Etude du comportement d'une équation de réaction diffusion avec terme de gradient dissipatif dans
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Etude du comportement d’une equation´ de reaction´ diffusionavec terme de gradient dissipatif dans les domaines nonbornes´ .Jean Philippe BartierCEREMADE, Universite´ Paris DauphineMontpellier, Mardi 30 janvier 2007´ ´Jean Philippe Bartier Equation de reaction diffusion dans des domaines non born es.Outline1 Introduction2 Equation de Chipot et Weissler´ ´Jean Philippe Bartier Equation de reaction diffusion dans des domaines non born es.IntroductionEquation de Chipot et WeisslerOn considere` l’equation´ parabolique semilineaire´ suivante :´Equation semilineaire sans terme de gradient8>u −Δu =F(u), 0:u(0,x) =u (x), x ∈ Ω,0´DefinitionOn sait qu’il existe une solution classiqueu pourt ∈ [0;T]. On dit queu∗ ∗explose en temps finiT <∞ siku(.,t)k −→∞ lorsquet −→T .∞4 questions qu’on se pose.(i) Quand?(ii) Ou` ?(iii) Comment? (profil)(iv) Que se passe t il apr es` l’explosion?´ ´Jean Philippe Bartier Equation de reaction diffusion dans des domaines non born es.IntroductionEquation de Chipot et WeisslerpExemple classique ou` F(x)=xp nu −Δu =u , x ∈R , t ∈R (1)t´ `Theoreme, exposant de Fujita[1966]2Si 1 1+ , alors il existe des solutions globales et d’autres quiNexplosent en temps fini.on appellep l’exposant critique de Fujita de l’equation.´cOu la solution peut elle exploser?En 1D, sur[−1,1], si on se fixe un nombre de ...
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Français
Montpellier, Mardi 30 janvier 2007
onsnrnbos.´e
Jean-Philippe Bartier
CEREMADE,Universit´eParis-Dauphine
Etudeducomportementd’une´equationdere´actiondiffusion avec terme de gradient dissipatif dans les domaines non borne´ s.
Outline
2
Equation de Chipot et Weissler
1
Introduction
obnre´.s
4 questions qu’on se pose. (i) Quand ? (ii)O`u? (iii) Comment ? (profil) (iv)Quesepasse-t-ilapr`esl’explosion?
Onconsid`erel’e´quationparaboliquesemiline´airesuivante:
D´efinition On sait qu’il existe une solution classiqueupourt∈[0;T]. On dit queu explose en temps finiT∗<∞siku(.,t)k∞∞→−lorsquet−→T∗.
Equation semiline´ aire sans terme de gradient 8>ut−Δu=F(u),0<t<T,x∈Ω, <>:u(t,x) =0,(x),0x<∈tΩ,<T,x∈∂Ω, u(0,x) =u0
e´.sobnronsnneaiomsddensadnoisuffid-noit
(1)
Th´eor`eme,exposantdeFujita[1966] Si 1<p<1+2N=pc, alors toute solution non triviale explose toujours en temps fini. Sip>1+N2, alors il existe des solutions globales et d’autres qui explosent en temps fini. on appellepcl’exposant critique de Fujita de l’e´ quation.
Ou la solution peut elle exploser ? En 1D, sur[−1,1]si on se fixe un nombre de points arbitraire, x1;...,xk, alors il existe une condition initiale telle que la solution explose en temps fini exactement aux pointsxi, lorsquet→T. [Merle 1992]
n ut−Δu=up,x∈R,t∈R
e´.sobnrsnonainesdomnsdeadnoisuffid-noitac´eerndioatqurE
C1(t−T∗)1/(p−1)≥ kuk∞≥C2(t−T∗)1/(p−1)
Friedman,McLeod 1985 Si 1<p<NN+−22, alors on a
.
