suites-cours
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Mathematiques pour le signal discret { Ma32Guy CasaleIRMaR b^ at 21 Beaulieuhttp ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/ ReferencesA First Course in Mathematical AnalysisDavid Brannan, Cambridge University PressMathematiques BTS-DUT IndustrielsC. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus{ Chapitre 1 : Suites numeriques{ 2 : Series numeriques{ Chapitre 3 : Series entieres{ 4 : Transformee en Z11 Suites numeriques1.1 Quelques de nitions.De nition 1 Une suite numerique est une fonction de N dans R (suite reelle)ou C (suite complexe) qui a un entier n associe un nombre u .nUne suite est notee (u ) ou (u ) et u est appele le terme general de lan n2N n nsuite.Cette notation est une abreviation de (u ;u ;u ;u ;u :::).0 1 2 3 4Exemples 1{ Les decimales d’un nombre : l’ecriture de est (3; 1; 4; 1; 5;:::).{ Suites de nies a partir d’une formule f en prenant les valeurs de f en les2 sinxx +epentiers : Si f(x) = , f de nit une suite u =f(n).njxj { Suites constantes u =c2C pour tout n2N : (c;c;c;c;c;:::).n{ La suite des temperatures (en C) relevees tous les matins a l’IUT : (8:5; 12; 9:2; 7:6; 8;:::):{ Echantillonnage a la periode T d’un signal F :e(F (t );F (t +T );:::;F (t +nT );:::) = (u ;u ;:::u :::):0 0 e 0 e 0 1 nNous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.Representations graphiques2Operations sur les suitesSoient (u ) et (v ) deux suites.n nOn de nit la somme (u ) + (v ) terme a terme :n n( u ...
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Français
Math´ematiquespourlesignaldiscret–Ma32 Guy Casale
IRMaRbaˆt21Beaulieu
http ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/
R´efe´rences A First Course in Mathematical Analysis David Brannan, Cambridge University Press Mathe´matiquesBTS-DUTIndustriels C. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus
–Chapitre1:Suitesnume´riques –Chapitre2:S´eriesnum´eriques
–Chapitre3:Se´riesentie`res –Chapitre4:Transform´eeenZ
1
1
Suitesnume´riques
1.1Quelquesd´efinitions. De´finition1teuim´nuiqeresueenutcnofnoitednUseNdansReellet´rs(iue) ouCeitnenua`iuq)exeomplitec(surnassocie un nombreun. Unesuiteestnot´ee(un)n∈Nou(un)etunppate´lesen´´ealerteleegrmlade suite.
Cettenotationestuneabr´eviationde(u0, u1, u2, u3, u4. . .).
Exemples 1 –Lesde´cimalesd’unnombre:l’´ecrituredeπest(3,1,4,1,5, . . .). –Suitesde´finiesa`partird’uneformulefen prenant les valeurs defen les 2 sinx x+e entiers : Sif(x) =p,fenustie´dfieinutun=f(n). |x| −π – Suites constantesun=c∈Cpour toutn∈N:(c, c, c, c, c, . . .). ◦ –Lasuitedestempe´ratures(enCv´eerele)sna`amitlssetsuoT:IUl’(8.5,12,9.2,7.6,8, . . .). –Echantillonnage`alap´eriodeTed’un signalF:
(F(t0), F(t0+Te), . . . , F(t0+nTe), . . .) = (u0, u1, . . . un. . .).
Nous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.
Repre´sentationsgraphiques
2
) ) )
u3 v3 u3+v3
u4 v4 u4+v4
. . . un. . . . . . vn. . . . . . un+vn. . .
) ) )
) )
) )
u2 u1
u3 u2
u1 v1 u1v1
. . . un. . . . . . un+1. . .
. . . un. . . . . . vn. . . . . . unvn. . .
