cours-geometrie-affine3
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66666Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022.8 Convexit´e!4 Dans toute cette partie E d´esigne un IR-espace affine.• D´efinition: Soient a et b deux points de E. On appelle segment [a,b] l’ensemble des points de E qui sontbarycentres de (a,λ),(b,1−λ) avec 0≤λ≤ 1. Un partie F deE est dite convexe si (∀(a,b)∈F ×F,[a,b]⊂F)Ex: D´efinir ]a,b],[a,b[,]a,b[. Montrer que F est convexe si et seulement si (∀(a,b)∈F ×F,]a,b]⊂F).Ex: Montrer que F est convexe si et seulement si pour toute droite D de E, d∩F est un convexe de D.Ex: D´eterminer les convexes de la droite affine IR.• Proposition: Soient I un ensemble (non n´ecessairement fini), et (F ) des parties convexes de E, alorsi i∈ITF est convexe.ii∈I• D´efinition: On appelle enveloppe convexe d’une partie F de E l’intersection des convexes de E contenant F.Ex: Montrer que l’enveloppe convexe de F est le plus petit convexe (au sens de l’inclusion) contentant F.• Proposition: Soit (A ,...,A ) n points de E. Montrer que l’enveloppe convexe de (A ,...,A ) est:1 n 1 nnP +{M ∈E|M barycentre de (A ,λ ),...,(A ,λ ) ou` λ = 0, et ∀i∈{1,...,n},λ ∈ IR }1 1 n n i ii=10 0• Proposition: SoientE etE deux IR-espace affines, et f une application affine deE dansE . L’image directe0 0par f d’un convexe de E est un convexe de E et l’image r´eciproque d’un convexe de E est un convexe de E.Exercice I:On consid`ere un espace affine r´eel E de dimension n. Soit r est un entier strictement sup´erieur a` n+1. OnrTsuppose qu’il existe des ...
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Universit´edeParis7CAPESEcrit:2001-2002 2.8Convexit´e 4!Dans toute cette partieEnugiend´esIR-espace affine. •´eDn:ioitfinSoientaetbdeux points deE. Onappelle segment [a, b] l’ensemble des points deEqui sont barycentres de (a, λ),(b,1−λ) avec 0≤λ≤1. UnpartieFdeEest diteconvexesi (∀(a, b)∈F×F,[a, b]⊂F) Ex:e´Drinfi]a, b],[a, b[,]a, b[. MontrerqueFest convexe si et seulement si (∀(a, b)∈F×F,]a, b]⊂F). Ex:Montrer queFest convexe si et seulement si pour toute droiteDdeE,d∩Fest un convexe deD. Ex:.IRneaffiteoirdaledsexevnocseerminerlD´et •Proposition:SoientInani´reeec(ensosfienmib)lmneenntsue,(tFi)i∈Ides parties convexes deE, alors T Fiest convexe. i∈I •:nD´efinitioOn appelleenveloppe convexed’une partieFdeEl’intersection des convexes deEcontenantF. Ex:Montrer que l’enveloppe convexe deFest le plus petit convexe (au sens de l’inclusion) contentantF. •Proposition:Soit (A1, . . . , An)npoints deEque l’enveloppe convexe de (. MontrerA1, . . . , An) est: n P + {M|∈ EMbarycentre de (A1, λ1), . . . ,(An, λn)`ouλi6= 0,et∀i∈ {1, . . . , n}, λi∈IR} i=1 0 0 •Proposition:SoientEetEdeux IR-espace affines, etfune application affine deEdansE. L’imagedirecte 0 0 parfd’un convexe deEest un convexe deEree´icrpte’lmiganvcoedexueoqund’eEest un convexe deE. Exercice I: Onconsid`ereunespaceaffiner´eelEde dimensionn. Soitrnuneitretsirtcmeetnstesup´erieur`anOn+ 1. r T suppose qu’il existe des convexesC1, . . . , CrdeEtels que (∀j,1≤j≤r, Ci6=∅). i=1,i6=j r T 1) Pour1≤j≤r, soitxj∈Cili’usixetnoMqrerels.tedesr´eλ1, . . . , λrnon tous nuls tels que i=1,i6=j r P −→ λjxj= 0 i=1 r T 2) MontrerqueCi6=∅)leyldeHe`rmeh´eo.