Exo2 - Etude harmonique premier ordre généralisé corrigé
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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI Exercice 2 : étude harmonique d’un premier ordre généralisé (CORRIGE) S1(p) 1+a.τ1.pH1(p) = =K1. avec τ1 = 0,25s , K1=8 et a=3 E1(p) 1+ τ1.p 1+a.τ1.j.ωH1(j.ω) = K1. transmittance du système 1+ τ1.j.ω 1) N1(p) = K1.(1+a.τ1.p) On obtient la fonction de transfert complexe en remplaçant la variable de Laplace par l’imaginaire pur j.ω : N1(j.ω) = K1.(1+a.τ1.j.ω) Module : N1(j.ω) = K1. 1+ a².τ1².ω² Module en dB : G dB=20.logN1(j.ω) = 20.logK1+10.log(1+ a².τ1².ω²) N1 a.τ1.ω.K1Phase : ϕ = arg(N1(j.ω)) = artan( ) = artan(a.τ1.ω) K1 Diagramme d’amplitude : étude des asymptotes limG dB =lim(20.logN1(j.ω)) = lim(20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²)) = 20.logK1 N1ω→0 ω→0 ω→0Asymptote horizontale limG dB = lim(20.logN1(j.ω)) = lim(20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²))N1ω→∞ ω→∞ ω→∞limG dB = 20.logK1+lim(10.log(1+a².τ1².ω²)) N1ω→∞ ω→∞1limG dB = 20.logK1+lim(10.log(ω²( +a².τ1²)) =20.log(K1.a.τ1)+20.log(ω)N1ω→∞ ω→∞ ω²Asymptote de +20dB/decade Intersection des asymptotes : 20.logK1 =20.log(a.τ1.K1)+20.log(ω) −20.log(a.τ1) = 20.log(ω) 1ω = ≈1,33 a.τ1 Diagramme des phases : limϕ = lim(artan(a.τ1.ω)) = 0 ω→0 ω→0 πlim ϕ = lim(artan(a.τ1.ω)) = = 90° ω→+∞ ω→+∞ 2 1 a.τ1.ω.K1Pour ω = ≈1,33 , on a : ϕ = arg(N1(j.ω)) = artan( ) = artan(1) = 45° a.τ1 K1 Professeur : Franck Besnard 1 CPGE PCSI/PSI Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI ...
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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI Exercice 2 : étude harmonique d’un premier ordre généralisé (CORRIGE) H1(p)=S1(p)=K1. 1+a.τ1.pavecτ1=0, 25s, K1=8 et a=3 E1(p)1+ τ1.p H1(j.ω)=K1. 1+a.τ1.j.ω transmittancedu système 1+ τ1.j.ω 1) N1=K1. 1+a.τ1. On obtient la fonction de transfert complexe en remplaçant la variable de Laplace par l’imaginaire pur.ω:N1.ω =K1. 1+a.τ1. .ω Module :.N1ω =K1. 1+a².τ1².ω² Module en dB : GN1dB=20.log N1(j.ω)=20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²) Phase :ϕ =ar N1 .ω =tan.araτ1.ω.K1=artana.τ1.ω K1 Diagramme d’amplitude : étude des asymptotes lωi→m0GN1dB=liω→m0(20.log N1(j.ω) )=liωm0→(20.logK1+10.lo 1+a².τ1².ω²=20.lo K1 Asymptote horizontale lim GN1dB=lim(20.log N1(j.ω) )=lim(20.log K1+10.log(1+a².τ1².ω²) ) ω →∞ ω→∞ ω→∞ lim GN1dB=20.logK1+lim(10.log(1+a².τ1².ω²)) ω →∞ ω→∞ lωi→m∞GN1dB=20.logK1+lωi→m∞(10.log(ω²(ω1²+a².τ1²))=20.log K1.a.τ1+20.loω Asymptote de +20dB/decade Intersection des asymptotes :20.lo K1=20.lo a.τ1.K1+20.loω −20.lo a.τ1=20.loω ω 331 1 = ≈, a.τ1 Diagramme des phases : limϕ =iltramana.τ1.ω =0 ω →0ω→0 limϕ =an.raatlmiτ1.π==ω90° ω →+∞ ω→ +∞2 Pourω =1τ1≈1, 33, on a :ϕ = .ar N1ω =a.nartaτ1.1Kω.K1=ar tan 1=45° a. Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI/PSI
