Paramétrisation de l'ensemble des solutions d'un système de contrôle - Soutenance de thèse

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Param´etrisationParam´etrisation de l’ensemble des solutions d’unsyst`eme de contrˆoleSoutenance de th`ese8 juin 20051/36Param´etrisationPlanPlan1 Probl´ematique2 Syst`eme `a trois ´etats et deux entr´ees3 Cas g´en´eral : point de vue local alg´ebrique2/36Param´etrisationProbl´ematiquePr´esentation du syst`emeSoit n et m≤ n deux entiers.x˙ = f(x,u) (1)n mx ∈R et u∈R .n+mU ouvert deR .nf, analytique r´eelle, U→R .3/36¯ ¯ ¯Pour toute solution (x¯,u¯) de (1), il existe h = (h ,...,h )1 mtelle que x¯ ¯=φ(j (h)).μu¯Param´etrisationProbl´ematiqueSoit μ = (μ ,...,μ ) un m-uplet d’entiers positifs.1 m x=φ(j (h)) (2)μu(μ ) (μ )1 m˙avec j (h)(t) = (h ,h ,...,h ,h ,...,h ).μ 1 1 2 m1x˙ = f(x,u) (1)D´eﬁnitionφ est une param´etrisation d’ordre μ de (1) siPour tout h = (h ,...,h ) fonctions arbitraires du temps,1 mt7→φ(j (h)(t)) est solution de (1).μ4/36Param´etrisationProbl´ematiqueSoit μ = (μ ,...,μ ) un m-uplet d’entiers positifs.1 m x=φ(j (h)) (2)μu(μ ) (μ )1 m˙avec j (h)(t) = (h ,h ,...,h ,h ,...,h ).μ 1 1 2 m1x˙ = f(x,u) (1)D´eﬁnitionφ est une param´etrisation d’ordre μ de (1) siPour tout h = (h ,...,h ) fonctions arbitraires du temps,1 mt7→φ(j (h)(t)) est solution de (1).μ¯ ¯ ¯Pour toute solution (x¯,u¯) de (1), il existe h = (h ,...,h )1 mtelle que x¯ ¯=φ(j (h)).μu¯4/36Param´etrisationProbl´ematiqueExemple trivialExempleLe syst`eme trivial x˙ = u avec m = n est param´etrable.˙En eﬀet, x = h et u = h5 ...

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Param´etrisation

Parame´trisationdel’ensembledes syst`emedecontrˆole

Soutenancedethe`se

8 juin 2005

solutions

d un ’

1 / 36

aPralPma´entrisation

Plan

Proble´matique

Syste`mea`troise´tatsetdeuxentr´ees

Casge´ne´ral:pointdevuelocalalg´brique e

2 / 36

ParaPmor´ebtlre´ismaattiioqneu

Presentation du systeme ´ `

Soitnetm≤ndeux entiers.

x∈Rnetu∈Rm. Uouvert deRn+m. fquer´eel,analyti,el

x=f(x,u) ˙

fquer´eel,analyti,el U→Rn .

(1)

3/63

Pam´rarietitasrPno´lbotameqieuPuotr¯u=e¯xlequ)tel¯,mh.,..¯(1h¯e=hstxile,i1)e()d¯u,x¯(noitulosetuo

(2)

(µm) avecjµ(h)(t) = (h1,˙h1, . . . ,h(1µ1),h2, . . . ,hm). ˙x=f(x,u) (1)

D´eﬁnition φdreasirte´mro’dnoitesrapanetuµde (1) si Pour tout h= (h1, . . . ,hm)fonctions arbitraires du temps, t7→φ(jµ(h)(t))est solution de (1).

/4.)

Soitµ= (µ1, . . . , µm) unm-uplet d’entiers positifs. ux=φ(jµ(h))

63µj(φ)h¯(

aParPmroe´btlr´eismaattiioqneu

Soitµ= (µ1, . . . , µm) unm-uplet d’entiers positifs. ux=φ(jµ(h)) avecjµ(h)(t) = (h1,h˙1, . . . ,h(1µ1),h2, . . . ,h(mµm)). x˙ =f(x,u) (1)

D´eﬁnition φamartr´eatisndiotsepenuo’drerµde (1) si Pour tout h= (h1, . . . ,hm)fonctions arbitraires du temps, t7→φ(jµ(h)(t))est solution de (1). ¯ ¯ ¯ Pour toute solution(x¯,u¯)de (1), il existe h= (h1, . . . ,hm) telle que ¯x¯=φ(jµ(¯ u h)).

(2)

4/36

aParPmroe´btlre´ismaattiioqneu

Exemple

trivial

Lesyst`emetrivial˙x=u ˙ En eﬀet,x=hetu=h

avec

est

parame´trable.

5 / 36

ParaPmor´ebtlr´esimaattiioqnue

Exemple Lesyst`em e

˙x=vcosθ yθ˙=˙vsinθ =u

estparam´etrable. En eﬀet,

⇐⇒

x˙ sinθ−y˙ cosθ= 0

xyθ==a=hhr12ctanhh˙˙21

(3)

(4)

6/63

leabriva+mtnsetenadnepe´dniselbavarii+1)cP(µPave’dDEe`emySts36

Uneconditionn´ecessaire

Laparam´etrisationφ= (ϕ, ψ) d’ordreµudnoitari´evqu´el’ﬁe sytemex=f(x,u) : ` ˙

kmX=1µXk∂∂hϕ(jik)(jµ(h)).h(ik+1)=fj(ϕ(jµ(h)), ψ(jµ(h))) i=0

(5)

naet.s/7dse´epdnraPronPioatistr´eamuqeamitlbe´

aParPmor´ebtlre´simaattiioqnue

Uneconditionne´cessaire

Laparame´trisationφ= (ϕ, ψ) d’ rdreµv´equation´deuriﬁel’ o syt`eme˙x=f(x,u) :

(5)

µk XmX∂∂hϕk(ji)(jµ(h)).h(ik+1)=fj(ϕ(jµ(h)), ψ(jµ(h))) k=1i=0 Syste`med’EDPavecP(µitesetnadnepe´dnisleabriva1)+n+m variablesde´pendantes.

7/36

lIe`aerestmerqxpriaPm´rariettisaon

Six˙ =f(x,u) est integrable. ´

admet

une

parame´trisation,

sy t`me s e

d’EDP

8 / 36

Probl´ematique

.φrpah)µ(tjanedc´´eantn)uua(f,x˙e=xiondolututesueto

aParPmore´btlre´simaattiioqneu

Six˙ =f(x,uetdm)aamarepunst`emed’EDPe´rtsitaoi,necys est int´ rable. eg Il reste a exprimer que toute solution dex˙ =f(x,u) a un ` ante´ce´dantjµ(h) parφ.

8/36

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