plan du cours
5
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
5
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Bases en algèbre- L2 Somme de sous-espaces vectoriels 1. Définitions Définition : Soit F et G deux sev du IR-espace vectoriel E. On appelle somme de F et G r r r rl’ensemble défini par F+ G= u+ v,u∈ F ,v∈G . { } Proposition : F+ G est un sev de E contenant F et G. C’est le plus petit sev de E ayant cette propriété. Dém : r r r r• 0= 0 + 0 donc 0∈ F+ G F Gr r r r r r r r• Soient u+ v ∈ F+ G , avec u∈ F ,v∈G et u'+ v'∈ F+ G avec u'∈ F ,v'∈G . Soit ( )r r r r r r r r r rλ∈ IR . On a : u+ v +λ u'+ v' = u+λu' + v+λv' ∈ F+ G car u+λu' ∈ F et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r(v+λv')∈G . Donc F+ G est un sev de E. rr r r• Soitu∈ F . On a u= u+ 0 ∈ F+ G donc F ⊂ F+ G . De même, on démontre que ( )G⊂ F+ G . r r r r• Soit H un sev de E qui contient F et G. Soit u+ v ∈ F+ G . Comme u∈ F ,v∈G , on a ( )r r rru∈ H et v∈ H . Comme H est un sev, on a u+ v∈ H d’où F+ G⊂ H Exemple r r r3 3Soit F le sev de IR engendré par u = (1,0,1) et v = (2,1,1) et G le sev IR engendré par w= (1,0,−1) ret t = (1,1,0) . Déterminons F+ G . Tout vecteur de F est combinaison linéaire de (1,0,1) et (2,1,1) donc s’écrit sous la forme a(1,0,1)+ b(2,1,1) où a, b∈ IR . De même, tout vecteur de G s’écrit sous la forme c(1,0,−1)+ d(1,1,0) où c, d∈ IR . Donc tout vecteur de F+ G s’écrit sous la forme a(1,0,1)+ b(2,1,1)+ c(1,0,−1)+ d(1,1,0) c'est-à-dire 3que F+ G= Vect{ (1,0,1),(2,1,1),(1,0,−1),(1,1,0) }= IR comme l’a montré l’exercice type 3 du chapitre ...
Voir
Publié par
Langue
Français
Bases en algèbre- L2
Somme de sous-espaces vectoriels 1. Définitions Définition: SoitF etG deux sev du IR-espace vectoriel E. On appelle somme deF etG l’ensemble défini parF+G=u+v, u∈F , v∈G.
Proposition : F+G est un sev deEcontenantFetG. C’est le plus petit sev deEayant cette propriété.
Dém: 0=0F+0Gdonc 0∈F+G Soient(u+v) ∈F+G, avecu∈F , v∈Getu '+v'∈F+Gavecu '∈F , v'∈G. Soit λ∈IR. On a :(u+v) +λ(u'+v') = (u+λu') + (v+λv') ∈F+G car(u+λu') ∈Fet (v+λv ') ∈G. DoncF+G est un sev deE. Soitu∈F . On au=u+0∈F+G doncF⊂F+G. De même, on démontre que G⊂F+G. Soit H un sev de E qui contient F et G. Soit(u+v) ∈F+G. Commeu∈F , v∈G, on a u∈Hetv∈H. Comme H est un sev, on au+v∈Hd’oùF+G⊂H Exemple SoitFle sev deIR3engendré paru=(1,0,1) etv=(2,1,1) etGle sevIR3engendré parw=(1,0,−1) ett=(1,1,0) . DéterminonsF+G. Tout vecteur deF est combinaison linéaire de (1,0,1) et (2,1,1) donc s’écrit sous la forme a(1,0,1) +b(2,1,1)oùa,b∈IR. De même, tout vecteur deGs’écrit sous la formec(1,0,−1) +d(1,1,0) oùc,d∈IR. Donc tout vecteur deF+Gs’écrit sous la formea(1,0,1) +b(2,1,1)+c(1,0,−1) +d(1,1,0)c'est-à-dire queF+G=Vect{ (1,0,1),(2,1,1),(1,0,−1),(1,1,0 =) }IR3 l’a montré l’exercice type 3 du comme chapitre précédent. On définit de même la somme densous-espaces vectorielsF1,F2,..,FndeEpar : F1+F2+..+Fn= {u1+u2+..+un,ui∈Fi∀i∈{1,..,n}} C’est le plus petit sev deE contenant tous lesFi,i∈{1,..,n}.
