Epreuve Maths CP1 2009 ensa tanger
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èreCONCOURS D’ENTREE EN 1 ANNEE DU CYCLE PREPARATOIRE 24 Juillet 2009 Epreuve de Mathématiques (Nombre de pages 4 et une fiche réponse à remettre au surveillant, correctement remplie, à la fin de l’épreuve) CALCULATRICE NON AUTORISEE 1) Soit L une liste d’entiers relatifs consécutifs a) - 72 dont le premier terme est -22 et le dernier b) 25 Lx=− 22,....,{ }terme est noté par x. c) 22 Si la somme de tous les éléments de L est égale à 72 alors x= nn(1− )e 1/ πa) b) 0 c) n’existe pas lim = n +12) n →∞ π 3) kn 1 22 ∞a) + b) c) Soit =X ; alors limX= ∑nnk +1 ee(2−)e − 2 →∞ek=1 4) On considère un carré C dont les côtés 0 a) 4a(2+ 2) mesurant a cm. Soit C le carré inscrit dans C 1 0 dont les sommets sont les milieux des côtés de b) 4a(1+ 2) C . Nous procédons de la même manière et 0 nous formons une famille infinie de carrés (C ) i c) 4a tel que C est le carré inscrit dans C dont les i+1 i sommets sont les milieux des côtés de Ci. La somme totale des périmètres des carrés C est égale à i 5) n ∞a) 3/2 b) 3/4 c) + 1 Soit ww= ; alors lim = nn∑ 2 n →∞p −1p=2 6) 1 Soit (u ) une suite numérique nn ≥0 à termes strictement positifs ( u > 0)n un +1vérifiant ≤∀kn , ∈IN avec a) Seulement I u n k est une constante strictement b) Seulement I et II inférieure à 1. (k < 1).
Voir
ère CONCOURS D’ENTREE EN 1ANNEE DUCYCLE PREPARATOIRE 24 Juillet 2009 Epreuve de Mathématiques (Nombre de pages 4 et une fiche réponse à remettre au surveillant, correctement remplie, à la fin de l’épreuve) CALCULATRICE NON AUTORISEE 1)Soit L une liste d’entiers relatifsconsécutifsa) 72 dont le premier terme est 22 et le dernier b) 25 = −terme est noté parx.L{22,....,xc) 22 Si la somme de tous les éléments de L est égale à 72 alorsx=n n (−1)e a)1/0 c)n’existe pas b) lim=+ 2)n1n→∞ π 3) nk 12 2 ∞ SoitXalors lim= ;X=b) c)a) + ∑k+1n n n→∞e−2e(e2) k=1e 4)On considère un carré C0 dontles côtés a) 4a(2+2 ) mesurant a cm. Soit C1inscrit dans Cle carré0dont les sommets sont les milieux des côtés de ) 4a(1+2 ) C0. Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés (Ci) c) 4a tel que Ci+1estinscrit dans Cle carréi dont les sommets sont les milieux des côtés de Ci. La somme totale des périmètres des carrés Ciest égaleà 5)a) 3/2b) 3/4c) +∞n 1 n∑2n Soitw= ;alors limw=n→∞ p=2p−1 6) 1
Soit () une u≥0suite numérique n n à termes strictement positifs (u>0) n u+1 n vérifiant≤k,∀n∈IN avec u n kest une constante strictement inférieure à 1.(k<1). On définitla suite (V)≥0définie par n n n V=u. ∑ nk k=0 On considère les assertions suivantes: (I) (ubornée) est n n (II) limu=0 n n→ ∞ (III) (Vconvergente) est n n Laquelle ( lesquelles) des assertions est ( sont vraies) ?
a)Seulement I b)Seulement I et II c)I, II et III .
