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G´ eom´etrie Diff´erentielle/Differential Geometry Analyse Fonctionnelle/Functional AnalysisISOMORPHISME DE THOM ET FEUILLETAGES PRESQUE SANS HOLONOMIEGilbert HECTOR et Marta MACHO-STADLERIsomorphisme de Thom et feuilletages presque sans holonomieResum´e.- Grˆ ace al` arepr´esentation du groupo¨ıde d’holonomie d’un feuilletage presque sans holonomie,comme graphe de groupes ab´eliens, on va montrer que ces feuilletages v´erifient la conjecture de Baum-Connes dans une version tout `a fait analogue `a celle utilis´ee par A. Connes pour les actions de IR.Thom isomorphism and almost without holonomy foliationsAbstract.- We describe the holonomy groupoid of a foliation almost without holonomy as a graph of abeliangroups. As a consequence, we obtain that the Baum-Connes conjecture holds true for these foliations in away similar to the one described by A. Connes for IR-actions.¨1.- Groupoıdes et feuilletagesTout groupo¨ıde de Lie G induit sur son espace d’unit´es M une relation d’´equivalence ouverte, quid´ efinit sur M un feuilletage de Stefan. Il est dit r´egulier lorsque ses fibres sont connexes et lessous-groupo¨ıdes d’isotropie sont discrets; dans ce cas, le feuilletage induit sur M est r´egulier. Ungroupo¨ıde r´egulier r´ealise un feuilletageF, lorsque ses orbites sont les feuilles deF.Ungroupo¨ıdede Lie r´egulier a` fibres contractiles est appel´e groupo¨ıde classifiant: cette appellation est justifi´eepar le fait que dans ce cas, le classifiant BG de G alet ype ...
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Français
G´
eom´
etrie Diff´
erentielle
/
Differential Geometry
Analyse Fonctionnelle
/
Functional Analysis
ISOMORPHISME DE THOM ET FEUILLETAGES PRESQUE SANS HOLONOMIE
Gilbert HECTOR et Marta MACHO-STADLER
Isomorphisme de Thom et feuilletages presque sans holonomie
Resum´
e
.- Grˆace `
a
l
a repr´
esentation du groupo¨
ıde d’holonomie d’un feuilletage presque sans holonomie,
comme graphe de groupes ab´
eliens, on va montrer que ces feuilletages v´
erifient la conjecture de Baum-
Connes dans une version tout `a fait analogue `a celle utilis´
ee par A. Connes pour les actions de
IR
.
Thom isomorphism and almost without holonomy foliations
Abstract
.- We describe the holonomy groupoid of a foliation almost without holonomy as a graph of abelian
groups. As a consequence, we obtain that the Baum-Connes conjecture holds true for these foliations in a
way similar to the one described by A. Connes for
IR
-actions.
1.- Groupo
¨
ıdes et feuilletages
Tout groupo¨
ıde de Lie
G
induit sur son espace d’unit´
es
M
une relation d’´
equivalence ouverte, qui
d´
efinit sur
M
un feuilletage de Stefan. Il est dit
r´
egulier
lorsque ses fibres sont connexes et les
sous-groupo¨
ıdes d’isotropie sont discrets; dans ce cas, le feuilletage induit sur
M
est r´
egulier. Un
groupo¨
ıde r´
egulier
r´
ealise un feuilletage
F
, lorsque ses orbites sont les feuilles de
F
.
U
n groupo¨
ıde
de Lie r´
egulier `
a fibres contractiles est appel´
e
groupo¨
ıde classifiant
: cette appellation est justifi´
ee
par le fait que dans ce cas, le classifiant
BG
de
G
a
l
e
type d’homotopie de
G
(et donc aussi de
M
). Le groupo¨
ıde
G
est
K-orient´
e
,
s
i
l
e groupe structural du fibr´
e
T
(
F
) est r´
eduit `
a
Mln
c
(
IR
) (ou
de fa¸
con ´
equivalente, si le classifiant
BG
de
G
admet une structure
Spin
c
).
On d´
esignera par
C
∗
(
G
)
l
a C*-alg`
ebre r´
eduite du groupo¨
ıde de Lie (ou plus g´
en´
eralement, du
groupo¨
ıde localement compact)
G
. Les notions d’´
equivalence de Morita sont d´
efinies pour les
groupo¨
ıdes (respectivement, les C*-alg`
ebres) dans [2] (respectivement, [9]). Enfin, dans [9], on
montre que les C*-alg`
ebres de groupo¨
ıdes ´
equivalents sont ´
equivalentes.
