Modélisation et résolutions numérique et symbolique de problèmes via les logiciels Maple et MATLAB
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Modélisation et résolutions numérique et symboliquede problèmes via les logiciels Maple et MATLAB(MODEL)oCours n 6 : Introduction à MATLABStef GraillatUniversité Pierre et Marie Curie (Paris 6)S. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 1 / 43Objectifs du coursObjectifs :Concept mathématique : définition mathématique de concepts et dequantitésAlgorithme : comment calculer efficacement ces quantités surordinateur (via l’utilisation de MATLAB et Maple)?Résolution de problème : utiliser les concepts et les algorithmes pourrésoudre des problèmes concretsS. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 2 / 43Références principalesScientific Computing with Case Studies, Dianne P. O’Leary, SIAM,2009Numerical Computing with MATLAB, Cleve Moler, SIAM, 2004MATLAB Guide, Desmond J. Higham, Nicholas J. Higham, 2ndédition, SIAM, 2005Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and MATLAB,Walter Gander, Jiri Hrebicek, 4e édition, Springer, 2004Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, William Press,Saul Teukolsky, William Vetterling et Brian Flannery, 3rd Edition,Cambridge University Press, 2007S. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 3 / 43Champs d’applicationLes notions vues dans ce cours interviennent dans :la robotiquele traitement du signalle d’imagela géométrie algorithmiquela biologieetc.S. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 4 / 43Plan du coursIntroduction à l’arithmétique à virgule flottante et présentation ...
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Français
Modélisation et résolutions numérique et symbolique de problèmes via les logiciels Maple et MATLAB (MODEL)
Gralilat(Univ.
Cours no6 : Introduction à MATLAB
aPris6)
Stef Graillat
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
OMEDL(cours˚n6)1/43
Objectifs du cours
Objectifs:
S.
Concept mathématique: définition mathématique de concepts et de quantités Algorithme: comment calculer efficacement ces quantités sur ordinateur (via l’utilisation de MATLAB et Maple) ? Résolution de problème: utiliser les concepts et les algorithmes pour résoudre des problèmes concrets
GraillatU(in.vaPirs6)OMEDL(coursn˚6)2/34
Références principales
.S
Scientific Computing with Case Studies, Dianne P. O’Leary, SIAM, 2009
Numerical Computing with MATLAB, Cleve Moler, SIAM, 2004
MATLAB Guide, Desmond J. Higham, Nicholas J. Higham, 2nd édition, SIAM, 2005
Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and MATLAB, Walter Gander, Jiri Hrebicek, 4e édition, Springer, 2004
Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling et Brian Flannery, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2007
Graillat(Univ.Paris6)OMEDLc(uosrn˚6)3/43
Champs d application ’
Les notions vues dans ce cours interviennent dans :
.S
la robotique
le traitement du signal
le traitement d’image
la géométrie algorithmique
la biologie
etc.
rGalialtU(inv.Paris)6MODEL(cours˚n)64/34
Plan du cours
.S
Introduction à l’arithmétique à virgule flottante et présentation de MATLAB Décomposition en valeurs singulières, application à la compression d’image Calcul de vecteurs propres, valeurs propres, application à l’algorithme PageRank de Google Transformée de Fourier discrète, application en traitement du signal et en calcul formel Méthode de Monte-Carlo, application au pricing doption en finance
rGaillat(Univ.Paris)6MODELc(uosr˚n6)5/43
Calcul formel / calcul numérique
Algorithmes symboliques: fournissent une représentation exacte du résultat mais peuvent être lents Algorithmes numériques: exécutés en précision finie, ils sont plus rapides en général mais fournissent des résultats approchés
→calcul symbolique-numérique: utiliser quand cela est possible des algorithmes numériques (au sein d’algorithmes symboliques) en contrôlant la précision des résultats
.SGraillatU(niv.aPirs)6OMDEL(cours˚n6)6/43
Maple
Sage
Maxima
Magma
Calcul formel
MATLAB
Calcul numérique
Logiciels utilisés
Mathematica
FreeMat
Octave
SciLab
.StalliarGv.Pa(Uni)MODris6uosrLEc(/734˚n)6
1.
S.
Arithmétique
Graillat
(Univ.
Paris
6)
à
MODEL
virgule
(cours
˚6) n
flottante
8
/
43
2−1 cos(100tcaπ1n(+10π0/4)))2 3 tan(0a0r01000 ∙ ∙ ∙rq∙∙∙√4!2∙ ∙ ∙22
00)−1) 5g×(e6((01010)++ee−−0101)−1) lo 1000
4.000000004349260
(20 fois)
1.000000000000000 2.111000000000000
2.999999719999926
Inf
NaN
Sra.GlailnU(tP.visiraOM)6
Nombres à virgule flottante
Un nombre flottant normaliséx∈Fest un nombre qui s’écrit sous la forme
x=±x0.x1. . .xp−1×be,0≤xi≤b−1,x06=0 | {z } mantisse
b: la base,p: précision,e: exposantvérifiantemin≤e≤emax
Précision machine=b1−p,|1+−1|=
Approximation deRparF, arrondi fl:R→F Soitx∈Ralors fl(x) =x(1+δ),|δ| ≤u.
L’ nité d’arrondiuvautu=/2 pour l’arrondi au plus près. u
S.Graillat(Univ.aPirs)6OMEDL(cours˚n6)01/43
Modèle standard de l’arithmétique à virgule flottante
Norme IEEE 754(1985) Les opérations arithmétique ops(+,−,×, /,√)sont effectuées comme si elles était calculées en précision infinie puis arrondies ensuite Par défault : arrondi au plus près
Type Taille Mantisse Exposant Unité d’arrondi Intervalle Simple 32 bits 23+1 bits 8 bitsu=2−24≈5,96×10−8≈10±38 Double 64 bits 52+1 bits 11 bitsu=2−53≈1,11×10−16≈10±308
Soientx,y∈F,
S.Graillat
fl(x◦y) = (x◦y)(1+δ),|δ| ≤u,◦ ∈ {+,−,∙, /}
U(in.vaPirs)6OMEDL(coursn˚6)11/34
