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REMERCIEMENTSJe tiens `a remercier mes co-directeurs de th`ese-Fran co¸ is LAUBIE qui a bien voulu me proposer un th`eme de recherche etil a accept´ededirigermath`ese avec les conseils qu’il m’a donn´e durant cesann´ees de travail,- A. Chazad MOVAHHEDI pour l’attention qu’il a port´e sur ce travail duranttoutes ces ann´ees, ainsi que la disponibilit´e dont il a su faire part malgr´eun emploi du temps charg´e, et pour les discussions enrichissantes que nousavons eues durant toute la dur´ee de ma th`ese qui m’ont apport´es ´enorm´ementd’aides pour la r´ealisation de ce travail.Je remercie ´egalement Victor ABRASHKIN et Francisco DIAZ Y DIAZ pouravoir accept´ed ’ˆetre rapporteurs.J’exprime ma reconnaissance `a Marie-jos´e BERTIN et Alain SALINIER pourleur aimable participation ac` ejury.Pierre BARRUCAND ´etait l’initiateur du probl`eme ´etudi´e dans cette th`ese.Qu’il soit remerci´e`a cette occasion.Je remercie Nadine Tch´efranoff pour avoir voulu assurer la frappe de math`ese ainsi que pour sa disponibilit´eetsasympathie.1Table des mati`eresIntroductionChapitre I. Symbole des restes quadratiques dans les corps des nombresSymbole de Jacobi g´en´eralis´eSymbole des restes quadratiquesChapitre II. Symboles des restes quadratiques et discriminants (Cas des in-dices de ramification impairs)G´ en´eralisation du th´eor`eme de Pellet, Stickelberger et Voronoi´Etudes localesGlobalisationChapitre III. Symboles des restes quadratiques et discriminants ...
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REMERCIEMENTS
Jetiens`aremerciermesco-directeursdeth`ese
-Fran¸coisLAUBIEquiabienvoulumeproposerunth`emederechercheet il a accept´e de diriger ma th`ese avec les conseils qu’il m’a donn´e durant ces ´ s de travail, annee
- A. Chazad MOVAHHEDI pour l’attention qu’il a port´e sur ce travail durant toutes ces annees, ainsi que la disponibilit´e dont il a su faire part malgr´e ´ un emploi du temps charg´e, et pour les discussions enrichissantes que nous avonseuesduranttouteladur´eedemathe`sequim’ontapport´ese´norme´ment d’aides pour la ´ lisation de ce travail. rea
Je remercie ´egalement Victor ABRASHKIN et Francisco DIAZ Y DIAZ pour avoiraccepte´d’eˆtrerapporteurs.
J’exprime ma reconnaissance `a Marie-jos´e BERTIN et Alain SALINIER pour leur aimable participation `a ce jury.
PierreBARRUCAND´etaitl’initiateurduprobl`eme´etudie´danscettethe`se. Qu’ilsoitremerci´ea`cetteoccasion.
Je remercie Nadine Tch´efranoff pour avoir voulu assurer la frappe de ma th`eseainsiquepoursadisponibilit´eetsasympathie.
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Introduction
Table des mati`eres
Chapitre I. Symbole des restes quadratiques dans les corps des nombres SymboledeJacobig´ene´ralis´e Symbole des restes quadratiques
Chapitre II. Symboles des restes quadratiques et discriminants (Cas des in-dices de ramification impairs) G´en´eralisationduth´eore`medePellet,StickelbergeretVoronoi ´ Etudes locales Globalisation
Chapitre III. Symboles des restes quadratiques et discriminants (Cas des indices de ramification quelconques) Ge´n´eralisationdelaformulede[1]. ´ Etudes locales Le cas galoisien Formule de transitivit´e pour Quelques exemples de calcul deL/K(p)
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Chapitre IV. Applications
Loider´eciprocit´equadratique
Application aux corps
Annexes
Liste des symboles
R´ef´erences
ayant
un
nombre
3
de
classes
impair
Introduction
SoitLun corps de nombres de degr´ensur le corpsQdes nombres rationnels de discriminantD=DL/Q.Si l’entierDn’est pas un carr´e, on notedle discriminant du corps quadratiqueQ(√D), sinon on posed= 1.Soitp un nombre premier non-ramifi´e dansLde sorte que le symbole des restes quadratiquesDp´hoeU.tndee´`rmesoi-nultnontellePiencaaj`A.`aˆund ([4, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoi montre que la parit´e du nombre ermine´eparcesymbolepD g’idead´sredmeeixurpLau-dessus depd´etest. En effet, nous avons :Dp= (−1)n−g.
