Cours VF Part 2
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¾¾¾¾¾¾¾CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUESMartingaleQuestion naïve• Plaçons-nous en date du jour. Quelle est la meilleure estimation du prix d’un actif financier demain ?• C’est le prix du jour !Martingale• Une martingale est telle que : X est intégrable ∀n ∈NnX est F mesurable ∀n ∈Nn nE (X /F ) = X ∀n ∈Nn +1 n nRetenez : En temps discret une martingale est telle que E(X / F ) = Xn+1 nnPage 1CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUESFiltrationVariables gaussiennes21 ()x −m22 N()m, σ ()x = exp −• Une variable X est gaussienne de loi N(m, σ ) si elle a pour densité 2σ 2 π 2 σFiltration• Les variables auxquelles nous allons nous intéresser sont dépendantes du temps. • Ce qui est connu à la date t est rassemblé dans une tribu• C ’est l’information connue à la date t.• Par définition, une filtration est une famille croissante de sous tribus de F c’est à dire telle que t F ⊂ F ∀t ≤ st sPage 2¾¾¾¾¾¾¾CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUES ProcessusProcessus• Un processus stochastique (fonction aléatoire) est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité.Processus gaussien• Un processus X est gaussien si toute combinaison linéaire finie de (X , t ≥0) est une variable taléatoire gaussienne.Page 3CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUES Martingale (cas continu)Martingale• Une famille de variables aléatoires (X , t ≥0) est une martingale par rapport à la filtration F si Xt t test F mesurable et ...
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Français
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Question naïve
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Martingale
Plaçons-nous en date du jour. Quelle est la meilleure estimation du prix dun actif financier demain ?
Cest le prix du jour !
Martingale
Une martingale est telle que :
Xnest intégrable∀n∈N
XnestF n mesurable∀n∈N
E(Xn+1/Fn)Xn∀n∈N
¾Retenez : En temps discret une martingale est telle que E(Xn+1/ Fn) = Xn
Variables gaussiennes
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Filtration
Une variable X est gaussienne de loi N(m,σ2) si elle a pour densitéN m,σ2(x) = σ
Filtration
Les variables auxquelles nous allons nous intéresser sont dépendantes du temps. Ce qui est connu à la date t est rassemblé dans une tribu
C est linformation connue à la date t.
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1e− (x−m)2 2πxp2σ2
F Par définition, une filtra tion est une famille croissante de sous tribus detcest à dire telle que Ft⊂Fs∀t≤s
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Processus
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Processus
Un processus stochastique (fonction aléatoire) est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité.
Processus gaussien
Un processus X est gaussien si tout e combinaison linéaire finie de (Xt, t≥0) est une variable aléatoire gaussienne.
Martingale
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Martingale (cas continu)
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Une famille de variables aléatoires (Xt, t≥0) est une martingale par rapport à la filtration Ftsi Xt
est Ftmesurable et intégrable t≥0 et siE(Xt/Fs) =Xs∀s≤t
Propriété
Si X est une martingale E(Xt) =E(X0)∀t
¾Retenez : En temps continu une martingale est telle que E(St/ Fs) = Ss
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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Mouvement Brownien
Définition Le processus(Bt,t≥0) est un mouvement brownien si
P(B0=0) =1 ∀s≤t,Bt−Bsest une variable aléatoire de loi gaussienne centrée et de variance t s. ∀n,∀ti, 0≤t1≤K≤tnles variablesBtn−Btn−1,K,Bt1−Bt0,Bt0sont indépendantes
La deuxième propriété est la stationnarité des accroissements du Mouvement Brownien. La troisième propriété traduit que le MB est à accroissements indépendants
Brownien généralisé
On dit que X est un MB généralisé ou de drift µ si Xt=x+t+Btoù(Bt,t≥0)est un mouvement brownien
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Trajectoire de brownien
Les trajectoires dun mouvement brownien sont continues.
20 15 10
5 0 -5 -10 -15 -20
Traje ctoire s d'un brow nie n
Propriété de martingale appliquée au brownien
Temps
Le processus B est une martingale et le processusBt2−t,t≥0est une martingale. ¾Exercice 6
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Définition
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Intégrable de Wiener
On dit queI(f)=∫0∞f(s)dBs=lni→m∞∫0∞fn(s)dBsest lintégrale stochastique ou lintégrable de Wiener de f par rapport à B, par définition.
Généralisation On généralise lintégrable de Wiener et on définit∫0tθsdBs pour des processus stochastiques . On perd alors le caractère gaussien de lintégrable.
t ∫0θs
dBs
=∫0∞
1[0;t]
(s)θs
dBs
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Processus d’Itô
Définition Un processus X est un processus dItô siX0=x dXt=bt
Le coefficient b est le drift ou encore la dérive.
Le coefficientσest le coefficient de diffusion.
Intégrale d’un processus d’Itô Soit X un processus dItô.∫t On a alors0θs
dXs
dt+
= θb ∫0sts
t
dBt
t ds+∫θsσs 0
dBs
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Crochet
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Lemme d’Itô
Par définition, le crochet dun processus dItô X est le crochet de sa partie martingale.
