Etude de la fonction tangente et de sa réciproque
4
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
4
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
CNAM-Paris -2008-2009 MVA013 F.Guiraud Jeudi 27 Novembre 2008 Etude de la fonction tangente et de sa réciproque Fonction x→ tan(x) πDomaine de définition : R –{(2k+1) } 2Parité . Périodicité. Domaines d’étude La fonction tangente est impaire car tan(-x) = -tan(x) Périodicité On sait que tan(x + kπ) = tan(x), πLa fonction tangente est périodique de période π. La période de tan(ax) est Τ= . aDomaine d’étude On étudie donc les fonctions sur une période et on complète par translation de vecteur (T, 0) Dérivée Tableau de variations 2La dérivée de la fonction tangente est ( tan(x) )’ = 1+ tan (x) > 0 Fonction Arctan(x) π, πLa restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]- , [ est strictement monotone, 2 2π, πstrictement croissante donc est bijective de ]- , [ dans R 2 2Il existe donc une fonction réciproque définie dans R , continue et strictement croissante, et à π, πvaleurs dans ]- , [ . On l'appelle Arctangente et on la note Arctan. 2 2 π, πDéfinition: y = tan(x) ⇔ x = Arc tan(y) , x ∈]- , [, y ∈ R 2 2Comme la fonction tangente est dérivable, la fonction Arctangente l'est aussi et on a : 1 (Arctan (y))' = , avec y = tan(x) (tan(x))' 1 1 (Arctan(y))' = = 2 2 1 + tan (x) 1 + yA retenir : 1 ( Arctan(x) )' = , x ∈ R ...
Voir
Publié par
Langue
Français
CNAM-Paris -2008-2009
MVA013
F.Guiraud
1
Jeudi 27 Novembre 2008
Etude de la fonction tangente et de sa réciproque
Fonction x
→
tan(x)
Domaine de définition : R –{(2k+1)
π
2
}
Parité . Périodicité. Domaines d’étude
La fonction tangente est impaire car tan(-x) = -tan(x)
Périodicité
On sait que tan(x + k
π
) = tan(x),
La fonction tangente est périodique de période
π
. La période de tan(ax) est
Τ =
π
a
.
Domaine d’étude
On étudie donc les fonctions sur une période et on complète par translation de vecteur (T, 0)
Dérivée Tableau de variations
La dérivée de la fonction tangente est ( tan(x) )’ = 1+ tan
2
(x) > 0
Fonction Arctan(x)
La
restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-
π
,
2
,
π
2
[ est strictement monotone,
strictement croissante donc est bijective de ]-
π
,
2
,
π
2
[ dans R
Il existe donc une fonction réciproque définie dans R , continue et strictement croissante, et à
valeurs dans ]-
π
,
2
,
π
2
[ . On l'appelle Arctangente et on la note Arctan.
Définition: y = tan(x)
⇔
x = Arc tan(y) , x
∈
]-
π
,
2
,
π
2
[, y
∈
R
Comme la fonction tangente est dérivable, la fonction Arctangente l'est aussi et on a :
(Arctan (y))' =
1
(tan(x))'
, avec y = tan(x)
(Arctan(y))' =
1
1 + tan
2
(x)
=
1
1 + y
2
A retenir :
( Arctan(x) )' =
1
1 + x
2
, x
∈
R
Graphique
CNAM-Paris -2008-2009
MVA013
F.Guiraud
2
Exercices
Etudier Arctan(tan(x)
Calculer Arctan(x) +Arctan(
1
x
)
Montrer que Arctan(
1
2
) + Arctan(
1
3
) =
π
4
Fonctions exponentielle et logarithme
I Fonction exponentielle
1) Définition
Il existe une unique fonction f, dérivable sur
, telle que f' = f et f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp.
