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```LGL Cours de Mathématiques 2007 ________________________________________________________________________________ D Suites géométriques 1) Définition Définition 4 : Une suite ()u est dite géométrique lorsqu’il existe un nombre réel non nul q tel n n ∈que, pour tout n de , on ait : uu= ⋅q nn+1 Remarque : La suite nulle est une suite géométrique particulière dont la raison est q = 0 . 2) Expression de u (mode récurrent et terme général) n uu= ⋅3nn −1Exemple : Soit la suite u définie par : u = 1 0 Déterminez les 11 premiers termes de la suite. Détectez une formule générale permettant de calculer directement u10Résolution : uq==13 0uuuuuuu u u u u0123456 7 8 9 10 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 ⋅⋅33⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 On constate que le résultat est à chaque fois multiplié par 3, donc on a : 10 deuu=⋅ 3 10 0En général : En généralisant ce procédé, on obtient facilement la formule générale : n n −1 uu=⋅q ou encore uu=⋅q n 0 n 1 Remarque : Pour contrôler si une suite est géométrique, on vérifie si le quotient de deux termes consécutifs est toujours constante. 5 25 125 625Exemple : Est-ce que la suite (u ) donnée par : 2 ; ; ; ; ; ... est une suite n n ∈ 2 8 32 128géométrique ? Réponse : Oui, car pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même facteur 5 5non-nul q = , donc: uu=⋅=avecu2 . nn −114 4________________________________________________________________________________ ...
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LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ D Suitesgéométriques 1)Définition Définition 4suite: Une(u)est dite géométrique lorsqu’il existe un nombre réel non nulqtel n n∈` que, pour tout n de`, on ait :u+u⋅qn1n Remarquesuite nulle est une suite géométrique particulière dont la raison est: Laq=0. 2)Expression deu (mode récurrent et terme général) n u=u⋅3 n n−1 Exemple: Soitla suite u définie par : u=1 0 Déterminezles 11 premiers termes de la suite. Détectezune formule générale permettant de calculer directementu10 Résolution:u=1q=3 0 u uu u uu uu uu u 0 1 23 45 67 89 10 19683 5904927 81 243 729 2187 65611 3 9 ⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 Onconstate que le résultat est à chaque fois multiplié par 3, donc on a : 10 deu=u⋅310 0 En général :En généralisant ce procédé, on obtient facilement la formule générale : n n−1 u=u⋅qou encoreu=u⋅qn0n1 Remarque :Pour contrôler si une suite est géométrique, on vérifie si le quotient de deux termes consécutifs est toujours constante. 5 25125 625 Exemple: Est-ceque la suite(udonnée par :; ;2 ;... est une suite; ; n n∈` 2 832 128 géométrique ? Réponsecar pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même facteur: Oui, 5 5 non-nulq=, donc:u=u⋅avec u=2. n n−1 1 4 4
________________________________________________________________________________ s-Suites3Suites géométriques -1 -Beran - Cour
LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ 3)Somme des n premiers termes d'une suite géométrique Enigme 2: L'histoiredu jeu du roi Un jeune roi était fanatique de jeux et avait un maître qui avait un penchant mathématique. Le roi lui demanda un jour: "Ne pourrais-tu pas m'inventer un jeu qui ne m'ennuye pas?" Le maître inventait ensuite le jeu d'échec et l'appelait, en honneur du jeune souverain, le jeu du roi. Le roi était tellement enthousiaste de ce jeu qu'il dit au maître qu'il n'avait qu'à formuler une demande et qu'il la lui accorderait, quelle qu'en soit la nature. Maître à part entière, il décida de donner une petite leçon au roi et demandait à ce que l'on lui mette un grain de blé sur la première case de l'échiquier, tout en doublant la mise en passant d'une case à la prochaine. Le roi lui demandait: "C'est déjà tout?". Expliquepourquoi la promesse du roi était impossible à tenir. Explication: S=1+2+2⋅2+2⋅2⋅2+... 64termes 64 0 1 2 363i−1 19 S=2+2+2+2+...+2=2≈1,845⋅10grains 64termes∑ i=1 Comme chaque grain de blé pèse 0,05 g, la masse totale du blé vaut environ 14 11 9, 223⋅10kg=9, 223⋅10tonnes, ce qui correspond à environ 1500 ans de production mondiale actuelle. Conclusion: Lepauvre roi a eu droit à une redoutable leçon de mathématiques !