Xtσ2ds On a< >t=∫0s
Lemme d’Itô
Soit f une fonction continue de R dans R, de classe C² à dérivées bornées, ' alorsf(Xt)=f(X0)+0∫tf'(Xs)dXs+210∫tf'(Xs)d<X,X
>s
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Girsanov
Changement de probabilité
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Soient P et Q deux probabilités sur(Ω,FT).On suppose P et Q équivalentes. Alors, il existe L, P(Ft)martingale positive telle queQ LTPsurFT etQ/Ft=LtP/Ft cest à dire queEQ(X)=EP(LtX) pour toute variable XQ intégrableFt mesurable pourt≤T
De plusL0= et 1EP(Lt) =1,∀t≤T
Théorème de Girsanov
Soit(Bt,t≥0)un MB sur un espaceΩ,F,P et SoitLt=exp⎧⎩⎨t0∫θsdBs−21t0∫θs2ds⎫⎬⎭,t≤Toù EP⎡⎢⎣exp210T∫θ2ds<⎥∞⎦⎤ s
Ft)sa filtration canonique.
est un processus prévisible adapté tel que
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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Girsanov
AlorsLT une variable positive despérance 1 sous P et L est une P martingale. est
SidQ=LTdP , cest à direEQ(X)=EP(LTX) toute variable X intégrable pour(Ft)t ~ mesurable,BtsécritBt=Bt+∫θsds oùBtest un Q MB. 0
Définition
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Brownien géométrique
Un brownien géométrique est défini pardSt
La solution de cette équation sécrit
=St
b dt+
dBt)
St=S0exp⎩⎨⎧⎜⎛⎝b− σ22⎟⎠⎞t+σBt
Quand les coefficients sont constants, ce processus est log-normal.
⎭⎬⎫
¾Exercice 7
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Cas général
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Un contrat doption dachat ou de vente dun actif sous-jacent est le contrat par lequel lacheteur de loption obtient du vendeur, moyennant le paiement dune prime, le droit, mais non lobligation dacquérir ou de vendre une quantité de lactif sous-jacent, à un prix convenu à lavance, au cours dune période ou à un moment déterminé.
Il existe deux types d'options :
Call & Put
Les options d'achat : elles donnent à l'acheteur le droit d'acheter un nombre déterminé dactifs sous-jacents à un prix fixé et désigné dans le contrat comme prix d'exercice. Les options de vente : elles donnent à l'acheteur le droit de vendre un nombre déterminé d'actifs sous-jacents à un prix fixé et désigné dans le contrat comme prix d'exercice.
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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Questions
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Questions ?
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Les options
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¾
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Les options
Prime
Call
Option européenne et option américaine
K
Spot
Une option de typeeuropéenconfère à son détenteur la possibilité d'exercer son droit uniquement à la date de léchéance.
Une option de typeaméricainconfère à son détenteur la possibilité d'exercer tout au long de la vie de cette option jusqu'à la date de l'échéance.
Payoff
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Prix d’une option
Nous avons vu que le prix dun actif est lactualisation des flux qui vont survenir durant sa vie.
En ce qui concerne, une option, le seul flux que nous connaissons est son payoff (sa valeur terminale).
SoitStstrike, le payoff a donc pour valeur du sous-jacent à une date t et K la valeur du la expressionMax(0;ST−K)expression que nous notonsST−K)+.
Tout le problème de la valorisation des options est donc dactualiser ce dernier flux,(ST−K)+ .
Dans la suite de notre développement, nous allons nous intéresser à la valorisation dun call, la valeur dun put sera déduite par le biais dune relation dite call-put.
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Payoff
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Prix d’une option
Une option est valorisée à toute date, nous allons donc valoriser notre call à une datet telle que0≤t〈T
Il est complément illusoire de prédire depuis la date quelle sera la valeur de ST, le cous réel du sous-jacent suivant une dynamique continue.
Ceci signifie que le flux ST K est aléatoire et donc que le flux (ST- K)+est aléatoire. En bref, nous ne devons plus actualiser le fluxST−K)+mais le fluxEST−K)+ oùE[...]désigne l espérance mathématique.
Orleprixduninstrumentestvalorisécommelasommedesfluxactualisésdonc: − T Ct=e−r(T−t)E(ST−K)+ouC=E S(K))+ tT (1+r)−t
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
Modélisation discrète d’un actif financier
S2,u,u p S1,u
p S0. S2,u,d larbre est dit recombinant car u et d sont des constantes)etc (Ici 1-p S1,d
S2,d,d
¾Retenez : En temps discret, la dynamique de prix dun instrument financier est modélisé
sous la forme dun arbre.
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
Modélisation bipériodique
St
Nous allons nous placer dans un modèle bi-périodique dans lequel lactif sous-jacent peut prendre deux valeurs entre deux dates.
Une façon simple de représenter une évolution discrète est la suivante :
p
1-p
u
d
St
St
et le call a pour représentation :
Ct
q
1-q
u St−K)+
(d
St−K)+
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
Formons la différence Ct h Stoù h est un réel.
Ct−h St
u St−K)+−h u St
(d St−K)+−h d St D après ce que nous avons exposé dans les parties précédentes, on peut écrire, par actualisation :
Ct−h St= (u St−K1)+−h u St +
et
Ct
−h St
=
d
St
−K+−h d 1+r
St
(1)
⇒h= (u St
(2)
−K)+− (d St St(u−d)
−K)+
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C(Luexptre−ssion)+(1)−d(evientt :− )+t(u St−K)+−(⎢⎣⎢⎡u St−KSt)+(u−−dd)St−K)+⎥⎥⎦⎤u St t−S Kt( −d S)SK=1+r S u d
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
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+
Nous pouvons étendre notre raisonnement à plusieurs périodes :
Nous venons de changer de probabilité de p à q et donc dévaluer le prix du call.
E =
uidn−iS−K (1+r)n
Généralisation
Ct
(1+r−d) q= (u−d)
¾
u St−K)+− (1−q) (d (1+r)
1− =u−1+r q(d) u−
St−K)
⇒Ct=q
⇒Ct
(u St−K)+(1+r−d) − (d St−K)+ = (1+r) (u−d)
+
1+r−u)
Cest à dire :
Soit :
Ct
C E[Ct] = t(1+r)
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
q Ctu−(1−q)Cdt = (1+r)
