Ztransform-cours
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4 Transformee en z4.1 De nitions et notations.De nition 1 La transformee en z d’une suite (a ) est la somme de la serie :n n2N+1X 1A(z) = a :n nzn=0PnSi le rayon de convergence de la serie entiere a x est R> 0 ;nn01en posant x = ,z 1 1 A(z) est bien de nie pour tout z2C tel que .z RLe fonction A(z) est aussi noteeZ [a ].nOn appelle (a ) l’original de A(z).n nPnExemple 1 Si a = 1 pour tout n alors le rayon de convergence de x est 1.n n0Pour z > 1 on aA(z) = :De nition 2 Soient f : R! R une fonction nulle sur R (signal causal) et<0T 2R . L’echantillonnage de f de periode T est la suitee >0 e(f(nT )) = :e nLa transformee en z d’un echantillonage (f(nT )) est la somme de la serie :e nF (z) = :lorsqu’elle existe.On la note F (z),Z [f(nT )] ouZ [f] si T est explicite.e e404.2 Exemples fondamentaux.4.2.1 Echelon uniteLe signal est1 si t 0U(t) =0 si t< 0Son echantillonage a la periode T est la suite de terme generaleU(nT ) = :eSa transformee en z :Z [U(nT )] =epour z2C tel quejzj> 1 .414.2.2 Suite de DiracLa suite est de nie par(0) = 1(nT ) = 0 pour tout n2N :e >0Sa transformee en z :Z [(nT )] =epour z2C.424.2.3 Suite exponentielleLe signal esttf(t) =a = exp(t lna):Son echantillonage a la periode T est la suite de terme generalenTef(nT ) =a :eSa transformee en z :nTeZ [a ] = T ea Tepour z2C tel que < 1 i.e.jzj>jaj . zn zEn particulier si T = 1 : Z [a ] = ...
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4Transform´eeen z 4.1D´efinitionsetnotations. D´efinition1 La transform´eeen z d’une suite ( a n ) n ∈ N estlasommedelas´erie: + ∞ A ( z ) = X a n z 1 n . n =0 Silerayondeconvergencedelas´erieentie`re P n ≥ 0 a n x n est R > 0 ; en posant x = z 1 , A ( z )estbiende´finiepourtout z ∈ C tel que z 1 < R soit | z | > R 1 .
Le fonction A ( z ) est aussi notee Z [ a n ]. ´ On appelle ( a n ) n l’original de A ( z ). Exemple 1 Si a n = 1 pour tout n alors le rayon de convergence de P n ≥ 0 x n est 1 . Pour z > 1 on a A ( z ) = .
De´finition2 Soient f : R → R une fonction nulle sur R < 0 (signal causal) et T e ∈ R > 0 .L’e´chantillonnagede f dep´eriode T e est la suite ( f ( nT e )) n = .
Latransform´eeen z d’une´chantillonage ( f ( nT e )) n estlasommedelase´rie: F ( z ) = . lorsqu’elle existe. On la note F ( z ) , Z [ f ( nT e )] ou Z [ f ] si T e est explicite.
40
4.2 Exemples fondamentaux. ´ 4.2.1Echelonunit´e Le signal est
U ( t ) = 10ssii tt< ≥ 00
Sone´chantillonagea`lap´eriode T e estlasuitedet´en´eral erme g U ( nT e ) = .
Sa transformee en z : ´ Z [ U ( nT e )] =
pour z ∈ C tel que | z | > 1
41
.
4.2.2 Suite de Dirac Lasuiteestd´efiniepar
Satransforme´een z :
δ (0) δ ( nT e )
Z [ δ ( nT e )] =
= =
1 0 pour tout n ∈ N > 0 .
pour z ∈ C .
42
4.2.3 Suite exponentielle Le signal est
f ( t ) = a t = exp( t ln a ) .
Son´echantillonagea`la´ide T e estlasuitedetermeg´en´eral per o nT e f ( nT e ) = a . Sa transformee en z : ´ Z [ a nT e ] =
pour z ∈ C tel que a T z e < 1 i.e. | z | > | a | T e .
En particulier si T e = 1 : Z [ a n ] = zz − a pour | z | > | a | .
43
4.3Proprie´t´es.
4.3.1Line´arite´
The´ore`me1 Soient ( u n ) n ∈ N , ( v n ) n ∈ N deux suites et λ , µ deux
Preuve. – . . .