________________________________________________________________________________ Beran - Cours-Suites3Suites géométriques2 - -
LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ Propriété: i)La somme des n premiers termes consécutifs d'une suite géométrique, dont le premier terme est 2n−1 st égale+ +. uet la raisonq(q≠1)à, eS=u1⋅(1+q+q...q) 1n n 1−q ii)Puisque la raison q est différente de 1, la somme peut s'écrire sous la forme:S=u⋅. n1 1q iii)Déduction immédiate de cette propriété: n−1n 1−q k2 3n−1 ∑ ∀q≠1:q=1+q+q+q+...+q=(*)1−q k=0 Démonstrations de i) et ii): Ad i) S=u+u+u+...+u n1 2 3n 2n1 =u⋅1+u⋅q+u⋅q+...+u⋅q1 11 1 2n−1 =u⋅1+q+q+...+q 1( ) Ad ii) S=u+u+u+u+...+u(1) n1 2 3 4n S⋅q=u⋅q+u⋅q+u⋅q+...+u⋅q+u⋅q=u+u+u+...+u+u(2) n1 2 3n−1n2 3 4n n+1 _______________________________________________________________ u u (1)-(2):S(1−q)= −+n1n1 n n 1 11S(−q)=u1⋅ −u1⋅q=u1⋅ −q) n n 1−q Commeq≠1:S=u+u+...+u= c.q.f.d. n1 2n 1−q 4)Démonstrations par récurrence Démontrons la formule que l'on a déduite de la propriété en utilisant ce procédé de démonstration. Principe d'une telle démonstration: •En face d'une formule à démontrer, on la vérifie d'abord sur un exemple (trivial), p.ex. pour k=1•On suppose ensuite que la formule soit vraie pourk=n, ce qui constitue notre hypothèse de récurrence. •On démontre ensuite, à l'aide de l'hypothèse de récurrence, que la formule est encore vraie pourk=n+1. •Il s'ensuit alors que la formule est vraie quel que soitk∈`, en appliquant le principe de 0 l'itération.
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LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ k 1−q 2 3k−1 Application à la formule:∀q≠1: 1+q+q+q+...+q=1−q 2 2 ? + − 1−q1−q(1q)(1q) •Cas de base:k=2 (k−1=1) :1+q=or= =1+q,1−q1−q1−q n − 2 3n−11q •Hypothèse de récurrence:k=n:∀q≠1: 1+q+q+q+...+q=1−q •Démontrons que sous cette hypothèse, on a, pourk=n+1: n+1 2n1−q 3 ∀q≠1: 1+q+q+q+...+q=1−q Démonstration: n 1−q 2 3n−1n n ∀q≠1: 1+q+q+q+...+q+q= +q
1−q par hypothèse de recurrence n n n n n+1n+1 − +− ⋅ 1q(1q)q1−q+q−q1−q = ==1−q1−q1−q n+1 n n1−q 2 3−1 ⇒ ∀q≠1: 1+q+q+q+...+q+q=c.q.f.d. 1−q •Conclusion: Laformule étant vraie pourk=2, elle devient automatiquement vraie pour k=3, puis pourk=4etc. Elle est donc vraie∀k∈`−{1. 0 D'autres démonstrations utilisant ce procédé suivent dans la partie "Exercices".
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LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ Exercices sur les suites géométriques 1)On considère une suite géométrique(u)de premier termeu=5et de raison inconnueq. n0 Déterminezqsachant que:u=98.415. 9 2)On considère une suite géométrique(u)de premier termeu= −7et de raison inconnueq. n0 Déterminezqsachant que:u= −109.375. 9 3)la raison q et le premier termei) Calculezud' une suite géométrique(u, sachant que : 0n 256 u=3 etu=1 5 27 3 ii) Déterminezle plus grand entier n tel queu<10. n 8 4)On considère la suite géométrique(u)telle queu= −1 etu−u= −. n12 3 n∈` 3 i) Montrezqueuetusont inverses l'un de l'autre. 1 3 ii) Déterminezla raison de la suite(u), sachant qu'elle est négative. Précisez les valeurs de n u,uetu. 0 13 n ∑ iii) Déterminez le terme général de cette suite(u)en fonction denet calculezS=u. n ni i=1 5)On considère la suite géométrique croissante(u)dont tous les termes sont négatifs. n n∈` 0 4 19 i) Calculezu,uetusachant que:u⋅u=etu+u+u= −1 231 2 31 3 9 9 ii) Déterminez le terme général de cette suiteuen fonction den. n 6)On considère la suite géométrique(u)de raisonq>0et telle queu=20 etu=4⋅u. n4 80 n∈` Calculez leterme général de cette suite(u)en fonction den. n 20 7)On considère la suite géométrique(u)de raisonq>0telle que8⋅u=27⋅uetu=. n20 3 n∈` 9 i) Calculezla raison et le premier terme de cette suite. ii) Déterminezle terme général de cette suite(u)en fonction den. n 8)Déterminez les 5 premiers termes d'une suite géométrique(u), sachant que n n∈` 35 u,u,u,uetusont positifs et queu⋅u=25 etu+u+u=. 0 1 2 34 04 12 3 2 9)Déterminez les 5 premiers termes d'une suite géométrique(u), sachant que n n∈` 21 u,u,u,uetusont positifs et queu⋅u=9 etu+u+u=. 0 1 2 34 04 12 3 2
