IN101 - cours 04 - 8 octobre 2010

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IN 101 - Cours 0430 septembre 2011pr´esent´e parMatthieu FiniaszUn probleme concretLaquelle de ces deux fonctions est la meilleure?1 int factoriel(int n) {2 int i, res;3 res = 1;4 for (i=2; i Voir

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`ﬁ`

CQbVˆ

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septembre

persenet

04aaLiCb

par

iFPi4 e ˆ

2011

3PTVQ:CMNC?QP?VCa

Laquelle de ces deux fonctions est lameilleure?

0nidP(AcN<iF[aindS$ f 1ind9b*iFa 2aFb /9 3N[a (i=09 i:S)/9 i))$ f 4aFb (= i9 5} 6aFcdaS aFb9 7} 9nidS[=i(R/indS*ind]$ f 00dcFa<NSaa[cA9]$](-$<NcAa[Fi(P+SiFP(S$-N<Ac[aiFP 00}

0ind(R0S[=inidSnid]$ f * 1iN(]=.$ gg (S=]$$ f 2aFcdaS /9 3} FPbF f 4[RiSS+0(]+/*)=/$R[Si+S(0cFa=Sad*/$]9 5} 6

-4PQaiQPAC ?QNTMCciCa

Lacomplexietd’unalgorithmemesuresonenteictaeciqu`ensri enfonctiondelatailledesdonenes`atraiter, asymptotiquement, dans le pire cas, ou en moyenne.

En pratique, pour une entere de tailleS: on compte le nombre d’erpoabessnedtaoi,iresessance on regarde comment ce nombreevolue asymptotiquement.

Ils’agitenegenraldecomplexiet temporelle ons’inetressesouventaussia`lacomplexiet spatiale.

NQ?4MCbUC?-aˆC'biQQa4P?-CiaCcTMQCC4PIMVQ?PPCVaM4iaLNiUbC

bdR_[N_b_d<aFb( bdR = .9

0nu*ideng nid 1u*digne ind 2nidi9 3N[a =i(/9 i:S)/9 i))$ f 4bdR )= i(i9 5} 6aFcdaS bdR9 7}

un deing nid *

3PTVCNiCVCcCNTMCˆiNTMC

S$ f

Pour une simple boucleN[ar:lecualcali`ecatieseftacomplexl latailledel’entereestS la fonction faitSmultiplications etSadditions _la complexiet estrieliean’entree.elntaialldele Unpeudeerﬂexionpermetdecalculercelaentempsconstant: bdR [N b_d<aFb(S) =S(S+1)(2S+1) 6 _2 additions, 3 multiplications, une division.

Deﬁnitios: n N(S) =O(g(S)si 9A>0,9S02N,∀SS0,0N(S)Ag(S). N(S) =(g(S)si 9A,A0>0,9S02N∀S S0,Ag(S)N(S ,

(S).

S 2 2

SSSlog(S)S2 S32Sexp(S)S

log(S

Exemples : S2+S+ 1 =S2 log(S(S S(S log(S)

2000S2+ 1000000

aia4ˆAQPUbCiaQaTNdˆ4PQˆi4V4NTCQCiaCcTMQNC?!4))pO=)O=)=g0)

p)99_QNCcTMQNC?ˆAQPaia4Qˆ4PV4i4QCTNaiCUbCaQaiˆdNT!)

log(S

Complexietdoublement exponentielle 2 S. par exemple :N(S) = 2 Complexietsous-exponentielle p par exemple :N(S) = 2S.

souvent eralisable

Deﬁnitios: n Complexietpolynomiale_ O>0,N(S) =O(SO). Complexietexponentielle 1,:S=O(N(S). :>

enegenralireralisable

S 2 2

SSSlog(S)S2 S32Sexp(S

QbCMUbCˆQVAVCˆACIV4PACbV

UnPCstandardfaitdel’ordrede230dneocesrapserianibsontiraeop 240ssimplespoearitno_eralisable par tout le monde.

Lesrecordsactuelssontunpeuau-dela`de260eraopnibsnoitseria eralisable par des gens≪motievs_SANmoh@...eloF,gnid

Encryptographieonconside`reque280nabinsioaterpotnosseri ireralisables(aujourd’hui) Clefs de 128 bit_uruopleuqesquzadiesinand’nee.s s s^res

1VCNiCVˆ

CcCNTMCˆ

TVQ:CMNCUb4aVC 4MIQViaLNCˆ

4-ˆbia-CCATCiFV:QQ:CPM4N??iC

Oncherchea`calculer,S, leSccanobiF:iedelombrtedeasuimene-`i ,0 et= 0,1= 1 ,S=,S 1+,S 2pourS>1 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

On sait faire le calcul direct : suiteercurrentedoublea`coecientsconstants nersoute2=e+ 1 o p =1( ) etb= 1 _b1=' 51 +2 2 S. ,S=p51('S (1 ') )

1(1 2

b'0.62 donc pourS>1,,Sest l’entier le plus proche de 2

S . 5

)=8

,1 et= 1,0= 0 donc il y a au moins,Sappels ercursifs _la complexiet est(,S) =('S) .

Ici,lacomplexietestlenombred’appelsa`Ni=[/ leersultatseedcomposeenunesommede,1et,0: + ,4=,3,2 + + + = (,2,1) (,1,0 + + + + (,1,0),1,1,0

S$ f

0un*dengi nidNi=[/(un giden ind * 1iN (S : 0$ f 2aFcdaS S9 3} 4aFcdaS Ni=[/(S+/$ ) Ni=[/(S+0$9 5}

CCa:^vCˆibVC?AMIQ??i{:QP4FiPQVVCiˆCNV`iVLa

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