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GDR « Matériaux Vitreux » Ecole 2003 René Vacher Notions d’élasticité des solides 1GDR « Matériaux Vitreux » Ecole 2003 Notions d’élasticité des solides 1- Introduction L’objet de ce cours est de résumer les connaissances de base nécessaires pour l’étude de la mécanique dans un milieu continu à trois dimensions. Il s’agit en premier lieu de généraliser les notions bien connues de force F (vectorielle), de déformation (variation de longueur l et d’angle α), les lois de comportement de l’élasticité linéaire ( F = −K l , où K est un coefficient de raideur), la loi physique fondamentale de l’équilibre d’un système de masse m 2d u( F = m γ = m , où u est le déplacement de la masse m). Dans un deuxième temps, on en 2dtdéduira l’équation du mouvement et les propriétés des ondes élastiques. 2- Tenseurs des contraintes et des déformations 2. 1- Notion de tenseur (i)Soit un espace à trois dimensions rapporté aux vecteurs unitaires orthogonaux de base X . Les x sont les coordonnées d’un vecteur dans ce système. i(i)Soit X’ un autre trièdre de base obtenu par rotation du précédent et a la matrice de rotation ijcorrespondante. ( 1) (2) (3) X X X( 1) X’ a a a11 12 13 (2) X’ a a a21 22 23 (3) a a aX’ 31 23 33 Les coordonnées d’un vecteur dans le nouveau système d’axes, x’, s’obtiennent à partir de celles idans l’ancien système d’axes par : x' = a x , (2.1.1) i ij j et de même : x ...
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GDR « Matériaux Vitreux »
Ecole 2003
René Vacher
Notions d’élasticité des solides
2
GDR « Matériaux Vitreux »
Ecole 2003
Notions d’élasticité des solides
1- Introduction
L’objet de ce cours est de résumer les connaissances de base nécessaires pour l’étude de la
mécanique dans un milieu continu à trois dimensions. Il s’agit en premier lieu de généraliser
les notions bien connues de force
F
(vectorielle), de déformation (variation de longueur
l
et
d’angle
α
), les lois de comportement de l’élasticité linéaire (
l
K
−
=
F
, où
K
est un coefficient
de raideur), la loi physique fondamentale de l’équilibre d’un système de masse
m
(
2
2
dt
d
m
m
u
γ
F
=
=
, où
u
est le déplacement de la masse
m
). Dans un deuxième temps, on en
déduira l’équation du mouvement et les propriétés des ondes élastiques.
2- Tenseurs des contraintes et des déformations
2.1- Notion de tenseur
Soit un espace à trois dimensions rapporté aux vecteurs unitaires orthogonaux de base
X
(i)
.
Les
x
i
sont les coordonnées d’un vecteur dans ce système.
Soit
X’
(i)
un autre trièdre de base obtenu par rotation du précédent et
a
ij
la matrice de rotation
correspondante.
X
(1)
X
(2)
X
(3)
X’
(1)
a
11
a
12
a
13
X’
(2)
a
21
a
22
a
23
X’
(3)
a
31
a
23
a
33
Les coordonnées d’un vecteur dans le nouveau
système d’axes,
x’
i
, s’obtiennent à partir de celles
dans l’ancien système d’axes par :
j
ij
i
x
a
x
=
'
,
(2.1.1)
et de même :
j
ji
i
x
a
x
'
=
.
(2.1.2)
Dans les équations ci-dessus, comme partout dans la
suite, la sommation sur les indices répétés deux fois
3
dans un même monôme ou dans un quotient est sous-entendue. Considérons une propriété
physique comme la conductivité électrique
σ
dans un milieu anisotrope. On exprime
généralement, pour les courants faibles, une loi de proportionnalité entre la densité de courant
j
et le champ électrique
E
(loi d’Ohm). Dans un milieu anisotrope, le fait que
j
et
E
soient
proportionnels ne veut pas dire qu’ils sont colinéaires. On écrit la loi linéaire
j
=
σ
E
(2.1.3),
soit en composantes
j
ij
i
E
j
σ
=
(2.1.4) dans le système d’axes initial. Dans le nouveau
système d’axes, on pourra aussi écrire :
j
ij
i
E
j
'
'
'
σ
=
(2.1.5), où
σ
’
est la conductivité dans le
nouveau système d’axes. On se pose la question : comment s’exprime
σ
’
en fonction de
σ
?
