ALLOCATION D’ACTIFS D’UN REGIME DE RENTES EN COURS DE SERVICE ∗ αFrédéric PLANCHET Pierre THEROND βISFA – Université Lyon 1γJWA – Actuaires RESUME Nous comparons deux méthodes d’allocation initiale d’actifs d’un régime de rentes en cours de service dans le cas simplifié du choix de portefeuille entre un bon de capitalisation et un actif risqué modélisé par un mouvement brownien géométrique. Les deux méthodes d’allocation d’actifs proposées se fondent sur les critères de probabilité de ruine et de maximisation des fonds propres économiques. Nous abordons successivement les cas où les flux de passif sont connus puis aléatoires, ce qui nous permet d’étudier la décomposition du risque entre risque démographique (mutualisable) et risque financier (non mutualisable) puis l’impact de la prise en compte de la nature aléatoire des flux de prestations sur le choix de portefeuille. Enfin nous introduisons un processus de revalorisation des rentes lié à l’évolution de l’inflation et observons son impact sur les allocations obtenues par les deux critères retenus. MOTS-CLEFS : Allocation d’actifs, probabilité de ruine, fonds propres économiques, assurance vie, mutualisation, revalorisation de rentes. ASSET ALLOCATION OF A PENSION SCHEME DURING THE DECUMULATION PHASE ABSTRACT The aim of this paper is to compare two asset allocation methods for a pension scheme during the decumulation phase in the simplified portfolio selection between a risky asset ...
ALLOCATION DACTIFS DREGIME DE RENTES EN COURS DE SERVICEUN Frédéric PLANCHET∗ T PierreHERONDαISFA Université Lyon 1βJWA ActuairesγRESUMENous comparons deux méthodes dallocation initiale dactifs dun régime de rentes en cours de service dans le cas simplifié du choix de portefeuille entre un bon de capitalisation et un actif risqué modélisé par un mouvement brownien géométrique. Les deux méthodes dallocation dactifs proposées se fondent sur les critères de probabilité de ruine et de maximisation des fonds propres économiques. Nous abordons successivement les cas où les flux de passif sont connus puis aléatoires, ce qui nous permet détudier la décomposition du risque entre risque démographique (mutualisable) et risque financier (non mutualisable) puis limpact de la prise en compte de la nature aléatoire des flux de prestations sur le choix de portefeuille. Enfin nous introduisons un processus de revalorisation des rentes lié à lévolution de linflation et observons son impact sur les allocations obtenues par les deux critères retenus. MOTS-CLEFS dactifs, probabilité de ruine, fonds propres économiques, assurance vie,: Allocation mutualisation, revalorisation de rentes. AA PENSION SCHEME DURING THE DECUMULATION PHASESSET ALLOCATION OF ABSTRACTThe aim of this paper is to compare two asset allocation methods for a pension scheme during the decumulation phase in the simplified portfolio selection between a risky asset following a geometric Brownian motion and a riskless asset. The two asset allocation criteria are the ruin probability of the insurance company and the optimization of the economic equities. We first solve the asset allocation problem with deterministic pension payments then with stochastic mortality risk. We analyze the part of mortality risk in the global risk of the company. Then we show the impact of the indexation of the pensions on the inflation for the asset allocation. KEYWORDS allocation, ruin probability, economics equities, life insurance, mutualization, pension: Asset adjustment.Journal of Economic Literature Classification: G11, G23.
de juillet 2004 (1 Versionèreversion davril 2004). ∗et dAssurance à lISFA (Université Lyon 1 France) et Frédéric Planchet est professeur associé de Finance actuaire associé du Cabinet JWA-Actuaires. Contact : fplanchet@jwa.fr. α Thérond est étudiant en doctorat à lISFA et actuaire au sein du Cabinet JWA-Actuaires. Contact Pierre : ptherond@jwa.fr. βde Science Financière et dAssurances (ISFA) - 43, boulevard du 11 novembre 1918 69622 Institut Villeurbanne Cedex France. γ Cabinet JWAActuaires - 9, rue Beaujon 75008 Paris et 18, avenue Félix Faure 69007 Lyon.
