ma201-cours-12
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Schémas numériques pour les équationshyperboliques non linéaires 1D.Patrick JolyINRIA-RocquencourtSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.1/20Approximation numérique.Le problème à résoudre s’écrit:8+Trouveru(x;t) : IR IR ! IR tel que:>><@u @+ f(u) = 0; x2 IR; t> 0;> @t @x>:u(x; 0) =u (x); x2 IR:0Schemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.2/20Approximation numérique.Le problème à résoudre s’écrit:8+Trouveru(x;t) : IR IR ! IR tel que:>><@u @+ f(u) = 0; x2 IR; t> 0;> @t @x>:u(x; 0) =u (x); x2 IR:0On se donne un pas de discrétisation en espace x> 0,un pas de discrétisation en temps t> 0 et on va calculer:n n nu u(x ;t ); x =jx; t =nt:j jjSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.2/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Schemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.3/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Cas particulier : schémas conservatifsSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.3/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Cas particulier : schémas conservatifsPrincipe de base : méthode des volumes finisZx1j+12u (t) = u(x ...
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INRIA-Rocquencourt
Patrick Joly
Schémas numériques pour les équations hyperboliques non linéaires 1D.
x∈IR >, t0, x∈IR.
Le problème à résoudre s'écrit: Trouveru(x, t) :IR×IR+−→IRtel que: ∂u∂fx∂(u) = 0, ∂t+ u(x,0) =u0(x),
Approximation numérique.
Approximation numérique.
Le problème à résoudre s'écrit: Trouveru(x, t) :IR×IR+−→IRtel que: t∂∂u+f∂x∂(u) = 0, u(x,0) =u0(x),
On se donne unpasde discrétisation enespaceΔx >0, unpasde discrétisation entempsΔt >0et on va calculer:
ujn∼u(xj, tn), xj=jΔx, tn=nΔt.
x∈IR, t >0,
x∈IR.
e´nieria.D1s2.perypliboesqunlno
Cadre général à trois pas en espace: Schémas
ujn+1=H(ujn−1,unj,ujn+1)
Schémas à un pas en temps.
1Desp..cS´hun´mmesauesperiqes´eourlsnoitauqlobrepyhonsnueiqirean´li
Cas particulier: schémasconservatifs
Schémas à un pas en temps.
ujn+1=H(unj−1,ujn,unj+1)
Cadre général: Schémas à trois pas en espace
iqerm´nurlouspuesame´hcSiquerbollin´snonuqtasee´yhepoisn
Cadre général: Schémas à trois pas en espace
n ujn+1=H(uj−1,ujn,unj+1)
Cas particulier: schémasconservatifs
Principe de base : méthode desvolumes nis
uj(t) =h1Zxj2+1u(x, t)dx xj−1 2
/3.p
Schémas à un pas en temps.
02seri.D1lionean´iqolsnueepbrsnyhtaoie´uqrlesspouiquem´erunsame´hcS
On intégre l'équation entrexj−21etxj−21: dj(t 1) +hZxjx−j2+1f∂∂(u)dx= 0 u dt1x 2
Schémas à un pas en temps.
0Shc´selruopnoitauqeumsnma´eesquri´e
Schémas à un pas en temps.
On intégre l'équation entrexj−12etxj−21: d1 dtuj(t) +hZxjx−j+1212∂∂xf(u)dx= 0
ce qui donne: ddtuj(t1)hhfu(xj+21, t)−f(uxj−12, t)i= 0 +
4/20
ce qui donne: dduj(t) +h1hfu(xj+21, t)−f(uxj−12, t)i= 0 t Problème: Approcherfu(xj+12, t)à partir desu`(t)...
/2.4
Schémas à un pas en temps.
x1: On intégre l'équation entrexj−12etj2 − ddtuj(t 1) +hZxjxj21+1fx∂∂(u)dx= 0 − 2
0
(u,v)→g(u,v) :uxnumériquedu schéma.
Schémas à un pas en temps.
1 Choix naturel:f(u(xj+2, t))∼g(uj(t),uj+1(t))
ce qui donne: ddtuj(t 1) +hhfu(xj+12, t)−f(uxj−21, t)i= 0 Problème: Approcherfu(xj+12, t)à partir desu`(t)...
On intégre l'équation entrexj−12etxj−12: hZxj−12 ddtuj(t 1) +xj+21f∂x∂(u)dx= 0
p.4/20.D1seriae´nilnonesquliboerypshonauit´sqeruelseopriquum´emasnch´eS
Schémas à un pas en temps. Discrétisation en temps: schémaexplicite unj+1−unj1Δx(ujn,ujn+1)−g(unj−1,ujn)= 0. Δt+g Sch´emasnum´eriquespourles´equationshyperboliquesnonline´aires1D.p.5/20