Dans le changement d’axes, on a
k
ik
i
j
a
j
=
'
(2.1.6), soit selon (2.1.4)
l
kl
ik
i
E
a
j
σ
=
'
(2.1.7),
et selon (2.1.2) :
j
kl
jl
ik
i
E
a
a
j
'
'
σ
=
(2.1.8). En comparant (2.1.8) et (2.1.5), il vient :
kl
jl
ik
ij
a
a
σ
σ
=
'
.
(2.1.9)
Une quantité qui, dans un changement d’axes, se transforme comme
σ
est appelée tenseur
d’ordre 2. Plus généralement, une quantité qui se transforme selon :
s
klm
ts
pm
jl
ik
t
ijp
a
a
a
a
...
....
...
'
τ
τ
=
(2.1.10)
avec
n
indices est appelée tenseur d’ordre
n
. Une grandeur scalaire est un tenseur d’ordre à, et
un vecteur est un tenseur d’ordre 1.
Le produit contracté de deux tenseurs est la généralisation de la notion de produit scalaire de
deux vecteurs
V
et
W
,
∑
i
i
i
W
V
. Ainsi, par exemple, le produit simplement contracté sur
l’indice k de deux tenseurs
µ
et
ν
d’ordre 3 et 2 respectivement est la quantité
∑
k
lk
ijk
ν
µ
(2.1.11) et le produit doublement contracté des mêmes tenseurs est
∑
jk
jk
ijk
ν
µ
(2.1.12) où les
signes sommes ont été explicités pour la clarté seulement. On démontre que le produit
contracté de deux tenseurs est également un tenseur. Réciproquement, une grandeur dont le
produit contracté avec un tenseur est un tenseur est également un tenseur. Plus généralement,
le produit contracté
p
fois d’un tenseur d’ordre
m
par un tenseur d’ordre
n
est un tenseur
d’ordre
m
+
n
-2
p
. Dans ce cas, la sommation s’effectue sur chacun des
p
indices figurant à
l’identique dans les deux tenseurs.
2.2- Tenseur des contraintes
A une dimension, la contrainte dans un fil élastique
ou dans un ressort s’exprime par un vecteur, appelé
tension. La situation est plus compliquée dans un
système
à
trois
dimensions.
Considérons
par
exemple un bloc de caoutchouc soumis à une force
de traction sur deux extrémités opposées. Si on
réalise une entaille sur ce bloc, perpendiculairement
à
la
direction
de
traction,
on
observe
une
déformation : les deux lèvres de l’entaille s’écartent.
Par contre, si la coupure est faite dans un plan
parallèle à la direction d’application de la force, on
n’observe pratiquement aucune déformation. Le
4
résultat obtenu dépend donc non seulement de la force appliquée, mais aussi de la direction de
la surface sur laquelle s’effectue l’action. Cela signifie qu’un vecteur n’est pas suffisant pour
décrire l’état de la contrainte dans le matériau.
Le solide étudié subit l’action des forces superficielles
appliquées et des forces volumiques auxquelles il faut
ajouter, en dynamique, les forces d’inertie. Il est en
équilibre, ce qui signifie que la résultante des forces
qui lui sont appliquées est nulle. A l'intérieur de ce
solide, tout volume
V
délimité par une surface fermée
S
est également en équilibre, et il en est ainsi en
particulier du tétraèdre élémentaire tracé comme
l’indique la figure au voisinage d’un point
M
quelconque du solide, en lequel on se propose de
donner un sens précis à la notion intuitive d’« état de
tension ». Trois des faces de ce tétraèdre, repérées par
dS
i
, sont parallèles aux plans de coordonnées. On
écrira l’équilibre de ce tétraèdre.