Exemples 1
Z [ λu n + µv n ] = λ Z [ u n ] + µ Z [ v n ] .
Calculons Z [cos( ωn )] et Z [sin( ωn )] .
44
nombres.
Alors
4.3.2 Retard The´oreme2(duretard) Soit ( v n ) n ∈ N une suite ; notons ( w n ) n ∈ N lasuiteretard´ee ` donne´epar w n = v n − p si n ≥ p > 0 . w n = 0 si n < p Alors Z [ w n ] = z 1 p Z [ v n ] . L’´egalite´duth´eor`emesere´´ecrit Z [ U ( n − p ) v n − p ] = z − p Z [ v n ] . Preuve. –
4.3.3 Avance The´ore`me3(del’avance) Soit ( v n ) n ∈ N une suite ; notons ( w n ) n ∈ N lasuiteavance´e d ´ r w n = U ( n ) v n +1 . Alo onnee pa rs Z [ w n ] = z ( Z [ v n ] − v 0 ) . Onpeutg´en´eraliserceth´eore`meparre´currence: Z [ U ( n ) v n + p ] = z p Z [ v n ] − P kp − =10 zv kk . Preuve. –
45
4.3.4 Multiplication par n . Proposition 1 Soit ( v n ) n ∈ N une suite. Alors Z [ nv n ] = − z ddz Z [ v n ] . Preuve. –
4.3.5 Multiplication par a n , a ∈ C .
Proposition 2 Soit ( v n ) n ∈ N une suite. Alors Z [ a n v n ]( z ) = Z [ v n ] za . Preuve. –
46
4.4Transform´eed’unsignalpe´riodique Th´eor`eme4 Soient T e ∈ R > 0 et f un signal mT e -pe´riodique.Notons f 0 le signal f 0 ( t ) = f ( t ) si t ∈ [0 , mT e [ 0 sinon.
Alors Z [ f ( nT e )] = zz mm − 1 Z [ f 0 ( nT e )] , ou avec d’autres notations :
Preuve. –
F ( z ) = z m z m − 1 F 0 ( z ) . pour z ∈ C tel que | z | > 1 .
47
4.5 Valeur initiale et valeur finale Th´eor`eme5(delavaleurinitiale) Soit ( a n ) n ∈ N une suite et A ( z ) satransform´ee en z . Si la limite existe on a : lim | z |→ + ∞ A ( z ) = a 0 .
Preuve. –
The´ore`me6(delavaleurfinale) Soit ( a n ) n ∈ N une suite et A ( z ) satransform´ee en z . Si les limites existent on a : | z | lim + ∞ A ( z ) 1 − z 1 = lim a n . → n → + ∞
Preuve. –
48
4.6 T ansf ´ z et convolution r ormee en Rappels 1. Si f et g sont deux fonctions nulles sur R < 0 , on note = x ( f ∗ g )( x ) = Z ττ =0 f ( τ ) g ( x − τ ) dτ le produit de convolution de f et g. 2. Si ( a n ) n ∈ N et ( b n ) n ∈ N sont deux suites, on note
k = n ( a ∗ b ) n = X a k b n − k le produit de convolution de ( a n ) n ∈ N et ( b n ) n ∈ N . k =0 Compatibilit´e ( a n ) n ∈ N estl’e´chantillonnagede f Soit T e unepe´rioded’´echantillonnage, ( b n ) n ∈ N estl’´echantillonnagede g alors ( a ∗ b ) n n ∈ N estl’e´chantillonnagede( f ∗ g ).
The´or`eme7 Soient ( a n ) n ∈ N et ( b n ) n ∈ N deux suites. On a Z [( a ∗ b ) n ] = Z [ a n ] ∙ Z [ b n ] . Soient f et g deux signaux casaux et F ( z ) et G ( z ) leurstransforme´esen z de pe´rioded’´echantillonnage T e . On a Z [ f ∗ g ] = F ( z ) ∙ G ( z ) .
Preuve. – Z [( a ∗ b ) n ] =
Enrempla¸cant n − k par m :
49
4.7 Tra f ´e inverse & Applications ns orme Commentretrouverl’originald’unetransform´eeen z ? suite ( a n ) n ∈ N telle que a 2 0 a n = +1 0+ a n = U ( . Exemple 2 On cherche une n ) Latransforme´een z e´tantlin´eaireonobtient
Letheor`emedel’avancedonne ´
et on a donc
c’est-`a-dire Z [ a n ] =
Comment obtenir a n ?
50
.