Plusge´n´eralement,mˆemesipsertmafiie´adsnL, on aimerait pouvoir relier le symbolepd`aecomlad´itnoopis(p) =Pe11· · ·Pgegdepen produit d’id´eaux premiersPideL.
Supposons quepn’est pas sauvagement ramifi´e dansL.Sifi´redegenglesi´ed r´siduel dePidans l’extensionL/Q, alors la valuationp-adique du discrim-e g inantDodtserapee´nnvp(D) =(ei−1)fi[14, Chap.3, prop.13]. Donc i=1 le symbolepdntsen-nonoitificaeramcesdindilsseteuoseuqlu`deisont impairs.Danscederniercas,g´ene´ralisantunes´erieder´esultats(Wahlin [16],Hasse[7],Bˆuhler[2],Dribin[5],Kientega[9],· · ·), P. Barrucand et F. Laubie ont ´etabli la formule suivante (´egalement valable dans le cas relatif) [1] :
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pd= (−1)FEpavecE=2fieietF=2|fi1. Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypoth`ese sur laparit´edesindicesderamificationei.Ce travail s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspir´e.
SoientKun corps de nombres etLune extension finie deKde degr´en.Soit {b1,· · ·, bn}une base duK-espace vectorielL.Le discriminantD=DL/K= det (TrL/K(bibjeldnun-le´nutseontneme´))K:D∈K·.La classeδ=δL/K deDmodulo les carr´esK·2duteoichelxdasabsednitepe´nadncontdesc’e, un invariant de l’extensionL/K´etelled;esnoixeetueenmrniueiquanqatdr (ou triviale)K(√δ).
Soitpealpremiunid´reedK. On va s’int´eresser au symbole des restes quadratiqueδp. Soitp=Pe11· · ·Peggd´eclaopmoitisednodi’lal´epen produit d’id´eaux premiers deux `a deux distinctsPideL.On notefiledegr´e r´esidueldePide sorte quen=e1f1+· · ·+egfg.isngdne´peraOπune uniformisante du corps localKp.
Proposition 1On suppose que l’id´eal premierpdeKest non2-adique. Sifiest un entier pair, alors le produitst non-nul et est 2|ei2|eiPπie inde´pendantduchoixdel’uniformisanteπ.
Cette proposition sugg`ere
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De´finition2Pour tout id´eal premier non2-adiquepdu corps de nombres K, on pose 0sifiest impair (p) =L/K(p) =π2|ei 2|eiPisinon ou`πeuqnocuduqetocleslrpaloc´dsegiformisanneuneuniKp. Si tous les eisont impairs, on convient que(p) = 1. En particulier(p) = 1uesq`ed l’id´ealpremierpnssentnor-mafiie´adL.
Remarque 3Le symboleciroipecet´rpr´inteparlet´eilaca’pped´ritnopˆtueerte d’Artin de la mani`ere suivante. NotonsA’l´eidalPideL. Soit(A, L(π)/L) 2|ei l’´el´ementdugroupedeGaloisG(L(√π)/L)ni.A’trlodeysbmlearipfin´ed LorsqueL/K(p)estntsilesymbolea`laeis1uestemeln-nol,nuesilegt´ d’Artin(A, L(π)/L)eVI.pahC,,enidl’st13e[t´ti§8]. Nous utiliserons fr´equemment cettecaracte´risationdeL/K(p).
` Al’aidedespropri´ete´sfonctoriellesdusymboled’Artin,nouspouvons´etablir une formule de transitivit´e pour:
Proposition 4SoitK⊂M⊂Lune tour d’extensions de corps de nombres. Soitp premier de lun id´K que. SupposonsL/K(p),M/K(p)ainsi que les ea L/M(P)pourP |psont non-nuls, alors nous avons L/K(p) =M/K(p)[L:M]L/M(P). P |p 2e(P/p)
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Lethe´ore`mesuivantestler´esultatprincipaldecetteth`esequirelielesdeux symbolesδLp/KetL/K(p).
