Thème3-Cours
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SYNTHESE ( THEME 3 ) FONCTIONS (1) : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE (1) : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A – LA NOTION DE FONCTION Une fonction f est un processus qui, à un nombre x, fait correspondre un autre et unique nombre f(x). LES ANTECEDENTS x LES IMAGES f(x) LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f Notation : f : x a f (x) ( On lit : « fonction f qui à x associe f (x) » ) Vocabulaire : x est un antécédent de f (x) f (x) est l’image de x par la fonction f Propriété : Un nombre peut avoir qu’une seul image Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Exemple : A un nombre on associe le carré de ce nombre. Notons cette fonction par une lettre, f par exemple. 2Cette fonction peut se noter : f : x a x « Le carré de 7 est 49 ». Dans le langage des fonctions, on le traduit par : • 49 est l’image de 7 par la fonction f . On écrit : f ( 7 ) = 49 • 7 est un antécédent de 49 par la fonction f. Remarque : 49 a plusieurs antécédents : 7 et ...
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SYNTHESE ( THEME 3 ) FONCTIONS (1) :NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE (1) : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A LA NOTION DE FONCTION Une fonctionfest un processus qui, à un nombrex, fait correspondre un autre et unique nombref(x).
LES
n:
LE PROCESSUS( l la fonctio Notatio Vocabulaire:x est unantécédentde f(x) f(x)estl’imagedexpar la fonctionf Propriété nombre peut avoir: Unqu’une seul image Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Exemple : A un nombre on associe le carré de ce nombre. Notons cette fonction par une lettre,f par exemple.
Cette fonction peut se noter :f:xax2
« Le carré de 7 est 49 ». Dans le langage des fonctions, on le traduit par : • 49 est l’image de 7 par la fonctionf. On écrit :f( 7 ) = 49 • 7 est un antécédent de 49 par la fonctionf. Remarque : 49 a plusieurs antécédents : 7 et - 7 B REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTIOIN
n lit : « fonctionfqui àxa
f(x) ( O
xa
f:
L
a machine) n
ES IMAGE f(x)
S
A
NTECEDENTS
o
cief(x
s
s
) » )
Valeurs def(x)
Dans un repère, la courbe représentative d’une fonctionf est formée de tous les points dont les coordonnées sont de la forme (x;f(x ou encore () )x;y) avecy=f(x).
y
axe où l'on trouve les images
2. cOn repère le nombre sur l’axe des ordonnées. 4 dOn construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci-contre. elit les valeurs des antécédents sur l’axe des On abscisses Réponse : - 2,3 et - 1 ; 74 a trois antécédents
f(xM )
1. cOn repère sur l’axe des abscisses le nombre dont on cherche l’image. dOn construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci-contre. elit la valeur de l’image sur l’axe desOn ordonnées. Réponse : L’im - 2. Soitf( 5 ) = - 2
x
Courbe
x
0
2,3 -
M
Comment lire sur un graphique : Enoncé : f est la fonction définie par le graphique ci-contre 1. Lire l’image de 5 2. Lire les antécédents de 4 Solution :
- 2
4
1 -
5
x
7
Valeurs dex
1
x M
axe où l'on trouve les antécédents
