²*²‡²‡²*²²²·*Maths TS-Cours-Suites Chapitre 1 : Suites A ) Cours I) Raisonnement par récurrence : 1) Propriété : Le principe de récurrence est : Soit P n une propriété dépendant d’un naturel n . ( ) On suppose : qu’il existe un naturel n tel que P(n ) soit vraie 00 et que, pour tout naturel n tel que n n (P(n) est vraie implique que P (n+1) ,0est vraie) ; alors, on a montré par récurrence que, pour tout naturel n tel que n n , P (n) est 0vraie. 2) Exemple : k=n3 3 3 3Soit S =1 et pour tout n de ℕ S = k =1 + 2 + ... + n ; montrer que 1 n ∑k=12 2k=n n (n +1) 3pour tout n de ℕ S = k = noté P . n ∑ n4k=1 Preuve : 21 23* Initialisation :1 =1 = , donc P est vraie 14* La propriété est héréditaire: montrons que, pour tout n de ℕ ; (Si P est vraie alors P est vraie). n n+1Preuve : Soit n un naturel non nul quelconque. 2 2k=n n (n +1)3On suppose que S = k = ; n ∑4k=1(n +1)( n +2)on veut montrer que S = . n+142 2 k=n+1 k=nk=n n (n +1)3 3 3 3S = k = ; or k = k + (n +1) , ∑ ∑n ∑4 k=1 k=1k=12 2n (n +1) (n +1)( n +4( n +1))3donc S = + (n +1) = , n+14 4(n +1)( n +2)donc S = . n+14www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 1/17 ---*£²£²-˛‡-£˛*Maths TS-Cours-Suites *D’après l’initialisation et l’hérédité, on a montré par récurrence que : k=n n( n +1)3pour tout n de ℕ S = k = . n ∑4k=1 II) Suites (généralités) 1) Définition : Une suite u est une fonction définie sur ...
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