Bilan des forces appliquées
•
La partie du solide située du côté de la normale extérieure unitaire
n
à la face inclinée
dS
exerce sur cette face une force
d
F
que l’on supposera proportionnelle à
dS
selon
dS
d
T
F
=
(2.2.1).
•
De la même façon, l’extérieur du tétraèdre exerce sur chaque face
dS
j
la force
j
j
j
dS
d
T
F
=
. On appellera
Θ
j
la tension exercée sur la face par l’
intérieur
du tétraèdre
(donc par la partie du solide située du côté des
x
j
positifs). D’après le principe de l’action
et de la réaction,
T
j
= -
Θ
j
.
•
Le tétraèdre est encore soumis à des forces volumiques
dV
f
et aux forces d’inertie,
ρ
γ
dV
, où
ρ
est la masse volumique et
γ
l’accélération.
Equilibre et passage à la limite dV =
0
L'équation d'équilibre s'écrit:
(
f
-
ρ
γ
)
dV
+ T
dS
– (
Θ
1
dS
1
+
Θ
2
dS
2
+
Θ
3
dS
3
) =
0
(2.2.2)
soit, après division par
dS
et en introduisant les cosinus directeurs
dS
dS
n
j
j
/
=
de
n
(
f
-
ρ
γ
)
(
dV
/
dS
)
+ T
– (
n
1
Θ
1
+
n
2
Θ
2
+
n
3
Θ
3
) =
0
.
(2.2.3)
Si le volume du tétraèdre tend vers 0,
dV
/
dS
→
0. On obtient :
T
=
n
1
Θ
1
+
n
2
Θ
2
+
n
3
Θ
3
=
n
j
Θ
j
.
(2.2.4)
Ce résultat montre que la tension agissant sur un élément de surface dépend de l'orientation de
cette surface. En passant aux composantes et en notant
ij
σ
la i
ème
composante de
Θ
j
, il vient :
j
ij
i
n
T
σ
=
.
(2.2.5)
5
Les neuf quantités
ij
σ
constituent un tenseur puisque leur produit contracté par un vecteur est
un vecteur. C'est le tenseur des contraintes (ou des tensions).
ij
σ
est la composante suivant
l'axe
i
de la tension agissant sur une surface perpendiculaire à l'axe
j
.
On peut montrer que, en l’absence de densité de couple appliqué,
ij
σ
est symétrique en
i
et
j
:
si, par exemple,
12
σ
est différent de
21
σ
, il existe un couple autour de l’axe 3 et le solide n’est
pas en équilibre.
2.3- Tenseur des déformations
Après avoir généralisé la notion de tension,
nous allons maintenant voir comment celle
de déformation doit être définie dans un
solide
tridimensionnel.
Nous
nous
limiterons au cas des petites déformations.
Dans ce cas, considérons un parallépipède
rectangle de côtés infiniment petits
ds
1
,
ds
2
,
ds
3
. On conçoit intuitivement que, si le
milieu est déformé, la longueur de chacun
des trois côtés peut être modifiée. D’autre
part,
la
déformation
peut
également
concerner les angles entre les trois axes
initialement
perpendiculaires.
Si
la
déformation est petite, ces quantités seront suffisantes, parce que les côtés initialement égaux
et parallèles resteront égaux et parallèles.
De façon plus formelle, considérons un segment
ds
=
'
M
M
r
(une « fibre ») du solide au repos.
Après application d’une action, cette fibre se déplace en
'
'
ds
=
P
P
r
.
u
=
P
M
r
est le
déplacement de la première extrémité de la fibre, et
'
'
'
u
=
P
M
r
celui de la deuxième extrémité.
L’action appliquée a produit une
translation
de la fibre, repérée par
u
ou
u’
au premier ordre,
un
changement de longueur
,
ds
ds
−
'
, et un
changement d’orientation
repéré par l’angle
entre
ds
et
ds
’. On a :
'
'
u
ds
ds
u
+
=
+
,
(2.3.1)
soit pour le changement de
ds
:
du
u
u
ds
ds
=
−
=
−
'
'
.
(2.3.2)
En passant aux composantes, et pour un déplacement
infiniment petit, on peut écrire :
k
k
i
i
dx
x
u
du
∂
∂
=
.