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SOMMAIRE1.INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 21.1.CARACTERISTIQUES DU PORTEFEUILLE DE RENTES............................................................................... 31.2.NOTATIONS........................................................................................................................................... 41.3.PROBLEMATIQUE.................................................................................................................................. 42.FLUX DE PRESTATIONS DETERMINISTES ...................................................................................... 72.1.PROBABILITE DE RUINE......................................................................................................................... 72.2.FONDS PROPRES ECONOMIQUES............................................................................................................ 93.FLUX DE PRESTATIONS ALEATOIRES............................................................................................ 123.1.ANALYSE DU RISQUE.......................................................................................................................... 133.2.CRITERES DALLOCATION................................................................................................................... 164.REVALORISATION DES RENTES....................................................................................................... 174.1.MODELISATION DE LINFLATION......................................................................................................... 184.2.ALLOCATION DACTIFS....................................................................................................................... 214.3.UTILISATION DESOATI...................................................................................................................... 225. 23CONCLUSION ..........................................................................................................................................1. INTRODUCTIONLa détermination de lallocation dactif est un thème central dans les problématiques dassurance vie, particulièrement développé dans le contexte des contrats dépargne et des régimes de retraite supplémentaires. Dans le cas de la retraite, ou de prestations de rentes viagères, la durée des contrats permet aux services de gestion actif/passif délaborer des stratégies dallocation dactifs à long terme a priori indépendantes de spéculations à court terme (qui relèvent de lallocation tactique). Les premiers modèles dallocation dactifs à intégrer le risque lié aux placements ont été inspirés de techniques financières, en particulier de critères de type Markowitz [1952]. Mais ces modèles nintègrent pas les contraintes propres à un régime de rente. Au surplus, Boyle [2004] montre les limites de lutilisation de telles approches lorsque lon intègre lestimation des paramètres des actifs, qui peut conduire à une allocation sous-optimale. Depuis 2001, des auteurs comme Battochio, Menoncin, Scaillet[2004], Milevsky ou Boulier ont développé des modèles intégrant les contraintes assurantielles (notamment le risque de mortalité), mais leur mise en uvre pratique est délicate (du fait notamment de la problématique du choix dune fonction dutilité).
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Par ailleurs, dans le cadre des réflexions sur la solvabilité des organismes assureurs issues de « solvabilité 2 »1nouveaux modèles intégrant les paramètres de solvabilité par le biais, de dune contrainte sur la probabilité de ruine sont apparus. On détermine ainsi une allocation dactifs qui contrôle la probabilité de ruine de lassureur ou en dautres termes la capacité de faire face à ses engagements, au travers de critères de type Value-at-Risk (VaR) ou Tail-VaR. Dans ce contexte, lobjectif de ce travail est de proposer une démarche de détermination de lallocation stratégique spécifique des régimes de rentes intégrant les particularités de lassurance, sans nécessité de fixer à priori la probabilité de ruine, qui est simplement contrôléeex post. Lobjectif poursuivi est de proposer un critère dallocation pertinent et opérationnel. Afin de focaliser lexposé sur le choix du critère proposé et ses propriétés, un certain nombre dhypothèses simplificatrices sont effectuées ; elles seront relâchées dans de futurs développements. Cet article reprend lexemple utilisé par Gautron, Planchet et Thérond [2004] et repris par Planchet et Thérond [2004b]. 1.1. CARACTERISTIQUES DU PORTEFEUILLE DE RENTESDans la suite, nous utiliserons pour les applications numériques un portefeuille constitué de 374 rentiers âgés en moyenne de 63,8 ans au 31/12/2003. La rente annuelle moyenne sélève à 5 491 . Le graphiqueinfra les flux de prestations espérés en fonction du temps présente obtenus à partir de la table de mortalité TV 2000. 2 500 k
1 Voir notamment Association Actuarielle Internationale [2004] et les travaux de la Commission européenne (MARKT/2543/03 [2004]).
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Avec un taux descompte des provisions de 2,5 %, la provision mathématique initiale, sélève à 32,8 M. La duration2du passif est alors de 12,3 ans. 1.2. NOTATIONSNous noterons dans la suite de larticle : 9Etle montant des fonds propres à la datet, 9Ltle montant des provisions mathématiques à la datet, 9Atla valeur des placements à la datet, 9Ftle flux de prestation (aléatoire) qui aura lieu à la datet, 9ile taux (discret) descompte des provisions mathématiques, 9rle taux sans risque instantané, supposé constant, 9Pla probabilité historique etΦsa filtration naturelle, 9Jlensemble des individus, 9x(j) lâge en 0 de lindividujetrjle montant de sa rente annuelle.