(T i=1 Exercice II: (Cf capes 88)O´endgnsiarepCnl’ensemble des configurationsP= (A1, . . . , Anesdeeu´titsnoc)npoints distinctsounonduplanEuclidienorient´e.Danstoutleproble`me,nri´euprsientneeu.3a`lage´uorueisngde´ Lorsque les pointsA1, . . . , Annd,oquitigalesn´senoptsaenP= (A1, . . . , An) est un polygone, dans le cas contraire,onditquelaconfigurationestaplatie.L’ensembledespolygones,´el´ementsdeCntse´tonePn. (. . .). Le choix d’une origineOeCblsde’ealemnsal`nlrpeitefidineetd’permecteedire´mronohtroesabeund’et nombrescomplexesenassociant`atoutpointAocroodnned(see´x, y) son affixez=x+iytoute configuration. A n P= (A1, . . . , An)essiastaintueneln´me´enticosibe´tcejmeviu= (z1, . . . , zn) de Cque l’on appelera encore affixe deP; inversement, on dira quePest l’image deu´dnOgiseapen.rdqeiulaga`,arateop´ed´ecurde’l toute configurationP= (A1, . . . , An) associe la configurationd(P) = (A2, . . . , An, A1), et parmpo’lare´urtede passageauxmilieuxquia`P= (A1, . . . , An) associe (B1, . . . , Bnntme´eelt´ourtoup,u`o)kde [1, n−1],Bkest le milieu du segment [Ak, Ak+1]eto`uBnest le milieu de [An, A1]. n Dans tout la suite on noteDetMsinfilrapCleie´ds:onreestilaldomoesensmesrphiseapud-Ctcroecev 1n D(z1, . . . , zn) = (z2, . . . , zn, z1) ;M= (I+Du`o,)I’lengise´dntdeniioaticplapcsseD.naedCqieuns,itiocond 2 pour toute configurationPd’affixeu, les configurationsd(P) etm(P) admettent pour affixes respectivesD(u) etM(u). I..planesduitudmilielssvacetie´noitoctetapmlibideetbalaceryrantEff Pour toute transformation affine (bijective)tdu plan et pour toute configurationP= (A1, . . . , An) on notetP 0 00 la configuration (A ,. . . , Asointtitsnoc)psedee´uA=t(Aj). 1n j 1) SoitP= (A1, . . . , An) une configuration etGl’isobarycentre deP,d´efiniparaleralitno: −−→−−→ GA1+. . .+GAn= 0 a)De´terminerl’isobarycentredem(P) b) Soittune translation du plan.Comparerm(tP) ettm(Pnire’lsiD.e´etmrtrede)obarycenm(tP). n n 2) Onnotee0edC´dfielee´emtnl’´atelniopaniarrle0= (1, . . . ,1) etH:itnoqeaud’´ndeCrplahype’l z1+. . .+zn= 0. n a) Montrer que C= Ce0⊕Hilpxeteursassoci´es`aceicetlrserpjoceetnsnemeomdettoce´sopmoiti directe. Montrerque les sous espaces vectoriels Ce0etHsont stables par l’endomorphismeM.
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b) SoitPune configuration d’affixeu= (z1, . . . , zn)xe’lffianireetmrD.e´λde l’isobarycentreGdeP. Caracte´riserg´eom´etriquementlesconfigurationsPtelles queu∈Htnefiire´italeralceetonivquesllu=αe0o`u α∈C. ¯ 3) SoitP= (A1, . . . , An) une configuration d’affixeu= (z1, . . . , znnote). OnPla configuration d’affixe (z¯1, . . . , z¯n) et pour tout nombrea, on noteaPla configuration d’affixeau= (az1, . . . , azn). ¯ a)Parquellestransformationsg´eom´etriquessimplesduplan,PetaPsed´edusineetllseedP? ¯ b) Comparerm(P) etm(P), ainsi quem(aP) etam(P). III.saasupedt´vitiecjiBeixumxliegua 1) Casdes triangles a) SoientP= (A1, . . . , An) un triangle etGConstruire le triangleson isobarycentre.m(Pque). Prouver dm(P)tdeiude´desPee´itparumothnehohde centreGsont on indiquera le rapportλ. b)Ende´duirequeminduit une bijection deP3angle.tEnadtno´nuetnirQ= (B1, B2, B3) indiquer une constructionge´ome´triquedel’uniquetriangleP= (A1, A2, A3) tel quem(P) =Q. 2)Casdesquadrilat`eres. a) SoitP= (A1, A2, A3, A4) une configuration,Gson