(2.3.3)
k
i
x
u
∂
∂
est le tenseur gradient de déformation. On peut le
séparer en une partie symétrique et une partie antisymétrique :
6
k
i
k
k
i
k
i
k
k
i
i
dx
x
u
x
u
dx
x
u
x
u
du
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
2
1
2
1
.
(2.3.4)
Pour comprendre la signification des termes de
(2.3.4), revenons au parallélépipède de la figure et
considérons
sa
face
située
dans
le
plan
perpendiculaire à l’axe 3, de côtés OM =
ds
1
=
dx
1
et OP =
ds
2
=
dx
2
. Dans le déplacement, OM va en
O’M’, et on note
u
=
'
O
O
r
et
'
'
u
=
M
M
r
. Comme
une translation d’ensemble ne produit aucun effet
élastique, on peut considérer que le déplacement
transforme OM en OM’’ et on a :
du
ds
ds
=
−
1
1
'
.
(2.3.5)
Si le déplacement au point O est
u
, au point M il
est
u
+
1
1
dx
x
∂
∂
u
, et au point P :
u
+
2
2
dx
x
∂
∂
u
.
En projetant
ds
’
1
sur l’axe 1, on voit que, pour de petites déformations, la variation de
longueur de la fibre ds
1
est
1
1
1
1
dx
x
u
du
∂
∂
=
(
2
.
3
.
6
)
et l’allongement relatif de la fibre parallèle à l’axe 1 est
1
1
x
u
∂
∂
. On généralise directement à la
fibre parallèle à l’axe
i
, dont l’allongement est
i
i
x
u
∂
∂
.
D’autre part, l’angle dont a tourné le segment OM est
1
1
1
2
/
dx
dx
x
u
∂
∂
=
1
2
x
u
∂
∂
dans le sens qui
amène l’axe 1 sur l’axe 2, et celui dont a tourné le segment OP dans le sens 2
→
1 est
2
1
x
u
∂
∂
.
Ainsi la variation d’angle entre les côtés
ds
1
et
ds
2
s’écrit :
α
=
1
2
x
u
∂
∂
+
2
1
x
u
∂
∂
.
(2.3.7)
Le tenseur :
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
ε
(
2
.
3
.
8
)
7
est appelé tenseur des déformations. Par définition, il est symétrique en
i
et
j
et ne comporte
donc que six composantes indépendantes. Ses trois composantes diagonales représentent les
allongements relatifs de fibres parallèles aux axes de coordonnées. Les trois composantes
hors-diagonale représentent la demi-variation des angles entre fibres parallèles aux axes de
coordonnées.
Par un raisonnement analogue, on montre que les trois composantes du tenseur :
∂
∂
−
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
ω
(
2
.
3
.
9
)
représentent les rotations d’ensemble d’un volume élémentaire autour des trois axes de
coordonnées.
3- Relations fondamentales
3.1- Tenseur des modules élastiques – Loi de Hooke
Il faut maintenant écrire une loi de comportement du milieu. Nous supposerons, comme dans
l
K
−
=
F
, que les contraintes sont proportionnelles aux déplacements. Nous avons vu au §2.3
que les déplacements produisent des translations et des rotations d’ensemble, et des
déformations. Seules les déformations peuvent produire des forces élastiques dans un solide.
En écrivant cette loi de comportement, il faut prendre en compte le fait que
σ
et
ε
sont des
tenseurs de rang 2. La loi linéaire (ou loi de Hooke) s’écrit :
l
l
k
ijk
ij
ε
σ
Λ
=
.
(3.1.1)
l
ijk
Λ
est un tenseur d’ordre 4. Ses composantes sont appelées constantes élastiques. Un
tenseur d’ordre 4 dans un espace à 3 dimensions a 3
4
= 81 composantes. Puisque
σ
et
ε
sont
symétriques,
l
ijk
Λ
est symétrique en
i
et
j
et en
k
et
l
, ce qui réduit son nombre de
composantes indépendantes à 36. D’autre part, l’énergie élastique emmagasinée dans une
déformation s’écrit :
l
ij
ijk
w
l
l
ε
ε
Λ
=
2
1
(
3
.