Si
G
est le groupo¨
ıde d’holonomie de (
M,
F
), il est Morita-´
equivalent (voir [2]) au groupo¨
ıde
d’holonomie transverse
G
T
T
=
{
γ
∈
G
:
α
(
γ
)
,β
(
γ
)
∈
T
}
,
o
`u
T
est une sous-vari´
et´
e transverse
(en g´
en´
eral non connexe). Deux feuilletages sont dits
Morita-´
equivalents
,
s
i leurs groupo¨
ıdes
d’holonomie respectifs le sont. Tout feuilletage est Morita-´
equivalent `
a
u
n feuilletage `
a feuilles
de dimension paire.
2.- Suite exacte en K-th
´
eorie topologique
On transpose `
a
l
a cat´
egorie des groupo¨
ıdes de Lie (puis de leurs C*-alg`
ebres) la construction de la
suite exacte de K-th´
eorie d’une paire (
M,U
), o`u
U
est un ouvert d’une vari´
et´
e
M
,
e
t
o
n obtient: si
G
est un groupo¨
ıde de Lie r´
egulier, on consid`
ere
U
⊂
M
un ouvert satur´
e
(
pour le feuilletage r´
ealis´
e
par
G
sur
M
)
e
t
F
=
M
−
U
. Alors
G
U
est un sous-groupo¨
ıde ouvert plein de
G
,
e
t l’inclusion
naturelle de
G
U
dans
G
induit un homomorphisme injectif de C*-alg`
ebres (l’extension par z´
ero),
e
:
C
∗
(
G
U
)
−→
C
∗
(
G
), dont l’image est un id´
eal ferm´
e
d
e
C
∗
(
G
). On appelle
e
un
morphisme
d’inclusion
entre C*-alg`
ebres. Le sous-groupo¨
ıde ferm´
e
G
F
=
G
−
G
U
n’est pas en g´
en´
eral un
groupo¨
ıde de Lie, mais seulement un groupo¨
ıde localement compact, dont l’inclusion dans
G
est
propre. Cette inclusion induit un
morphisme de restriction
r
:
C
∗
(
G
)
−→
C
∗
(
G
F
). On obtient donc
la suite: 0
→
C
∗
(
G
U
)
e
→
C
∗
(
G
)
r
→
C
∗
(
G
F
)
→
0, o`u, en g´
en´
eral,
Ker
(
r
)
⊂
Im
(
e
). On dit que le
ferm´
e
F
est
permis
, lorsque la suite ci-dessus est exacte: ces ferm´
es permis seront obtenus `a l’aide
de conditions de moyennabilit´
e
(
voir th´
eor`
eme 6). En proc´
edant de fa¸
con tout `
a fait analogue au
cas topologique, on montre [8]:
1
Proposition 1
Avec les notations ci-dessus, si
F
est un ferm´
e
permis, on a la suite exacte longue:
→
K
1
(
C
∗
(
G
U
))
e
∗
→
K
1
(
C
∗
(
G
))
r
∗
→
K
1
(
C
∗
(
G
F
))
∂
→
K
0
(
C
∗
(
G
U
))
e
∗
→
K
0
(
C
∗
(
G
))
r
∗
→
K
0
(
C
∗
(
G
F
))
.
Le morphisme de connexion
∂
est construit par un proc´
ed´
e
e
n tout point semblable `
a celui utilis´
e
dans le cas des espaces localement compacts et C*-alg`
ebres commutatives: c’est donc une composi-
tion de morphismes d’inclusion et de restriction. Il en est ainsi pour tous les morphismes de groupes
qui apparaissent dans la suite exacte longue ci-dessus; ceci servira pour ´
etablir les propri´
et´
es de
fonctorialit´
e
a
u paragraphe 3.
3.- L’homomorphisme de Thom
Si
G
est un groupo¨
ıde K-orient´
e, qui r´
ealise un feuilletage sur
M
`
a feuilles de dimension paire, A.
Connes et G. Skandalis [1] construisent l’
homomorphisme de Thom
µ
:
K
0
(
C
0
(
M
))
−→
K
0
(
C
∗
(
G
)),
qui en fait est induit par la
correspondance fondamentale
(au sens des groupo¨
ıdes, voir [8]) entre le
groupo¨
ıde trivial
M
et le groupo¨
ıde d’holonomie
G
.