Comportement e´ quivalent a` celui de l’EDO
Equation semiline´ aire avec terme de gradient 8><>:ut−Δu=F(u,ru),0<t<T,x∈Ω, u(t,x) =0,0<t<T,x∈∂Ω, u(0,x) =u0(x),x∈Ω,
s.
D ´ finition e On dira queuexplose en temps finiT∗si tl→iTm∗|u(t)|W1,∞=∞,T∗<∞.
Onconside`rel’´equationparaboliquesemiline´airesuivante:
avecFune fonctionC1,u0∈W1,∞etΩ.erligu´eerinamodnu
De´ finition On dit queuexplose en temps finiT∗<∞siku(.,t)kW1,∞−→∞lorsque t−→T∗.
But Etude du comportement asymptotique des solutions.
avecp>1,q>0,r>0,q+r≥1,µ≥0,sassez grand etΩun domaine re´ gulier, borne´ ou non, deRn.
(2)
Equation de Chipot et Weissler (1989) 8∂tu−Δu=up−µ|ru|qur,t>0,x∈Ω, <>u(t,x) =0,t>0,x∈∂Ω, :>u(0,x) = Φ≥0,Φ∈W01,s,x∈Ω.
onborn´eomainesndsedsnadnoisuffi-dontiac´eerndiouqtaeiEraBtrpiepPhilean-J
[BS] : Gradient bounds for solutions of semilinear parabolic equations without Bernstein’s quadratic condition, CRAS Paris (2004).
udntrceo´i
De´ finition des deux types d’explosion On dira qu’il y a explosionen amplitudesi
E
|u(t)|=∞.
nu
Non explosion du gradient, [B., Souplet] Soitula solution de (2). Supposons queT∗<∞. Alors lim supku(t)kL∞(Ω)=∞. t→T∗
q
lim sup|u(t)|L<∞et lim sup|ru(t)|L∞=∞. t→T∗t→T∗
t
Cons´equence. Controˆ le deuL∞⇒existenceglobalede la solution.
a
lim sup|u(t)|L t→T∗
o
On dira qu’il y a explosion dugradientsi
indeChipotetWeissntI
Bernstein Si|F(u,p)| ≤O(|p2|), alors il n’y a pas d’explosion du gradient. SiF=|ru|q,q>2, on peut avoir explosion du gradient[S, 2002] Enfait,silanon-lin´earite´estsurquadratiquedissipativeessentiellement, on n’a pas d’exclusion du gradient [BS]
Ler´esultat[B.-Souplet]estvalablepourdesnon-line´arite´sF(u,p)plus g´en´erales.
.
Adaptation de la me´ thode classique de Bernstein, Changement de variableu=φ(v). Application du principe du maximum a` l’inconnue|rv|2. Enpratique,onconsid`ereraplutoˆtunediffe´rencefinie. Bon choix de la fonctionφ!
sdandoesinmanoesontiChdeotipWeetrtnIcudonoitauqEsilsre
[B] : Global behavior of solutions of a reaction diffusion equation with gradient absorption in unbounded domains, Asymptotic Analysis, 2006. Existencelocale(viaunprobl`emeapproche´).N´ecessit´ecaronpeut avoirr<1.Fnon Lipschitz ! Estimation de type e´ nergie. Principe du maximum (et unicite´ ). R´egularite´ . Non explosion du gradient. Etudedeladynamiquedel’´equation.
se.eJnaP-ihrtnIcudoontiChdeontiuaEqetWeipoterPlissl’le´naed∂:ututed−µupu=−Δrquu||r
[B] : Global behavior of solutions of a reaction diffusion equation with gradient absorption in unbounded domains, Asymptotic Analysis, 2006. Existencelocale(viaunproble`meapproch´e).N´ecessit´ecaronpeut avoirr<1.Fnon Lipschitz ! Estimationdetype´energie. Principe du maximum (et unicite´ ). Re´ gularite. ´ Non explosion du gradient. Etude de la dynamique de l’e´ quation.