The´oreme5Soitpnuin´daeplerimreon2-adique du corps de nombresK. ` On suppose quepn’est pas sauvagement ramifi´e dansL.Alors les symboles δLp/KetL/K(p)ilertnosformule´esparla δLp/K= (−1)F+q−2 1GqEL/K(p) o`uqest la norme absolue depet les trois entiersE, FetGinps´dfierantso E=ei, F=1etG=1. 2eifi2|iief42|ieif 2
Lad´emonstrationdeceth´eor`emesefaitessentiellemententrois´etapes: comple´tion,d´evissageetglobalisation.
Remarque 6(i) Lorsque tous les indices de ramificationeisont impairs, alorsG= 0, L/K(p) = 1d-anaBedcurrcnirlapieor`emepuveleth´otrnteore Laubie[1,Th´eore`me2].
(ii)Pourleside´auxpremiers2-adiquespqui ne sont pas sauvagement ram-ifi´esdansL, nous avons encore δLp/K= (−1)FEq. Ne´anmoins,ilsont´et´eexclusdel’´enonce´duthe´ore`mepre´c´edentcarpour ceside´auxn’est pas d´efini.
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Supposons maintenant que l’extensionL/Kest galoisienne de groupe de GaloisG comme d’habitude,. Soit, e= l’indice de ramification depdansL/K, fl=desidueldeegr´er´epdansL/K, g= le nombre d’ ide´aux premiers deLau-dessus dep. Alors pour chaque uniformisanteπ∈p−p2, le symboleρ:=πPest ind´ependantduchoixdelaplacePau-dessus depde sorte queL/K(p) =ρg est une puissanceg-`ime.e
Aveclesnotationsci-dessus,leth´eor`eme5montrefacilementquelavaleur du symboleδLp/Kpaeertdesn´on
Corollaire 7Supposons queLest une extension galoisienne deK. Pour toutide´alpremierpdeKqui n’est pas sauvagement ramifi´e dansL, nous avons 0si2|eet2f g δ f g (−1)gsi2eet2|f g Lp/K=ρgeqissi22|e.net2|
Dans la situation de ce dernier corollaire, le cas o`u 2|e, 2|fet 2gest le seulo`ulaconnaissancedesentierse, fetgne suffit pas pour d´eterminer la valeur deδLp/K. Dans ce dernier cas, nous avonsδLp/K=L/K(p) = Pπ= 0.La valeur deρ=πPstale´ieerolstsura`alurctugeduproe
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ded´ecompositionD=D(P/p) de la placePdans l’extensionL/K. Plus ´is´ement,nousavons prec
Proposition 8SoitL/Kune extension galoisienne de corps de nombres. Soientpeinrno´ealpremunid2-adique deKetPdreieal´eempridunL au-dessus depudlee´is´rredegequelsonsuppo.SfdepdansL/Kest pair. Soitπune uniformisante deKp. AlorsπP= 1si et seulement si le2-sous-groupe de Sylow du groupe de d´ecompositionD(P/p)n’est pas cyclique.
Nous verrons dans le chapitre III que dans une mˆeme extensionL/K, il est possible queprenne les trois valeurs -1, 0 et 1 en trois places ramifi´ees.
Commecons´equenceimme´diateducorollaire7,citonslapropositionsuivante quiest`arapprocherauth´eore`medePellet-Stickelberger-Voronoi.
Proposition 9SoitKun corps de nombres,Lune extension galoisienne deKetpedreimerplead´niuKqui n’est pas sauvagement ramifi´e dansL. SiδLp/K= 1, alors le nombre d’id´eaux premiers deLau-dessus depest impair.
Iln’estpasdifficiledevoirquelar´eciproquedelapropositionpr´ec´edenteest inexacte : en effet, il suffit de prendreK=Q,L=Q( 2,3) etp= 3Z. Alorsp=P2dansLet nous avonsδLp/K= 1. 9