C CALCULER L’IMAGE D’UN NOMBRE ET UN ANTECEDENT D’UN NOMBRE PAR UNE FONCTION DETERMINEE PAR UNE FORMULE • Comment calculer l’image d’un nombre Exemple : Enoncé : Calculer l’image des nombres− la fonction par6 et 5f:xa3x2+2 Solution :La fonctionfest définie parf(x)=3x2+2 L’image du nombre−6 estf(− 5 est6) et l’image du nombref( 5) On a donc : f(−6)=3×(−6)2+2f( 5)=3×( 5)2+2 f(−6)=3×36+2f( 5)=3×5+2 f(−6)=108+2f( 5)=15+2 f(−6)=110f( 5)=17 Conclusion : L’image de− la fonction6 parfest 110 L’image de 5 par la fonctionf est 17 • calculer un antécédent d’un nombre Comment Exemple : Enoncé : Calculer l’antécédent du nombre 8 par la fonctiong:xa−5x−2 Solution :La fonctiongest définie parg(x)−5x−2 On doit résoudre l’équationg(x)=8 On a donc : −5x−2=8 −5x=8+2 −5x=10 10 x= − 5 = −2 Conclusion : L’antécédent du nombre 8 par la fonctiong est−2 D TABLEAU DE VALEURS D’UNE FONCTION Un tableau de valeurs permet de connaître les valeurs prises par une fonctionfpour certaines valeurs de la variable. Exemple : Enoncé : On considère la fonctionhdéfinie parh:xa3x2+2x−5 Recopier et compléter le tableau de valeurs. x-2 -1 3 0 h(x) Solution :On calcule l’image de chaque nombre h(−2)=3×(−2)2+2×(−2)−5h(−1)=3×(−1)2+2×(−1)−5 h(−2)=3×4−4−5h(−1)=3×1−2−5 h(−2)=3h(−1)= −4
h(3)=3×32+2×3− hh)0((0)==3−5×02+2×0−5h(3)=3×9+6−5 h(3)=28 x-2 - 0 1 h(x 5 -) 3 4 - E - FONCTION LINEAIRE E 1 : DEFINITION ET NOTATION
5
3 28
« je multiplie para»
Une fonction linéaire de coefficientanomméefse notef:xaax( On lit « la fonctionfqui àxassocieax) - 3
Exemple 1: La fonctionf :xa−3x est une fonction linéaire de coefficient Exemple 2: Soit la fonctionf:xa7x f( - 2 ) = 7×( - 2 ) = - 14 x- 2 4 12 - 14 est l’image de - 2 par la fonctionf; on notef( - 2 ) = -f(x) 14 f( 4 ) =7×4 = 28 28est l’image de 4 par la fonctionf; on notef( 4 ) = 28 f (12 ) = 7×12 = 84
Une fonction linéaire traduit une relation de proportionnalité Exemple: mouvement uniforme Lors du test d’une voiture roulant à vitesse constante sur un circuit, les mesures ont permis de réaliser le tableau
Duréetdu parcours (en h)
Distance parcourue (en km)
3 4
2,5
4
640
×160
Le coefficient de proportionnalité est :4046=160 Sitest la durée du parcours, le calcul 160treprésente la distance parcourue pour une duréet
On note cette fonctiont ⏐⎯⎯→ 160t.
E 2 : REPRESENTATION GRAPHIQUE La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
Exemple : La représentation graphique de la fonction linéairef:a− la droite3 estD passant par l’origine et par le point A( 2;- 6) En effetf( 2 ) = - 3×2 = - 6 La droiteD équation a alors poury 3x =- et on dit que - 3 est le coefficientdirecteur de la droiteD.
Exemple :Mouvement uniforme (suite )
640
480
0
y= - 3x
distance parcourue (en km)
3
4
-4 -3 -2
4 3 2 -1 0 -1
-2 -3 -4 -5 -6
duréet(en h)
f(x)
1
2
3
4
x
A( 2 ; -6 )
E 3 : INTERPRETATION DU COEFFCIENT DIRECTEUR D’UNE DROITE • itos:ifeurpstridetcecifftneiulecoeCasoa > 0 On considère la fonctionf définie par :f:xa2x
La droite (d) est la représentation graphique de la fonctionf. (d) y+ 2Bc eLffeoeicid tnecirurtee d dlaorti e( d) est :2 2SoitAun point quelconque de la droite ( d). y A 1Si onaugmente de 1son abscisse et si onaugmente de 2son ordonnée, on obtient les coordonnées d’un nouveau pointB de la droite. 0x x+ 1 • recteurestnégaeocfeificnetidluosaCfit:a < 0 On considère la fonctionf définie par :g:xa−2,5x La droite (d’) est la représentation graphique de la fonctionf. (d') 0x x+ 1 Le coefficient directeur de la droite (d’) est :−2,5 SoitCun point quelconque de la droite ( d’). yC 1Si onaugmente de 1son abscisse et si ondiminue de 2,5son ordonnée, on obtient les coordonnées d’un nouveau pointD de la droite. 2,5 - y- 2 5D ,