1
.
2
)
ce qui montre que
l
ijk
Λ
doit être symétrique par rapport aux couples (
i
,
j
) et(
k
,
l
), et ne
possède donc que 21 composantes indépendantes. C’est le cas pour les cristaux du système
triclinique. On montre que les symétries cristallines réduisent le nombre de constantes
indépendantes, qui est de 3 pour un cristal cubique et de 2 pour un milieu isotrope (un verre
par exemple).
8
Pour des raisons de commodité, on convient de représenter les constantes élastiques par une
grandeur à deux indices. On établit la correspondance :
αβ
c
ijk
↔
Λ
l
, où
α
et
β
sont des
indices courant de 1 à 6 et correspondant chacun à un couple d’indices
ij
ou
kl
, avec la
correspondance :
i,j
ou
k,l :
1,1
2,2
3,3
2,3 ou 3,2
1,3 ou 3,1
1,2 ou 2,1
α
ou
β
:
1
2
3
4
5
6
3.2- Relation d’équilibre
Il nous reste à écrire la loi physique
fondamentale qui remplace pour un solide
tridimensionnel la relation fondamentale de
la dynamique,
F
= m
γ
. On va écrire
l’équation
d’équilibre
pour
un
parallélépipède
rectangle
élémentaire
d’arêtes
dx
1
,
dx
2
et
dx
3
parallèles aux axes
de coordonnées. Dans la direction de l’axe
1, la force volumique s’écrit :
dV
f
1
. Si la
tension au point O est
ij
σ
, la force de
surface sur la face de normale (-1,0,0)
confondue avec le plan de coordonnées est
3
2
11
dx
dx
σ
−
.
Sur
la
deuxième
face
perpendiculaire à l’axe 1, de normale (1,0,0) et de coordonnée
dx
1
, la force est :
3
2
1
1
11
11
dx
dx
dx
x
∂
∂
+
σ
σ
. On calcule de même les forces agissant sur les faces perpendiculaires
à l’axe 2, puis à l’axe 3, et l’équation d’équilibre s’écrit :
dV
f
1
3
2
11
dx
dx
σ
−
+
3
2
1
1
11
11
dx
dx
dx
x
∂
∂
+
σ
σ
3
1
12
dx
dx
σ
−
+
3
1
2
2
12
12
dx
dx
dx
x
∂
∂
+
σ
σ
2
1
13
dx
dx
σ
−
+
2
1
3
3
13
13
dx
dx
dx
x
∂
∂
+
σ
σ
= 0 .
(3.2.1)
soit :
0
1
1
=
∂
∂
+
j
j
x
f
σ
,
(3.2.2)
et en faisant le même calcul dans la direction des autres axes, la relation d’équilibre s’écrit :
0
=
∂
∂
+
j
ij
i
x
f
σ
(
3
.
2
.
3
)
9
4- Equation des ondes – Ondes planes élastiques
A partir des relations établies au paragraphe précédent, on peut aborder le problème de la
propagation des ondes élastiques. Nous allons considérer le cas où les contraintes et les
déformations varient dans le temps. Parmi les forces volumiques
f
i
, seule la force d’inertie
varie avec le temps : les forces gravitationnelles constantes dans le temps sont équilibrées par
des tensions externes également constantes dans le temps, qui n’interviennent pas dans
l’équation d’équilibre dynamique. On a alors :
2
2
)
,
(
dt
t
u
d
f
i
i
i
r
ρ
ργ
−
=
−
=
,
(4.1)
et l’équation d’équilibre (3.2.3) devient :
j
ij
i
x
dt
t
u
d
∂
∂
=
σ
ρ
2
2
)
,
(
r
.
(
4
.
2
)
En remplaçant
ij
σ
par son expression donnée par (3.1.1), il vient :
k
j
ijk
j
k
ijk
k
k
j
ijk
j
kl
ijk
i
x
x
u
x
x
u
x
u
x
u
x
x
dt
u
d
∂
∂
∂
Λ
+
∂
∂
∂
Λ
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Λ
=
∂
∂
Λ
=
l
l
l
l
l
l
l
l
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
ε
ρ
(4.3)
Par suite des symétries de
Λ
, les deux termes de l’égalité de droite dans (4.3) sont égaux.