Onde´finitleproduit(un)×(vn`emrreta:meet)
u4 v4 u4v4
u4 u5
3
De´finissezvousmˆemelesd´ecalages±kpourk∈N:
u1 v1 u1+v1
Ond´efinitle1+“e”ecd´agalou vers le futur (un+1) :
u2 v2 u2v2
u1 u2
u3 u4
u2 u3
u2 v2 u2+v2
u1 u0
+ =
Op´erationssurlessuites
Onde´finitlasomme(un) + (vn`emrreta:emte)
u0 u1
= =
u0 0
( (
= =
( (
Ond´efinitle1-”ga“eecald´´ssa(eolspevureun−1) :
( ( (
u0 v0 u0v0
× =
Soient (un) et (vn) deux suites.
u0 v0 u0+v0
( ( (
(un) (un+1)
(un) (un−1)
u4 u3
. . . un. . . . . . un−1. . .
u3 v3 u3v3
D´efinition2esuieUneellet´r(un)est dite
–e´eorajmsi
–ee´ronimsi
–´nrobeesi
–croissantesi
–siastne´dceorsi
Remarque 1Une suite(zn)bmoncserediorce´deetnassrequsˆet´eedalifixesemolptuapenep oude´croissantecaronnepeuxpastoujourscomparerdeuxnombrescomplexes.Lessuites –(<ezn)lleer´estiarspde,se –(=mzn)des parties imaginaires, –(|zn|)des modules peuventˆetrecroissantes,de´croissantes,born´ees,...
Deuxcaracte´risationsde la variation d’une suite :
–Unesuitere´elle(unnesti)estssancroir(et.psece´dsiorntsasie)seetemul un+1−unest toujours (resp. ).
–Unesuiter´eelle(un) de nombresstrictement positifsest croissante un+1 (resp.de´croissante)sietseulementsiest un (resp. ).
4
D´emonstrationparre´currence. Pourmontrerquequ’uneproprie´t´eP(n) est vraie pour toutn≥n0: 1.Onmontrequelaproprie´te´estvraieaurangn0i.e.P(n0) est vraie. 2. On montre que si pourne´xfi,P(n−1) est vraie alorsP(n) l’est aussii.e. P(n−1)⇒P(n).
Exemple1
Calculezparr´ecurrencelasommedesnerscarr´premise: 1 2 Sc(n) = 1 + 4 + 9 + 16 +. . .+n=n(n+ 1)(2n+ 1). 6
1.
2.
1.2 Limites & convergence De´finition3On dit qu’une suite(un)tend (ou converge) versun nombre`si pourtoutepr´ecisionεil existe un rangNtel que pour toutn≥Nles nombresun soienta`unedistanceεde`:
∀ε >0,
∃N∈N
tel que
n≥N⇒ |un−`| ≤ε
1 √ Exemple 2trap’driqsnoa`’uMtronmrgee´´nrieuleatedetnranglasuncertai n+1 −10 est plus petit que10.
S’il existe, le nombre`´eellaespptalimitede la suite (un) et on note
limun=`ouun−→`. n→+∞n→+∞ S’il n’existe pas on dit que la suitediverge.
5
Exemples2
−n –Lasuitedetermege´n´eralun=econverge vers0.
n –Lasuitedetermeg´ene´ralun=converge vers1. n+ 2
2 –Lasuitedetermeg´ene´ralun=nne converge pas.
nπ –Lasuitedetermeg´en´eralun= sin( )ne converge pas. 2
Th´eor`eme1
– Si la limite existe elle est unique.
–Unesuiteconvergenteestborne´e.
– Si(un)et(vn)tnefi´erivun=vnlorsquen > n0alors (un)converge si et seulement si(vn)converge.
– S’il existeq∈Ntel queun+q=vnpour toutnalors (un)converge si et seulement si(vn)converge. Si elles convergent,limun= limvn. n→+∞n→+∞
Preuve.
–
. . .
The´ore`me2Toutesuitecroissajamteetntseee´rogeernvcoe.nt (tideetusiosse´rcetmianteeeesnor´teen.ontcrgveouT)
Preuve.
–
. . .
1 1 1 Exemple 3nsquelasMontroinperaiuet´dfieun= 1 + + +. . .+nconverge. 2 4 2
6
1.3 1.3.1
1.3.2
1.3.3
Re`glesope´ratoiressurleslimites. Combinaisonslin´eaires.
0 0 Siun−→`etvn−→`alorsun+vn−→`+` . n→+∞n→+∞n→+∞ Siun−→`etλ∈R(ouC) alorsλun−→λ`. n→+∞n→+∞
b. Produits et quotients.
0 0 Siun−→`etvn−→`alorsunvn−→`` n→+∞n→+∞n→+∞ 0un` Si de plus lesvnainsi que`sont non nuls alors−→0. vn` n→+∞
Imageparunefonctioncontinue.
Siun−→`et sifest une fonction continue en`alors n→+∞
f(un)−→f(`). n→+∞
7
