)6= 0. AlorsCfadmet une tangente enAntnudoonsdtreuerutcetercendvireimerpelrape´ vecteurd´erive´nonnulena.