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1.3. PROBLEMATIQUELe portefeuille est exclusivement constitué de rentes en cours de service supposée non réversibles. Lassureur ne reçoit donc plus de primes et doit gérer au mieux ses actifs afin de pouvoir honorer son engagement vis-à-vis des bénéficiaires. En 0, il estime la suite de flux probables de sinistres que nous noteronsFt t≥1: F=EFΦt t0 Où : ~∑] [ F=rj* 1t;∞Tx(j)t j∈J OùTx(j)désigne la date de décès (aléatoire) de la tête dâgex(j). Avec les notations classiques de lassurance vie : Ft∑rj*lxl(j)+t (3) = j∈Jx(j) 2On rappelle la définition de la duration de Macaulay, qui peut-être interprétée comme la durée de vie moyenne 1kkkèrera à dun échéancier de flux :D(f;i)=Vk∑≥1*f*(1+i)−oùV=k∑>1fk*(1+i)−k. Le lecteur se réf Quittard-Pinon [2002] pour les propriétés de la duration.
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A partir de cette estimation, il détermine une provision mathématiqueL0: ∞ L0∑Ft(1i)−t (4) = + t=1 Le bilan de lassureur en 0 peut alors sécrire : Bilan en 0 E0A0L 0Supposons que les prestations sont servies en début dannée, le bilan de lassureur évolue alors selon le processus suivant : = ++ LAtt=k1∑∞t1R~E(t1FAtki1)kΦ−tt~t (5) − =+−F Et=At−L t oùRtdésigne le rendement (aléatoire) du portefeuille financier entre les datest−1 ett. Supposons que lassureur puisse constituer son portefeuille financier avec deux actifs : 9Un bon de capitalisation non-risqué de prixYtà la datet: Yt=Y0ert (6) 9Un actif risqué dont le coursXsuit un mouvement brownien géométrique : dXXtt=µ dt+σdBt(7) OùBest un mouvement brownien standard sous la probabilité historiqueP. Pour simplifier les écritures, on posera, sans perte de généralité :X0=Y0=1 . Nous supposerons également que : µ ≥r≥i≥8)(0 - 5 -
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Cette hypothèse est assez naturelle puisque le rendement espéré dun actif risqué doit être plus élevé que celui dun placement sans risque et que le taux maximal descompte des provisions (fixé réglementairement) est, par prudence, moins élevé que le rendement escompté des actifs. Lorsque lassureur est amené à désinvestir pour payer les prestations, nous supposerons quil vend les deux actifs de manière proportionnelle à leur part respective dans la valeur de marché du portefeuille. De manière pratique, cela revient à considérer que lactif est investi en 0 dans un fonds qui ne fera plus lobjet darbitrage et dont lassureur vendra des parts pour régler les rentes. Formellement, on a : A1= (θX1+ (1−θ)Y1)A0−F1= (θX1+ (1−θ)Y1)A0−θX1+ (F11−θ)Y1 A2= (θX2+ (1−θ)Y2)A0−θX1+ (F11−θ)Y1−F2 A2= (θX2+ (1−θ)Y2)A0−s2=∑1θXs+ (F1s−θ)Ys Oùθproportion initialement investie en actif risqué.désigne la Par récurrence, il vient : θ+1− −At=Xt(θ)YtA0s∑t=1θXs+ (F1s−θ)Ys Notons que cette expression nest pas équivalente à : At+1=θXXtt+1+ (1−θ)erAt−Ft+1 (11) Cette approche alternative (11) correspond à la situation dans laquelle lassureur recompose, chaque début de période, son actif en investissantθ actif risqué enX et 1-θ bon de en capitalisationY. Le problème auquel se trouve confronté lassureur est de composer en 0 son portefeuille dactifs de manière optimale. Nous verrons dans la suite ce quil faut entendre par « de manière optimale ». Dans la suite du développement, nous supposerons que : 9Les rentes ne sont pas revalorisées (cette restriction sera levée dans le paragraphe 4). 9suites de flux de prestations et de rendements des actifs sont indépendantes.Les