isobarycentre etm(P) = (B1, B2, B3, B4). Prouver −−−→−−−→−−−→ queA1A3= 2B1B2= 2B4B3; ainsi (B1, B2, B3, B4´(veneutleelemtnaplati)dontone)nutsrapa´ellgrlomeam indiqueralecentredesyme´trie.PlacerPetm(Ps)meeˆrunuure.mefig b) Inversement, soientQ= (B1, B2, B3, B4) un parallelogramme ets1, s2, s3, s4splerantceesrietlseys´mra rapporta`chacundessommets.Calculers2os1ets4os3et montrer ques4os3os2os1eidenstl’pude´titnE.nal de´duirequepourtoutpointA1du plan, il existe une configurationP= (A1, A2, A3, A4) et une seule telle que m(P) =Qsnrtenoceuurdnqietistniopsedeuqrietm´eog´ontiucA2, A3, A4. c)xempleo`uEQtaeiotu`seatlpPne l’est pasdonne les points. OnB1, B2, B3, B4pocruelra´enndoores (−3,0),(1,0),(3,0),(−1,0). ConstruirePsachant queA1aruoporconndoes´e(−4,1). d)Eexpmel`ouQdetsmeomssle`uestnonaplati,etoPn2s2`atcnitsidsaptnoseonn´antd.Etuen parall´elogrammenonaplatiQd´,gurationenurfinocreteenimP= (A1, A2, A3, A4) telle quem(P) =Qet que A1=A2il arriver que. PeutA1=A3? e) Prouver quemt,ffetece.Aemeˆmiulrussemmalogrll´eparaedesmelbe’sndnletcoinetujebiiuind onpourrad’abordmontrerqu’´etantdonn´eunparall´elogrammeP= (A1, A2, A3, A4) d’isobarycentreGet −−→−−−→ m(P) = (B1, B2, B3, B4) alorsGA1=B2B1. 3)Bijectivite´dupassageaumilieudanslecasou`nmiapriO.etsn´ecritnsous la formen= 2p+ 1ou` p≥1 a)D´eterminerlenoyaudel’endomorphismeM0deHinduit parM. b)Ende´duirequemest une bijection deCnque. Prouverminduit une bijection dePn. c) SoitQ= (B1, . . . , B2p+1) une configuration d’affixev= (b1, . . . , b2p+1) et d’isobarycentreO,P= (A1, . . . , A2p+1) l’unique configuration telle quem(P) =Qetu= (z1, . . . , z2p+1) l’affixe deP`estmeeriryselcE. line´airetraduisantl’e´quationm(P) =Q. Prouverque
z1=b1−b2+b3−b4+. . .+b2p+1
(1)
Indiquerunalgorithmepermettantdeconstruireg´eome´triquementA1puisP, connaissantQ. d)Expression de l’inverse deM0SoitD0l’endomorphisme deHinduit parD(. CalculerI+D0)(I− 2p−1 2 +D+. .re.)End´eduiMen D0 0.+D0 0fonction deD0. Retrouverainsi la formule (1) 4)Bijectivite´dupassageauxmilieuxdanslecasou`necrittseriap´nO.nsous la formen= 2pou`p≥2; n dans ces conditionsep= (1,−1,1,−1, . . . ,1,−1). OnnoteF:ontiual’hyeppraldnCed´’qez1−z2+z3−z4+ . . .+z2p−1−z2p= 0 a)D´eterminerlenoyaudel’endomorphismeM0induit parMsurHque. MontrerM0stabiliseF∩Het induit un automorphismeM00deF∩H.deeagiml’reuiedd´EnM0. b) SoitQ= (B1, . . . , B2p) une configuration d’affixev= (b1, . . . , b2p)et d’isobarycentreG. Montrerquev appartient`aFsi et seulement si les isobarycentres de (B1, B3. . . , B2p−1et de (B2, B4, . . . , B2pvecncidenta)ocı¨ G. OnnoteE2p´e.i´etroprttepa`ecastnfsiaasitaturnsioscdefigonesneelbm’l c) Prouver que, pour toute configurationQ= (B1, B2, . . . , B2p) deE2pet pour tout pointA1du plan, il existe une configurationP= (A1, A2, . . . , A2p) et une seule telle quem(P) =Qque. Montrerminduit une bijection deE2peuistqeeemmˆuirlsuPylognuopetst`aenanpartneapE2p,m(P) en est encore un. 2p2 d)Expression de l’inverse deM00ormqeuellyenpˆo.MontreX−1 est divisible parX−1. SoitVle quotient.Montrerqu’ilexisteunpolynˆomeAedrge´2dep−3 et une constanteBtels queA(1 +X) +BV= 1. −1 CalculerBpuisA. SoitD00l’endomorphisme deF∩hinduit parD. ProuverqueV(D00deiuer=);0ne´dM 00 en fonction deD00.
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