I vdb 34
2. Somme directe de sous-espaces
Bases en algèbre- L2
Définition :SoientFetGdeux sev du IR-espace vectorielE. On dit queFetG sont en somme directe si et seulement si : ∀u∈F,∀v∈G,u+v=0 u=v=0 Dans ce cas, la somme se noteF⊕Gau lieu deF+G. Et plus généralement, on dira que la sommeF1+F2+..+Fndensev deEest directe on notera et F1+F2+..+Fn=F1⊕F2⊕..⊕Fn si et seulement si : ∀(u1,u2,..,un)∈F1×F2×..×Fntels queu1+u2+..+un=0u1=u2=..=un=0
Exemple :
Soit F le sev deIR3engendré paru=(1,0,1) etv=(2,1,1) et G le sevIR3engendré parw=(1,0,−1) Montrer que les sev F et G sont en somme directe. Tout vecteurudeF (1,0,1) et (2,1,1) combinaison linéaire de s’écrit sous la forme donc est u=a(1,0,1) +b(2,1,1)oùa,b∈IR. De même, tout vecteurv deGs’écrit sous la formev=c(1,0,−1) oùc∈IR. Supposonsu+v=0alors on aa(1,0,1) +b(2,1,1) +c(1,0,−1) = (0,0,0).
1 2 1 Les vecteursu=(1,0,1),v=(2,1,1) etw=(1,0,− libres puisque1) sont0 1 0= −1−1= −2≠0. On 1 1−1 peut donc déduire que la seule solution du système précédent esta=b=c=0ce qui signifie que u=v=0. La sommeF+Gest directe et on aF+G=F⊕G. Remarque : On a bien sûrF+G G+F = Proposition 1 Les sevFetGde l’espace vectorielEsont en somme directe si et seulement siF∩G=0 Dém: Supposons queF+G=F⊕Get soitu∈F∩G. On a clairementu+(−u)=0avecu∈Fet−u∈GcarGest un sev. La somme étant directe, on en déduit queu= −u=0d’oùF∩G=0. ⇐ Supposons queF∩G=0et queu+v=0avecu∈Fetv∈G. On au+v=0u= −vdoncu∈GcarGest un sev. Finalementu∈F∩Gdoncu=0. Par suite v= −u=0doncu=v=0 et la somme est donc directe. Attention : cette proposition n’est valable que dans le cas dedeuxsev. Contre exemple : Vérifier que les plansP1,P2etP3d’équations respectives :x=0,y=0etz=0vérifient P1∩P2∩P3=0mais queP1+P2+P3n’est pas directe.
I vdb 35
Bases en algèbre- L2 (laissé en exo) Dans le cas densev deE,on a la proposition plus générale suivante : Proposition 2 Les sevF1,F2,..,Fnsont en somme directe si et seulement si tout vecteuru∈F1+..+Fns’écrit de façonuniquesous la formeu=u1+u2+..+un,ui∈Fi∀i∈{1,..,n}. Dém: Si la somme est directe, supposons queu∈F1+..+Fns’écrive de deux façons différentes u=u1+u2+..+un=u'1+u'2+..+u'navec ui∈Fiet u'i∈Fi∀i∈ {1,..,n}. Alors, on obtientu1+u2+..+un−(u'1+u'2+..+u'n)=0avecui∈Fiet u'i∈Fi∀i∈{1,..,n} Ou encore(u1−u'1)+..+(un−u'n)=0avec ui−u'i∈Fi∀i∈ {1,..,n}; on en déduit que ui−u'i=0∀i∈{1,..,n}c'est-à-direui=u'i∀i∈{1,..,n}.CQFD. ⇐Supposons queu1+u2+..+un=0avec ui∈Fi∀i∈{1,..,n}. CommeFiest un sev, 0∈Fi,∀i∈ {1,..,n}et on peut écrire u1+u2+..+un=0+0+..+0avec ui∈Fiet0∈Fi∀i∈{1,..,n}. Comme on a supposé que tout vecteur s’écrit de façon unique on en déduit queui=0∀i∈ {1,..,n}. La somme est donc directe. 3. Sous espaces supplémentaires Définition:Deux sous espaces vectoriels FetGd’un espace vectorielEsont supplémentaires s’ils sont en somme directe et si de plusF⊕G=E.