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2. FLUX DE PRESTATIONS DETERMINISTESSupposons que les flux de prestations sont connus en 0. Cette situation correspond au cas dun portefeuille important, condition qui nest pas réalisée dans notre exemple (le cas général est traité au paragraphe 3). En effet, cela signifie que les effectifs à chaque âge sont suffisamment importants pour que lapproximation suivante soit validée : Ft≈EFt=Ft (12) Daprès (5), le bilan évolue alors de la manière suivante : Lt+1=1+i~)Lt−Ft+1 At+1=1+Rt+1At−Ft+1 (13) = − Et+1At+1Lt+1 Notons queEest une alors sous-martingale. En effet daprès (13), il vient : Et+1=1+Rt+1Et+Rt+1−i Lt (14) Or3: L ∀t≥0, ERt+1Φt≥i≥i*L+tE (15) t t Donc : EEt+1Φt≥ (1+i)Et≥Et (16) Intuitivement, cela signifie que lactionnaire verra en moyenne les fonds propres augmenter au cours du temps. En effet, du fait du choix prudent du taux dactualisation, les fonds propres de lassureur augmenteront en moyenne du fait des produits financiers quils génèrent et, en labsence de revalorisation des rentes, du fait de la sur-performance espérée des actifs en représentation des engagements techniques. 2.1. PROBABILITE DE RUINEDans cette partie, la contrainte du programme doptimisation de lassureur est de contrôler la probabilité de ruine de la société. Il y a ruine de lassureur lorsque les fonds propres sont réduits à 0, ou en dautres termes, lorsque lactif de la société ne suffit plus à couvrir les provisions. 3La condition (8) assure cette inégalité. - 7 -
Notonsτlinstant de ruine de lassureur : τ =Inft∈NEt<(710) τfiltration historique puisque cest le temps dentrée de laest un temps darrêt par rapport à la suiteEndans lensemble]− ∞;0[. Le profit espéré provenant du régime de rentes étant croissant avec le rendement espéré du portefeuille financier et donc de la part investie en actif risqué, lassureur va composer son portefeuille en fonction de la probabilité de ruine quil est prêt à accepter. Le programme doptimisation, que lassureur doit résoudre, peut donc sécrire : Supθ ∈ [0;1]Pθ(τ < ∞ π ) ≤ (18) max Oùπmaxdésigne la probabilité de ruine maximale que lassureur peut accepter. Les techniques de simulations permettent de résoudre simplement ce programme doptimisation. En effet, en discrétisant le processus de prix de lactif risqué, il est possible de générer des trajectoires du cours de cet actif. La part investie en actif risqué en 0 étant indépendante du cours de cet actif dans le futur, il est possible dutiliser ces trajectoires pour différentes allocations initiales de manière à pouvoir comparer, sur les mêmes bases, les différentes allocations. Dans notre cas, siNnombre de trajectoires simulées de lactif risqué, en notantest le ekn(θ)le montant des fonds propres de la société à la datek, dans létat du monden, pour lallocation initiale définie parθ, un estimateur empirique de la probabilité de ruine est : 1 1∑N1[;[n( ) (19) −Nn=1k∏≥1 0∞ekθ Le lecteur pourra se référer à Jacquemin et Planchet [2004] pour la génération de réalisations de variables aléatoires4 età Planchet et Thérond [2004a] pour la discrétisation de processuscontinus. Pour notre exemple, nous avons généré 10 000 trajectoires de lactif risqué. En faisant varier de 0% à 100% avec un pas de 0,05% la part initiale dactif risqué, nous avons disposé de 2.107qui nous ont permis de tracer le graphique 2.« scénarios » 4avons utilisé ici un générateur pseudo-aléatoire pour générer des réalisations de v.a. de loi uniforme quiNous ont été transformées par la technique de Box-Muller en réalisations de v.a. de loi normale.
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Pour les illustrations numériques, nous utiliserons les paramètres suivants5: E0=4% *L0r=ln1+4,62%} ≈4,52%σ =25%µ =ln1+6%)Siπmax= 1 %, lassureur investira alors 10,47 % de ses provisions et de ses fonds propres en actif risqué. Le graphique suivant représente la probabilité de ruine en fonction de la part dactif risqué du portefeuille financier à lorigine.