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LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ Problèmes concrets de mathématiques financières à traiter sur EXCEL 1)Un locataire paye son loyer par trimestres, les paiements étant toujours effectués au début de chaque trimestre. On appelleu lavaleur du loyer trimestriel au 1er octobre 2004. Le 0 propriétaire propose alors au locataire de choisir entre deux contrats valables à partir du 1er janvier 2005. Contrat 1 Une augmentation régulière de 3% au début de chaque trimestre (la première er augmentation ayant lieu au 1janvier 2005). •Trouvez en fonction deusans effectuer le détail du calcul: etuau loyer 0 1 01/01/05,uloyer au début dun-ième trimestre qui suit le 01/01/05. n •Calculez le loyer annuel 2005, puis la somme des loyers payés pendant les trois années 2005, 2006 et 2007. Application numérique à contrôler sur Excel:u840 €.0 Contrat 2 er ere Une augmentation de 10% au 1janvier de chaque année (la 1augmentation ayant er également lieu au 1janvier 2005). •En considérant que le loyer de 2004 était uniformément deu=840 € par 0 trimestre, calculez le loyer annuel 2005, puis la somme des loyers pendant les années 2005, 2006 et 2007. Comparezces deux contrats. 2)Madame Sonja Mèredefamille veut constituer une dot à son enfant. Elle verse au début de chaque année une somme de 500 € , depuis la naissance de cet enfant. Quel est le montant de me la dot ainsi constituée à la fin de sa 17année, si on suppose que le taux est fixé à 4,5% par an? 3)Une personne place, au début de chaque trimestre, une somme de 1000 € à 5% et à intérêts composés. Quelle somme recevra-t-elle au bout de 20 ans ? 4)Un industriel amortit une machine, achetée 10.750 € avec des annuités en progression er arithmétique de 1terme 250 € et de raison 75 €. Combien d'années faudra-t-il pour amortir la machine? 5)Le 1er janvier 1996, la population d'un village était de 1240 habitants. D'après les évaluations des dernières années, cette population décroît d'environ 3% par an. En admettant que l'évolution se poursuive suivant la même loi, prévoyez: er •janvier 2006, comptera-t-il d'habitants leCombien le village comptait-t-il le 1 1er janvier 2010 ? •Au cours de quelle année la population du village descendra-t-elle en-dessous de 620 habitants ? ________________________________________________________________________________ Suites géométriques6 - -Beran - Cours-Suites3
LGL Coursde Mathématiques2007 ________________________________________________________________________________ 5)Applications concrètes des suites géométriques Exercice d'application: Dans l'antiquité, on considérait qu'un rectangle était harmonieux si sa longueuraétait moyenne géométrique entre sa largeurbet la somme de sa longueur et de sa largeur. a 1.Déterminez la valeur du quotientq=pour un rectangle harmonieux; q était appelé b "nombre d'or". 2.On considère un rectangle harmonieuxRde longueuraet de largeurb. A partir deR, on 1 11 1 construit un rectangleRen supprimant un carré de côtéb. Calculeza−ben fonction de 2 11 1 bet deéduisez-en que le rectangleRainsi obtenu est harmonieux; on note sa longueura1 22 et sa largeurb. 2 3.Par le procédé décrit sous 2. on construit une suite de rectangles harmonieuxR(n∈`); on n0 noteaetbrespectivement la longueur et la largeur du rectangleR. n nn a.Montrez que les suites(a)et(b)sont des suites géométriques dont on n n n∈`0n∈`0 détermine la raison. Déduisez-en l'expression deaen fonction deaet denet celle n1 deben fonction debet den. n1 b.On notel'aire du rectangleR; calculez l'aireen n nn n fonction deetn. SoitS=A. n∑k 1 k=1 Montrez quelimS q⋅An1 n→+∞
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