Cours-FI-I
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Chapitre 1Theorie des probabiliteselementaire1.1 Promenades aleatoiresCe premier chapitre o re un expose synthetique des fondations mathematiques de la theoriedes probabilites. Nous avons choisi volontairement de restreindre notre presentation a l’etudedes phenomenes aleatoires ne prenant qu’un nombre ni de valeurs. Ce choix nous permetnotamment de contourner la theorie abstraite de l’integration de Lebesgue, sur laquelle la theoriegenerale des probabilites est edi ee. Dans ce contexte simpli e, la theorie des probabilites seresume a une analyse fonctionnelle elementaire sur des espaces nis. A titre d’exemple, uneexperience aleatoire ne prenant qu’un nombre ni de valeurs correspond tout simplement a ladonnee d’un ensemble ni d’evenements munis d’une mesure representant les de probabilitesde realisation de chacun.Ce chapitre introductif est consacre a l’etude des divers objets mathematiquescorrespondant aux principales notions probabilistes, telles les notions de variables aleatoires, leconditionnement, et l’independance entre evenements. Ces modeles mathematiques permettentune analyse precise et rigoureuse de nombreux phenomenes aleatoires discrets. De plus, laterminologie probabiliste est en adequation parfaite avec l’experience. Ainsi l’etude de cesmodeles permet d’approfondir conjointement l’analyse mathematique et l’intuition probabilistede phenomenes aleatoires complexes.Ce chapitre ...
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Chapitre 1
Theorie des probabilites elementaire
1.1Promenadesaleatoires Cepremierchapitreo reunexposesynthetiquedesfondationsmathematiquesdelatheorie desprobabilites.Nousavonschoisivolontairementderestreindrenotrepresentational’etude desphenomenesaleatoiresneprenantqu’unnombrenidevaleurs.Cechoixnouspermet notamment de contourner la theorie abstraite de l’integration de Lebesgue, sur laquelle la theorie generale des probabilites est edi ee. Dans ce contexte simpli e, la theorie des probabilites se resume a une analyse fonctionnelle elementaire sur des espaces nis. A titre d’exemple, une experiencealeatoireneprenantqu’unnombrenidevaleurscorrespondtoutsimplementala donneed’unensemblenid’evenementsmunisd’unemesurerepresentantlesdeprobabilites derealisationdechacun. Ce chapitre introductif est consacre a l’etude des divers objets mathematiques correspondantauxprincipalesnotionsprobabilistes,telleslesnotionsdevariablesaleatoires,le conditionnement, et l’independance entre evenements. Ces modeles mathematiques permettent une analyse precise et rigoureuse de nombreux phenomenes aleatoires discrets. De plus, la terminologieprobabilisteestenadequationparfaiteavecl’experience.Ainsil’etudedeces modeles permet d’approfondir conjointement l’analyse mathematique et l’intuition probabiliste de phenomenes aleatoires complexes. Cechapitres’organisedelafaconsuivante: La premiere section concerne l’etude des mesures de probabilites (sur des espaces d’evenements discrets). Nous insisterons sur les phenomenes aleatoires uniformes ou chaque evenementspeutserealiseraveclamˆemeprobabilite.Nouspresenteronslesmodeles combinatoires d’urnes traditionnels. La seconde section porte sur les notions de variables aleatoires (en abregev.a.), et la propriete de mesurabilite par rapport a une algebre d’evenements. Ces modeles ensemblistes permettent de modeliser l’information apportee par la donnee d’une variable aleatoire. La troisieme et derniere section concerne l’une des notions les plus importantes, et la plus fructueusedelatheoriedesprobabilites,lanotiondeconditionnement.Cettenotionintervient 7
8BILITESDESPROBAHTEROEIPATIER.1HCRIATELENEME des que l’on etudie des phenomenes aleatoires sachant une information partielle sur le resultat de l’experience. 1.1.1 Experiences aleatoires Une experience aleatoire discrete se decrit mathematiquement par la donnee d’un espace ni
. Les pointsω∈enesntte
rrepenemtnselsveeaires.Ilelementeppasiofraptnosssleesl epreuves,lesresultats,ouencorelesaleasdel’experience.LessousensemblesA sontde
, appeles les evenements.enemtnOnditquel’eveAse produit lorsqueω∈A.AinsiAse produit autant de fois qu’il y a d’evenements elementaires dansA.