80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Graphique 2 : Probabilité de ruine en fonction de la part dactif risqué On notera la faible part dactif risqué dans lallocation optimale au regard des pratiques des sociétés dassurance vie. 2.2. FONDS PROPRES ECONOMIQUESLes dispositions réglementaires imposent de nombreuses contraintes aux assureurs : Disposer dun niveau minimal6de fonds propres. 9 9Escompter les flux futurs dans le calcul de la provision mathématique au taux maximal7deMin{60% *TME;3,5%}. 5Le taux sans risque correspond au taux de maturité la duration du passif sur la courbe des taux au 31 décembre 2003 publiée par lInstitut des Actuaires (modèle de Vasicek & Fong). 6 Le niveau des fonds propres initiaux est le minimum imposé par la marge de solvabilité en France : 4% des provisions mathématiques. Pour les contrats en unités de comptes, pour lesquels lassureur nassume pas de risque de placement, le marge de solvabilité est de 1% des provisions mathématiques. Cf. art. R.3341 et suivants du Code des assurances. 7la réglementation française (cf. article A33110 du Code des assurances) impose à lassureur Par prudence, descompter ses provisions à un taux inférieur à Min (60% * TME ; 3,5%), où TME est le Taux Moyen des emprunts de lEtat français.
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Le graphique 3 reprend lévolution du TME et des taux réglementaires qui y font référence. 6,0% 5,5% 5,0% 4,5% 4,0% 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% mars-97 mars-98 mars-99 mars-00 mars-01 mars-02 mars-03 mars-04 TME 75% TME Réglementaire 60% TME Réglementaire Graphique 3 : Evolution du TME et des taux réglementaires de mars 1997 à mars 2004 Dans le cadre dun contrat sans revalorisation des rentes, lactionnaire tire son profit de deux sources : les revenus financiers générés par le capital et le résultat provenant de lopération dassurance à proprement parler. En effet, si le taux technique est inférieur au rendement réel des actifs, les provisions mathématiques vont générer des profits. NotonsΛθla variable aléatoire : ∞F Λθ=t∑=1θXt+ (1t−θ)Yt (20) Cette variable aléatoire est la valeur limite de la quantité utilisée dans le membre de droite de léquation (10).EΛθpeut sinterpréter comme la provision mathématique « économique » du régime de rentes,i.e.flux futurs actualisés au taux de rendement dula valeur probable des portefeuille financier. En effet, si lon noteRt(θ) le rendement du portefeuille dactifs entre les datest-1 ett, il vient :
∞ Λθ=∑tFt t=1∏1+R~s(θ) (21) s=1 MinimiserEΛθ à choisir lallocation qui, en moyenne, « revient au mieux les amortira » flux de prestations futurs.
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Notons queL0 etE0 étant fixés, minimiserEΛθ également à maximiser les fonds revient propres économiquesE0+L0−EΛθ. Il est donc possible décrire le programme doptimisation suivant : Inf EΛθ(22) θ∈ [0;1]Par la suite, nous désignerons ce programme comme étant le « critère de lactionnaire » en cela quil a pour effet de maximiser les fonds propres économiques en 0. Les techniques de Monte-Carlo permettent de résoudre ce problème : 82,0% 81,5% 81,0% 80,5% 80,0% 79,5% 79,0% 78,5% 78,0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Graphique 4 : Provision mathématique économique (en pourcentage deL0) en fonction de la part dactif risqué Avec les mêmes paramètres que précédemment, la valeur optimale deθ est 8,85 %. Cette proportion initiale investie en actif risqué correspond à une probabilité de ruine de 0,3 %. Ce modèle apparaît en ce sens plus contraignant que le critère de la probabilité de ruine. Par construction, il induit une bonne adéquation des flux dactif et de passif. Enfin, il présente lavantage de ne pas avoir à fixer à priori, de manière arbitraire, la probabilité de ruine. La probabilité de ruine de lallocation déterminée sera juste contrôléeex post. De la même manière que lallocation qui contrôle une probabilité de ruine, lallocation définie par la maximisation des fonds propres économiques est très sensible à la volatilité de lactif risqué.