D’autre part, pour les petits déplacements, on peut identifier pour
u
les rapports
d’accroissements et les dérivées partielles :
2
2
2
2
t
dt
d
∂
∂
≅
u
u
,
(
4
.
4
)
et on obtient l’équation des ondes :
k
j
ijk
i
x
x
u
t
u
∂
∂
∂
Λ
=
∂
∂
l
l
2
2
2
ρ
.
(4.5)
On va chercher pour cette équation des solutions en ondes planes :
)
(
exp
)
,
(
0
r
k
u
r
u
•
−
=
t
i
t
ω
.
(4.6)
L’expression (4.6) représente une vibration dans laquelle les volumes élémentaires se
déplacent dans la direction
u
0
(direction de vibration ou polarisation), d’amplitude
0
u
, se
propageant dans la direction
k
avec la vitesse de phase
v
=
ω
/
k
.
k
est le vecteur d’onde de
module
λ
π
/
2
=
k
. En portant (4.6) dans (4.5), il vient :
10
)
(
exp
(
))
(
exp
(
0
2
0
2
2
r
k
r
k
•
−
∂
∂
∂
Λ
=
•
−
∂
∂
t
i
u
x
x
t
i
u
t
k
j
ijk
i
ω
ω
ρ
l
l
.
(4.7)
Puisque
k
•
r
=
k
i
x
i
, il vient
)
(
exp
))
(
(exp
r
k
r
k
•
−
−
=
•
−
∂
∂
t
i
ik
t
i
x
j
j
ω
ω
, soit, en posant
k
k
k
/
=
)
, où
k
)
est un vecteur unitaire de
k
,
)
(
exp
)
(
exp
0
2
0
2
r
k
k
r
k
•
−
Λ
−
=
•
−
−
t
i
u
k
k
t
i
u
k
j
ijk
i
ω
ω
ρω
l
l
)
)
.
(4.8)
En éliminant le terme oscillant, on a :
0
0
2
2
)
/
(
l
l
)
)
u
k
k
u
k
j
ijk
i
Λ
=
k
ω
ρ
.
(
4
.
9
)
On pose
ζ
=
ρ
v
2
=
2
2
/
k
ρω
et
k
j
ijk
i
k
k
)
)
l
l
Λ
=
Γ
(4.10). On a alors :
0
0
l
l
u
u
i
i
Γ
=
ς
(
4
.
1
0
)
Le tenseur
l
i
Γ
est symétrique. Ses composantes sont réelles. Il a donc trois valeurs propres
réelles et trois vecteurs propres orthogonaux. L’équation (4.10), que l’on peut écrire :
0
)
(
0
=
−
Γ
l
l
l
u
i
i
ς
δ
(
4
.
1
1
)
où
l
i
δ
est une matrice unitaire a des solutions si le déterminant des coefficients est nul. A
chacune des racines
ζ
(1)
,
ζ
(2)
et
ζ
(3)
, de l’équation caractéristique
0
)
(
dét
=
−
Γ
ς
δ
l
l
i
i
est associé
un vecteur propre
u
0(1)
,
u
0(2)
et
u
0(3)
respectivement.
Le résultat ci-dessus s’interprète physiquement
de la façon suivante : à chaque direction de
propagation
k
)
des ondes planes élastiques, le
milieu caractérisé par ses constantes élastiques
l
ijk
Λ
associe
trois
directions
de
vibration
possibles, orthogonales,
u
0(1)
,
u
0(2)
et
u
0(3)
.
Chacune de ces trois ondes, caractérisée par sa
direction de propagation et sa direction de
vibration, se propage avec une vitesse de phase
v
(
i
)
=
ρ
ς
)
(
i
.
René Vacher
Laboratoire des Verres, Université Montpellier 2, case 069
34095 Montpellier Cedex 5
e-mail :
rene.vacher@ldv.univ-montp2.fr