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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI Pourω =2.1a.τ1≈2, 66, on a :ϕ =arg(N1(j.ω))=raat(n.aτ1.Ka.12τ.K11)=ar tan(2)≈63, 4° 2) H2(p)=1 1+ τ1.p Module :H2(j.ω)=1+ τ²1.1ω² Module en dB : GH2dB=20.log H2(j.ω)=20.log1−20.log( 1+ τ1².ω²)= −10.log(1+ τ1².ω² Diagramme d’amplitude : lωi→m∞(−10.log(1+ τ1².ω²))=lωi→m∞(−10.logω²(²1+ τ1²))= −20.logτ1−20.loω ω Asymptote de -20 dB/dec lim−10.lo 1+ τ1².ω²=0 ω →0 Intersection pour :−20.loτ1−20.loω =0 20.lo 1=20.loω τ1 20.lo 1=20.loω τ1 Soit : ω =1=1=4 τ1 0, 25 ϕ = .ar H2 −ω =ar tanτ1.ω Diagramme des phases : limϕ =lim−ar tanτ1.ω =0 ω →0ω→0 lim=lim−ar tanτ1.ω = − π90 = − ° ω →+∞ϕω→ +∞2 −ar tanτ1. 2 6 4 τ1= −3,° 4) La fonction de transfert isochrone s’écrit : K K1. K1. H1(j.ω)=1Sj1(E.(j.ωω))=11.1++aτ.τ.11j..j.ωω=(1+a.τ1j.1+.τω.11²(.)ω²− τ1.j.ω)=1− τ1.j.ω1++a.ττ1..j.²1ωω²+a.τ1².ω² H1 . 1+ 1.j. (aa. 1². ² 1) (jω)= τ1+τω+1²ωτ²ω − . ² ² ² 1 . a . . Soit :H1(j.ω)=K1. 1+a.τ1 τω + − ω1 ² (1+ τ1².ω²)² Professeur : Franck Besnard2 CPGE PCSI/PSI
Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI ω = + τ ω (grâce ulta Ou K).111H(1.j+a²τ1..1²²ω.²²aux rés ts précédents) Module en dB : H1dB 20.log(j. )11.1K+²a1.τ²²..²1ω² ²) 1². 10.log(1 ²) 1². 10.log(1 a².20.log K1 ω = τ + ω=++ωτ+−ωτ =r t a−1 .τ1.ω a an ϕ1+a.τ1².ω² 5) Détermination de l’extremum de l’argument : Soit : af( )−1 .τ1.ω ω = 1+a.τ1².ω² df d a 1 . 1. a 1 . a. 1². ² 1 ω=−τω²−=.1a(τ1².ω²)²− dωdω1+a.τ1². τ ωω + Cette dérivée s’annule pour :a−.1.aτ1².ω²−1=0
Soit : ωM=11 a.τ La fonction arctangente étant monotone, le maximum est atteint pourωM=1.aτ1 Et le maximum est donc :ϕ =ar tana2−1a Cette fonction de transfert est celle d’uncorrecteur à avance de phase. 7) a=0,5 H1(p)=)p()1S(p=11.K1++aτ.τ.1p1.=8. 1+01+,p0..5,,052p.52 E1 p N1=K1. 1+a.τ1. On obtient la fonction de transfert complexe en remplaçant la variable de Laplace par l’imaginaire pur.ω:N1.ω =K1. 1+a.τ1. .ω Module :.N1ω =K1. 1+a².τ1².ω² Module en dB : GN1dB=20.log N1(j.ω)=20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²) Phase :Nraar1..nataτ1.ωaKn.rt1.a.1a ϕ = ω =K1= τ ω Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI/PSI
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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI Diagramme d’amplitude : étude des asymptotes lωi→m0GN1dB=liω→m0(20.log N1(j.ω) )=liωm0→(20.logK1+10.lo 1+a².τ1².ω²=20.lo K1 Asymptote horizontale lim GN1dB=lim(20.log N1(j.ω) )=lim(20.log K1+10.log(1+a².τ1².ω²) ) ω →∞ ω→∞ ω→∞ lim GN1dB=20.logK1+lim(10.log(1+a².τ1².ω²)) ω →∞ ω→∞ = + ω + τ =K1.a.τ1+20.loω lωi→m∞GN1 ldB 20.logK1ωi→m∞(10.log( ²(ωg²ol.02))²11.²a Asymptote de +20dB/decade Intersection des asymptotes :20.lo K1=20.lo a.τ1.K1+20.loω −20.lo a.τ1=20.loω ω =1=8 a.τ1 Diagramme des phases : limϕ =a.anrtmaliτ1.ω =0 ω →0ω→0 =.tanaimarτ1.==ωπ90° ωli→m+∞ϕlω→ +∞2 on a :ar Pourω =11.=8,ϕ =.1Nω =natara.τK1.ω1K1.=ar tan 1=45° aτ a.τ ω =2 1τ1≈2, 66,21..K1n(tart)a(2an3,)6a1.aN(gr.j(1ra)) Pour..aon a :ϕ = ω =K1 ≈τ =4° H2(p)=1 1+ τ1.p Module en dB : GH2dB=20.log H2(j.ω)=20.log1−20.log( 1+ τ1².ω²)= −10.log(1+ τ1².ω² Diagramme d’amplitude : lim(−10.log(1+ τ1².ω²))=lim(−10.logω²( 1+ τ1²))= −20.logτ1−20.loω ω →∞ ω→∞ω² Asymptote de -20 dB/dec lim−10.lo 1+ τ1².ω²=0 ω →0 ϕ = .ar H2ω = −ar tanτ1.ω Diagramme des phases : lim=lim ω →0ϕω→0−ar tanτ1.ω =0 limϕ =lim−ar tanτ1.πω=−=−90° ω →+∞ ω→ +∞2 Fonction de transfert d’un correcteur à avance de phase. Professeur : Franck Besnard4 CPGE PCSI/PSI
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correcteur à avance de phase
correcteur à retard de phase Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI/PSI
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