Question de cours ROC pour le bac
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QUESTION de COURS (ROC) pour l'épreuve écrite du BAC S A l'attention du lecteur... Cette liste est non exhaustive et certaines autres démos de cours peuvent apparaître. Toujours penser à bien suivre les prérequis donnés par l'énoncé (qui ne sont pas nécessairement ceux donnés en classe pour des raisons de progression du cours)… L'auteur fournit une cote d'amour (qui n'engage que lui ! ) des démonstrations de théorèmes à connaître ou à maîtriser. ♥ ROC peu vraisemblable : il suffit d'avoir compris le principe ♥♥ ROC vraisemblable : il faut bien maîtriser le principe et savoir retrouver la méthode ♥♥♥ ROC probable : démonstration à savoir faire les yeux fermés et les mains attachés dans le dos... fi£¥¥-fi¥¥efi‡¥e-¥--˛¥££‡¥-‡-e-e-fi-fi---fi£fifie¥˛"£˛¥‡fi"‡˛¥£e"-˛e‡fi¥Suites : ROC 1 : Unicité de la limite d'une suite ♥♥ Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Proposition : Si la suite (u ) a une limite finie L, alors cette limite L est unique. nDémo : Par l'absurde Supposons que la suite (u ) admette deux limites distinctes L1 et L2 avec L1 < L2. nOn choisit un rayon suffisamment petit pour que les L1 L2 intervalles I = L ; L+ et I = L ; L+ soient ] [ ] [1 1 1 2 2 2 disjoints (i.e. leur intersection est vide). La suite (u ) tend vers L1 donc à partir d'un certain rang N1, tous les termes u sont ...
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1 / # ♥♥ 2( / , # , / ( u n ) # , +3 # + ( / 2 ' ( ( u n ) # ! # +1 +4 +1 5 +4 +1 +4 " 0 ,,## ( I 1 ] L 1 % Α ; L 1 # Α I 2 ] L 2 % Α ; L 2 # Α % + ( u n ) +1 & ) 13 # u n 1 + ( u n ) +4 & ) 43 # u n 2 6 n & , & 1 43 u n & , 1 2 3 ( #' ( ( # ( 4 ♥♥ 2( / , # , 3 3 #% / #% ) υ / ( u n ) #% ( u n ) #% A 2 0 3 ! n 0 ( u n 0 2 A ( u n ) n ³ n 0 3 u n ³ u n 0 2 A 6 A 2 0 3 ! ) n 0 ( u n 2 A n ³ n 0 / 7&7 lim u n #υ n |#υ 8 ♥ 2( / , # , / ( u n ) , u n # 1 1 f ( u n ) 9 ( u n ) ) + , 3 f ( L ) lim u / ( u n ) ) + n # 1 L + lim f ( u n ) 1 f ( L ) n |#υ n |#υ 2 ) & # ! ##' ) u n # 1 1 f ( u n ) 3 +: f ( L ) ; / ) % ♥♥♥ 2( / , ! % ( u n ) 3 ( v n ) lim ( u n v n ) 1 0 n |#υ #% # ) / ( u n ) ( v n ) %3 ( u n ) ( v n ) ) #<# # / w n v n % u n 9 ( w n ) / 2 n ℕ 3 w n # 1 % w n 1 v n # 1 % u n # 1 % v n # u n 1 ( v n # 1 % v n ) % ( u n # 1 % u n ) w n # 1 w n σ 0 σ 0 car ( v n ) ց ³ 0 car ( u n ) ր + ( w n ) lim w n 0 / w n , n Î ℕ , v n ³ u n n |#υ 6 3 ( u n ) n Î ℕ , u 0 σ u n 2 n ℕ 3 σ σ v 6 3 ( v n ) 3 n Î ℕ , v n ³ v 0 u 0 u n v n 0 =#3 ( u n ) #% v 0 3 ( u n ) ) 6 #<#3 ( v n ) # u 0 ( v n ) ) ,3 lim u n lim v n 1 lim ( u n % v n ) 1 0 lim u n 1 lim v n =6 n |#υ n |#υ n |#υ n |#υ n |#υ ( # ".# )# # . #'' & , ( , )
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