Traité d'analyse

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Hermann Laurent

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Calculus

TRAITÉ
DANALYSE— GMTllIER-VII.LAns KT FILS-Ipjl l'ARIS. IMPRIMKRIl'
Quai Grands-Auguslins, 55.des:^^€rti~
TRAITÉ
D'ANALYSE
H. LAURENT,
KXAMINATF.fR d'admission A I.'kCOLE POLVTECIlNIDfE.
Le calcul de Leibnitz la mené dans des
pais jus(iu ici inconnus; et il a fait desy
découvertes qui font 1 elonnenient des plus
habiles uiatlieniaticien> de l'Iiurupe.
De l'Hosphal, CtiUiil fies
inl'iniineiit pelits
TOME V.
CALCUL INTÉGRAL.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORUINAIKES.
PARIS,
GAUTIIIER-VILLAKS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BURKAU t)i;S LON G IT U D KS, D lî l'kCOLE I'O I, VT E C IIM U I-Q
,
(hiai des Gr;iiids-Au{;iistiiis, 55.
1890
I Tous ilioil- rcM-rvi'».]yiSi
r
QVA
ôOqTRAITÉ
D'ANALYSE.
CALCUL INTÉGRAL.
DIFFÉRENTIELLESÉQUATIO^S ORDINAIUES.
CHAPITRE I.
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
I. — Préliminaires.
Une équation différenlielle esl une relation entre une ou
plusieurs variables, une ou plusieurs fonctions inconnues de
ces variables et leurs dérivées ou leurs difTérenliclles.
Il a trois espèces d'équations différentielles :y
!*• Les équations différentielles ordinaires, qui ont lieu
entre une ou plusieurs fonctions d'une seule variable et leurs
dérivées l'ordre d'une équation différentielle ordinaire
; est /?,
quand elle contient des dérivées d'ordre n sans contenir de
dérivées d'un ordre plus élevé.
2° Les équationsaux dérivéespartielles, qui ont lieu entre
une ou plusieurs fonctions de plusieurs variables et leurs
dérivées; l'ordre d'une équation aux dérivées partielles est n
L. — Traité d'Analyse, V. iCHAPITRE I.2
d'ordre n sans contenirquand olk- contient îles dérivées de
plus élevé.dérivées d'un ordre
3° Les équations aux différentielles totales, qui ont lieu
plusieursentre uiic ou plusieurs fonctions de variables, les
des variables et les difTérentielles totales desdilTérentielles
fonctions. L'ordre d'une équation aux totales
elle contient des différentielles d'ordre n,est n quand sans
d'un ordre plus élevé.en contenir
Intégrer, ou résoudre une équation différentielle, ou un
difTérentielles, c'est trouversvslème d'équations la forme
qu'il faut attribuer aux fonctions contenues dans cette équa-
tion ou dans ce système, pour que cette équation ou ce
système d'équations se réduise à une identité ou à un d'identités.
Nous démontrerons que les équations difTérentielles ordi-
aux dérivées partielles admettent ordinairementnaires et
des solutions, et même en général des solutions en nombre
infini. Au contraire, les équations aux difTérentielles totales
n'en admettent que si elles satisfont à certaines conditions.
Quoi qu'il en soit, on peut voir immédiatement sique une
équation peut être ramenée à la forme
=d\j o,
c^U désignant une différentielle exacte, elle admettra la solu-
tion unique = const.U C'est souvent en ramenant une équa-
tion à cette forme que l'on parvient à l'intégrer, c'est souvent
une équation de celte forme que l'on clierche à déduire
d'équations données pour en découvrir une solution (').
—II. Théorème fondamental.
Soient t une variable réelle et x,\\, z, . . . un système
de V fonctions inconnues de t. Si lesfonctions cp, . . .^,y,
Le(') lecteur pourra passer tout de suite au Ctiap. Il s'il voit le Calcul
inlégrii! pnnr in première fois, en admettant pour le moment que toute
érjualion dillcrcntieilc à une inconnue a une solution renfermant autant
de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans son ordre.