conséquences
exp(0) = 1
exp est dérivable sur
et exp'(x) = exp(x)
pour tout réel x, exp(x) > 0
la fonction exp est strictement croissante sur
exp(x)
lim
+∞
→
x
= +
∞
exp(x)
lim
-
x
∞
→
= 0
2) Notation
On pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e
2,718
3) Fonction réciproque
La fonction exponentielle étant strictement croissante, elle est bijective donc admet une application réciproque
définie sur ] 0,
+∞
[ à valeurs dans
Cette fonction réciproque est appelée logarithme népérien, notée ln
CNAM-Paris -2008-2009
MVA013
F.Guiraud
3
II Fonction logarithme népérien
1) Définition
C’est la fonction réciproque de l’exponentielle, définie sur ] 0,
+∞
[, comme elle dérivable sur son domaine et
strictement croissante.
Conséquences
ln(1) = 0, ln(e) = 1 ,
ln(x)
lim
+∞
→
x
= +
∞
,
ln(x)
lim
0
→
x
= -
∞
dérivée
: (ln(y) )’= ( exp
-1
(y))’ =
1
(exp(x))'
=
1
y
2) Propriétés
Dérivée de ln(ax), a étant un réel : ( ln(ax))’ =
a
ax
=
1
x
Donc ln(ax) et ln(x) ont la même dérivée c’est-à-dire ln(ax) = ln(x) +C , C étant une constante
Si x = 1, ln(a) = ln(1) +C =C
Conclusions : ln(ax) = ln(a) + ln(x) le logarithme transforme un produit en somme
ln(
1
x
.x) = ln(1) = ln(
1
x
) + ln(x) = 0 soit ln(
1
x
) = - ln(x)
ln(
y
x
) = ln( y) + ln(
1
x
) = ln(y) – ln(x)
ln( x
n
) = n ln(x)
III Propriétés algébriques de l’exponentielle
1) exponentielle d’une somme
ln(exp(x + y)) = x +y = ln(exp(x)) + ln( exp(y)) = ln(exp(x)
×
exp(y)) soit exp(x+y) = exp(x)
×
exp(y)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
On en déduit les propriétés suivantes :
exp(-y)
×
exp(y) = exp(0) = 1 soit exp(-y) =
1
exp(y)
; exp(x - y) =
exp(x)
exp(y)
;
exp(nx) = (exp(x))
n
(n
∈
) ; exp(
x
n
) =
n
exp(x) pour n
≥
1
cas particulier :
2) La notation e
x
Par convention, on pose exp(x) = e
x
pour tout réel x.
approximation affine au voisinage de 0 :
1
x
1
e
lim
x
0
=
−
→
x
IV Croissances comparées
+∞
→
x
lim
ln x
x
= 0
Démonstration :
On étudie la fonction f : x
→
ln( x) -
x définie sur ] 0 ;
∞
[
f ’(x) =
1
x
-
1
2 x
> 0 si
x < 2 ou x < 4 .
CNAM-Paris -2008-2009
MVA013
F.Guiraud
4
Tableau de variations :
x
0
4
+
∞
f ’(x)
||
+
0
-
ln(x) - x
||
||
-
∞
2ln(2) - 2
Or le maximum 2ln(2) – 2 < 0 donc ln(x) -
x < 0 pour tout x >0
Donc
si x >1 , 0 < ln(x) <
x
et en divisant les trois membres par x > 0 :
0 <
ln(x)
x
<
1
x
d’après le théorème de la pince
+∞
→
x
lim
ln(x)
x
= 0.
En généralisant :
+∞
→
x
lim
ln(x)
x
a
= 0 pour tout a >0
+∞
→
x
lim
e
x
x
= +
∞
ln(
e
x
x
) = x – ln(x) = x ( 1 -
ln x
x
) donc
+∞
→
x
lim
ln(
e
x
x
) = +
∞
donc
+∞
→
x
lim
e
x
x
= +
∞
En généralisant :
+∞
→
x
lim
e
x
x
b
pour tout b > 0