I
l
poss`
ede les propri´
et´
es fonctorielles suivantes
(voir [7] et [8]):
Proposition 2
Si le groupo¨
ıde
G
est K-orient´
e
e
t
`a feuilles de dimension paire, alors il en est de
mˆ
eme pour les groupo¨
ıdes
G
U
et
G
F
et on a les diagrammes commutatifs:
K
0
(
C
0
(
U
))
(
e
0
)
∗
−→
K
0
(
C
0
(
M
))
µ
U
↓
↓
µ
K
0
(
C
∗
(
G
U
))
(
e
)
∗
−→
K
0
(
C
∗
(
G
))
et
K
0
(
C
0
(
M
))
(
r
0
)
∗
−→
K
0
(
C
0
(
F
))
µ
↓
↓
µ
F
K
0
(
C
∗
(
G
))
(
r
)
∗
−→
K
0
(
C
∗
(
G
F
))
Th´
eor`
eme 1
[8]
Dans les conditions ci-dessus, si
U
est un ouvert satur´
e
e
t
F
=
M
−
U
un ferm´
e
permis, on a un diagramme commutatif:
K
1
(
C
0
(
U
))
(
e
0
)
∗
→
K
1
(
C
0
(
M
))
(
r
0
)
∗
→
K
1
(
C
0
(
F
))
∂
0
→
K
0
(
C
0
(
U
))
(
e
0
)
∗
→
K
0
(
C
0
(
M
))
(
r
0
)
∗
→
K
0
(
C
0
(
F
))
µ
U
(1)
µ
(2)
µ
F
(3)
µ
U
(4)
µ
(5)
µ
F
K
1
(
C
∗
(
G
U
))
e
∗
→
K
1
(
C
∗
(
G
))
r
∗
→
K
1
(
C
∗
(
G
F
))
∂
→
K
0
(
C
∗
(
G
U
))
(
e
)
∗
→
K
0
(
C
∗
(
G
))
(
r
)
∗
→
K
0
(
C
∗
(
G
F
))
Preuve:
Tous les homomorphismes qui apparaissent ont ´
et´
e obtenus `
a partir de morphismes
d’inclusion ou de restriction, il suffit donc d’utiliser la proposition 2.
4.- Feuilletages presque sans holonomie
On va appliquer les consid´
erations pr´
ec´
edentes `a certains feuilletages
F
de codimension un, de
classe
C
r
(
r
≥
1), transversalement orient´
es par un champ de vecteurs
Y
,
d
e norme finie, sur une
vari´
et´
e riemannienne compl`
ete
M
,
d
e dimension
m
, tangent au bord si
∂
(
M
) =
∅
.
Le feuilletage (
M,
F
) est
presque sans holonomie
([3] et [4]), si l’holonomie de toute feuille non
ferm´
ee est triviale. Si
M
est compacte, on retrouve les feuilletages presque sans holonomie
habituels. Le feuilletage est
de type fini
, s’il ne poss`
ede qu’un nombre fini de feuilles ferm´
ees.
Cette restriction n’est que provisoire; il s’agit plutˆ
ot d’une simplification technique (voir [6]). Dans
la suite, (
M,
F
) sera un feuilletage presque sans holonomie de type fini.
Un
graphe fini de groupes d’hom´
eomorphismes ab´
eliens de type fini de
IR
est d´
efini par les donn´
ees
suivantes:
(i) un graphe Γ = (Γ
0
,
Γ
1
,s,r
) fini et orient´
e,
(ii) pour
s
∈
Γ
0
,
u
n groupe ab´
elien de type fini
G
s
d’hom´
eomorphismes de
IR
, sans point fixe,
2
(iii) pour chaque
a
∈
Γ
1
,
u
n groupe ab´
elien de type fini
H
a
d’hom´
eomorphismes de
IR
, ayant 0
comme unique point fixe,
(iv) pour chaque
a
∈
Γ
1
, deux homomorphismes de groupes:
S
a
:
H
a
−→
G
s
(
a
)
et
R
a
:
H
a
−→
G
r
(
a
)
,
o`u
R
a
(
f
)
=
log
◦
f
◦
exp
et
S
a
(
f
)
=
log
◦
f
◦
−
exp
,
pour
f
∈
H
a
.
G´
eom´
etriquement, le passage de
H
a
`
a
G
r
(
a
)
consiste `a restreindre
f
`
a
(
0
,
∞
), puis reparam´
etrer
pour obtenir un hom´
eomorphisme de la droite, qui ´
evidemment ne poss´
edera plus de point fixe.
La notion d’isomorphisme de deux de tels graphes se d´
efinit de fa¸
con ´
evidente. Il s’agit d’associer
`
a
(
M,
F
)
u
n graphe fini de groupes d’hom´
eomorphismes ab´
eliens de type fini de
IR
:
Th´
eor`
eme 2
[8]
Il existe une transversale totale
T
au feuilletage, qui se plonge de fa¸
con naturelle
dans
M
et qui d´
efinit un graphe fini de groupes d’hom´
eomorphismes ab´
eliens de type fini de
IR
,
Γ(
F
)
.
E
n fait,
Γ(
F
)
,
n’est rien que le groupo¨
ıde transverse de
F
,
relativement `
a
T
.
I
l est appel´
e
le graphe du feuilletage
(
M,
F
)
.
Proposition 3
Le feuilletage
(
M,
F
)
est sans holonomie si et seulement si
Γ(
F
)
est r´
eduit `
a
u
n
unique sommet
s
, dont le groupe
G
s
est le groupe d’holonomie du feuilletage.