π 31 ππ dx1 1 7)∫a) b)c)arct2 2 0 (9+tg x) cosx 9183 3 a rctgπx lim= 8)+a)π1 c)0 b)x→0 x 2sin 3x lim =1 9)+2a) 1b) c)3 x→03x 3 π +h 141 π2 = 10)limdxh→0∫ πa02 c)) b)h4tgx 2 π s inπx π ac) 0) b)lim= 11)π x→0 1−c o sπx 0 dxπ π3 1 a )b )c)∫−28 66 1 12)2x+6x+12 13) La surface formée par la courbede1 f(x)= etpar lesdroites (1+lnx) 2 =1 etx=eest égale à 2
Soit (U) lasuite définie par n n≥3 n 1 U=dx ∫ n3 14)ex(lnx) Alors limU= n n→∞ 15) 2 x2 u S oitg(x)=e du, alors ∫x la tangente à la courbe degenx=1 adm etpour équation 16) tg x dx=∫x
2n−1 ⎛n⎞ lim= 17)⎜ ⎟n→∞ ⎝3n−1⎠ 18) 3 So i tB ={i,j,k}b a s en e u,, +( I Rd e⋅) . O nc o n s i d è r ele sf a mi lle ss u i v a n t e s E={i+j,i+k,j+k} N={i,j+k,i+j+k} S={i, 2j, 3k} A ={i, 2j−k,j}A lo rs laq u e lle( ou les q u e lle s) d e sf a mi lle sf o r me un eb a s e?
22 a) ln 3b)ln(e+1)−ln 2 c)e−11 1 a) +∞ b) c)2 2 2e
3e a)y=(x−1) 2 b)y=ex−(e+1) c) Les données sont insuffisantes pour la déterminer 1 a) ln()+K2 cosx b) ln(cos )+K 1 c) ln()+; 2 cosx (Kune constante) 1 a+) 0b) c)∞3 a)Aucune b)Seulement S c)Seulement E,S et A
3 = ∈+ −= 19)SoitS{(x,y,z/) IRx2y z0}.a){(1,0,1);(0,1,2)}Lequel des systèmes suivants forme ){(0,1,2);(1,0,2);(1,2,0)}une base pour E ? c){(0,1,2)} O nc o n s i d è r el e se n s e mb le ss u i v a n t s 3 = ∈=E{(x,y,zR /) Iy0} a)Seulement E et A 3 N{(x,y,z) IR /x y z1} = ∈+ + = 20) 3 = ∈= S{(x,y,z) IR /z2} b)Seulement N et S 3 = ∈+ + = A{(x,y,zR /) Ix y z0} L e s q u e ls pa r mi ce se n s e mb le ss o n td e s c)Tous ( E,N,S et A)3 s o u se s p a c e sv e c t o r i e l sd eI R? 3
21) Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant a) (II) et (III) sont vraies 2 A=A+3I(Iest la matrice identité)n n b) (III) et (IV) sont vraies On considère les égalités suivantes (I) detA=0 c) (I) et (IV) sont vraies −1 (II)A=3I−An (III) detA≠0 −11 (IV)A=(A−I) n 3 Alors Soit Aune matrice carrée d'ordre n vérifiant a) det(A)−1 2 A−A−I=0 n n (Iest la matrice identité et b) det(A) n 22) 0 estla matrice nulle ) n 1 Alors det (AI)= c) ndet(A) =SoitA(a)≤ ≤une matrice carrée ij 1i,j n a)Tr(A)+nd'ordre n. O nappelle la Trace de A notée par Tr(A) 23)b)nTr(A) n le nombreTr(A)=a∑ ii i=1 A+I=c)Tr(A)+1 Alors Tr () n
24) x 2 Sih(t)dt=xln(1+x) ∫0 alorsh(1)=
25) sin(lnx)dx= ∫
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a) ln2 b) 1+ln 2 c) Les données sont insuffisantes x e a)[sinx−cosx]+K2 x b)[sin(ln )−cos(lnx)]+K 2cos(lnx) c)+K; x Kune constante