Il est équivalent de dire queFetGsont supplémentaires dansEsi et seulement si tout vecteur de Es’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur deFet d’un vecteur deG. Avec les résultats précédents, il est aisé de prouver que Proposition 3: Pour que deux sevFetGsoient supplémentaires dansEil faut et il suffit que les
deux conditions suivantes soient réalisées :F+G=EetF∩G=0. Exemple Montrons queF=(x,y,z)∈IR3,x=0etG=Vect{(1,1, 0)}sont supplémentaires dansIR3. Soit(x,y,z)∈F∩Galorsx=0et il existek∈IRtel que(x,y,z) =k(1,1,0). x==k On en déduit quekmmex=0, on ay=0d’où(x,y,z) =0. DoncF∩G=0. yz=0. Co Soit(x,y,z)∈E. Montrons qu’il existe un vecteuru∈Fet un vecteurv∈Gtel que(x,y,z) =u+v.
I vdb 36
Bases en algèbre- L2
x=k On chercheu∈Fdoncu= (0,a,b)etv∈Gdoncv= (k,k,0)et on ay=a+k; d’où z=b
k=x;a=y−x;b=z Autrement dit,(x,y,z) =u+vavecu= (0,y−x,z)∈Fetv= (x,x,0)∈Gce qui signifie que F+G=E. Nous admettrons le théorème suivant : Théorème 1 SoientFetGdeux sev non réduits à0d’un espace vectorielE de dimension finien>1. On suppose queBF= {e1,...,ek}est une base du sevF, queBG=g1,...,gpest une base du sevGet queei≠gj pour touti∈{1,..,k}et pour toutj∈{1,..,p} Les conditions suivantes sont équivalentes : i)F⊕G=E ii) La famille den vecteurse1,...,ek,g1,..,gp une base de estE(autrement dit la réunion disjointe d’une base deFet d’une base deGest une base deE). iii) F∩G=0etdimF+dimG=dimE . Remarque : on généralise aisément ce théorème dans le cas de plusieurs sev Exercice type Exercice donné à l’examen 2009 Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel deIR3définVect1,−2,0? i parH0 3 3 =1−11
Donner une équation cartésienne de H. Soit G le sous-espace vectoriel deIR3défini parG= (x, y, z) ∈IR3, x=y=z.Déterminer une base de G ainsi que sa dimension. Montrer que H et G sont supplémentaires. 1−2 0 H=Vect0,−3,3=Vect011,310,130en faisantC2→C2+2C1 1 1 1 =Vect101,130en éliminant la dernière colonne identique à la deuxième. On a donc une famille génératrice deHformée de deux vecteurs.
I vdb 37
Bases en algèbre- L2
partie
Les deux vecteurs10,30sont libres car par exemple1003=3≠0. Comme ils forment une 1 1 génératrice libre, ils forment une base notée{v,w}deH. La dimension deH 2.est donc égale à yx∈Hsidét101,031,zyx=0 C’est donc un plan. Un vecteurzsi et seulement c’est à direx3011−y1101+z1003=0. Une équation cartésienne deHest−3x−y+3z=0.
x G= (x, y, z) ∈IR3, x=y=z. Tout vecteury∈Gest donc du typeyzx=xxx=x111,x∈IR. z Gest donc une droite vectorielle de base1c é ale à 1. u=1. Sa d 1 gimension est don On a clairementdimH+dimG=2+1=3=dimIR3. Il suffit de montrer queH∩G=0. Un vecteurxsi et seulement si ses coordonnées vérifient les équations cart y∈H∩Gésiennes deH z = = et deGc'est-à-dire six3xzyy3zqui a pour seule solutionzxy=000. − + + =0 DoncH⊕G=IR3. On aurait pu également vérifier que la famille{u,v,w}était une base deIR3en calculant 1 1 0 dét(u,v,w). Icidét(u,v,w)=1 0 3= −1≠0 . 1 1 1 Par suite la réunion disjointe des deux bases deHetGforme une base deIR3et doncH⊕G=IR3
I vdb 38