Th´
eor`
eme 3
Si
(
M
1
,
F
1
)
et
(
M
2
,
F
2
)
sont deux feuilletages presque sans holonomie de type fini,
ils sont Morita-´
equivalents si et seulement si leurs graphes associ´
es sont isomorphes.
R´
eciproquement, on peut montrer:
Th´
eor`
eme 4
[8]
A
partir d’un graphe fini de groupes d’hom´
eomorphismes ab´
eliens de type fini de
IR
,
Γ
,
o
n
peut construire un feuilletage
(
M
0
,
F
0
)
, qui v´
erifie:
(i)
F
0
est presque sans holonomie, classifiant et `
a feuilles de dimension paire,
(ii) le graphe associ´
e
a
u feuilletage
(
M
0
,
F
0
)
,
Γ(
F
0
)
, est isomorphe `
a
Γ
.
Th´
eor`
eme 5
[8]
Le feuilletage construit dans le th´
eor`
eme 4, est Morita-´
equivalent `
a
(
M,
F
)
.
Si de plus (
M,
F
) est classifiant et
F
est la r´
eunion des feuilles ferm´
ees, alors le groupo¨
ıde
d’holonomie restreint
G
F
co¨
ıncide avec le groupo¨
ıde fondamental, Π
1
(
F
), et on en d´
eduit:
Lemme 1
Si
U
est une composante connexe de
M
−
F
,
o
n
a les isomorphismes de groupes
µ
F
:
K
∗
(
F
)
−→
K
∗
(Π
1
(
F
))
et
µ
U
:
K
∗
(
C
0
(
U
))
−→
K
∗
(
C
∗
((
G
U
))
.
On obtient le r´
esultat essentiel du travail:
Th´
eor`
eme 6
[8]
Si
(
M,
F
)
est un feuilletage presque sans holonomie, de type fini et classifiant,
alors l’homomorphisme de Thom
µ
:
K
∗
(
M
)
−→
K
∗
(
C
∗
((
G
))
est un isomorphisme de groupes, ap-
pel´
e l’isomorphisme de Thom pour
(
M,
F
)
.
Id´
ee de la preuve:
On consid`
ere le ferm´
e
F
r´
eunion des feuilles `
a holonomie non nulle. Les groupes
d’holonomie correspondants sont ab´
eliens, donc moyennables; on en d´
eduit ais´
ement que
F
est un
ferm´
e
permis. On pose
U
=
M
−
F
;
l
e fibr´
e
T
(
F
) est trivial, donc les fibr´
es et les applications
qui apparaissent dans les constructions pr´
ec´
edentes sont ´
evidemment K-orient´
ees. Compte tenu
du lemme 1 et du th´
eor`
eme 1, le lemme des cinq garantit que
µ
est aussi un isomorphisme.
Par ´
equivalence de Morita, on obtient le th´
eor`
eme final, qui g´
en´
eralise les r´
esultats de [10]:
Th´
eor`
eme 7
Si
(
M,
F
)
est un feuilletage presque sans holonomie de type fini sur
M
compacte, il
v´
erifie la conjecture de Baum-Connes.
3
Remarque.-
Dans tout ce qui pr´
ec`
ede, on peut remplacer les C*-alg`
ebres r´
eduites par les C*-
alg`
ebres pleines
C
∗
max
(
G
). Tous les r´
esultats convenablement transpos´
es restent valables, les
preuves sont les mˆ
emes simplifi´
ees car il n’y a plus lieu d’introduire la notion de ferm´
e
permis: en
effet, la suite 0
→
C
∗
max
(
G
U
)
e
→
C
∗
max
(
G
)
r
→
C
∗
max
(
G
F
)
→
0, est toujours exacte (voir [7]).
R
´
ef
´
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C.R. Acad. Sc. Paris 274
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eliens
(`
a paraˆ
ıtre).
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, 1987, Morphismes K-orient´
es d’espaces de feuilles et fonctorialit´
e
e
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th´
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Anal. 61
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G. Hector:
Institut Girard Desargues. Universit´
e Claude Bernard Lyon I. 43, Bd 11 Novembre
1918. 69622 Villeurbanne Cedex, FRANCE.
T´
el.:
04.72.43.15.79.
Fax.:
04.72.43.00.35.
e-mail:
hector@geometrie.univ-lyon1.fr
M. Macho-Stadler:
Departamento de Matem´
aticas, Facultad de Ciencias, Universidad del Pa´
ıs
Vasco, Apartado 644, 48080 Bilbao, ESPAGNE.
T´
el.:
34-4-4647700.
Fax.:
34-4-4858147.
e-mail:
mtpmastm@lg.ehu.es
4