Une mesure de probabilitePsur
, est une applicationP [0 dansde
,1], telle que Pω∈P(ω) = 1. La probabiliteP(A) d’un evenementA, est denie par la formule
P(A) =XP(ω) =X1A(ω)P(ω) ω∈A ω∈
On notera que l’on aP(
) = 1, etP(∅) = 0, avec la conventionP∅bmesneseL.0=t,es
le∅, sont appeles respectivement, l’evenement certain, et l’evenement impossible. Le couple (
,P), est appele un espace de probabilite, ou encore un espace de probabilites. Exemple 1.1.1aglsnemuiotnasepoitalduntoenermAa10nutse,seduxdenttajeen, evenementaleatoireAqui s’exprime dans l’espace produit
= (
1
2) avec
1=
2={1,6} , . . . avec la formule A={(4,6),(6,4),(5,5)} Chaque aleaω= (ω1, ω2)ntseeselre,eprstseratluω1, etω2, des lancers du premier, et du deuxiemedes.Pourdesdesnonpipes,laprobabilitederealisationd’unjetdonne,disons ω= (1,2)est deP[(1,2)] = 1/36eA.niisalrpobabilitepourquAaeresdtseesilpaeenonr P(A) =P[(4,6)] +P[(6,4)] +P[(5,5)] = 3/36 = 1/12 Sil’ons’interesseuniquementauxresultatsdupremierdes,ilestbienplusjudicieuxdeles exprimer dans l’espace
1={1, . . . ,6}. Obtenir le chi r e6cederdestunes,e,olalcnsrud evenementaleatoirequis’exprimedans
1nedusingleton,aplrdanoA1={6}
1. La probabilitederealisationdechaquealeaω1∈
1duprncerauladantt,ssedremeeinopserroc, alorsdonneepar P1(ω1) =def.P[{ω1}
2] =XP[(ω1, ω2)] = 6/36 = 1/6 ω2∈
2
1.1.PROMENADESALEATOIRES9 L’exempleprecedentmontrequ’eˆemesnavumnealirtoementaenirpxdremuepee’st des espaces probabilises plus ou moins complexes.En pratique, l’on pourra mettra aprotcettesouplesse,enchoisissantl’espaceprobabiliseleplussimplerendantcomptede l’experience etudiee. La representation des evenements comme partie d’un ensemble
o re une correspondance precieuse entre les operations logiques sur les realisations des experiences, et les operations d’inclusion/exclusion classiques de la theorie des ensembles : A tout evenementA, on associe son contraireAc=
AiuqealiseriqueseunisemtnAne l’est pas. A tout couple d’evenements A,B
, l’evenementA∩Best celui qui se realise uniquement si les evenementsAetBse realisentsimultanement.Demeˆme,l’evenementA∪Bse realise, lorsque l’evenementAouB se realise. Lorsque l’on aA∩B=∅, on dit que les evenementsAetBsont incompatibles. Nous laissons le soin au lecteur de verier les formule suivantes :
–A∩B=∅=⇒P(A∪B) =P(A) +P(B). –∀A, B
P(A∪B) +P(A∩B) =P(A) +P(B). –∀AωP(Ac) = 1 P(A). – Pour toutA, B, C
P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C) {P(A∩B) +P(B∩C) +P(A∩C)}+P(A∩B∩C)
Exercice 1.1.1Verier les formules A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (A∪B)c=Ac∩Bc A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (A∩B)c=Ac∪Bc Exercice 1.1.2ntmesve’enetceldnoirentMoecoltoutpour)queneecucrrrre(rapA1, . . . , An
, nous avons P(A1∪. . .∪An)P(A1) +. . .+P(An) Exercice 1.1.3SoitA, BpuocnurtreM.nouqeevled’entsenem A4B= [A∩Bc]∪[B∩Ac] = (A B)∪(B A) representel’evenementouexactementAouBerquel’onaspeorudtiV.eir 1A4B= 1A+ 1B 21A∩B Endeduireparlecalcul,puisschematiquement,laformule P(A4B) =P(A) +P(B) 2P(A∩B)
10ERIAITILSEEELNTMEHOEIRDESERPBOBACHAPITRE1.T Probleme1.1.1.1(formuledePoincare)SoitA1, . . . , An
une suite d’evenements. 1. Verier les formules suivantes 1A1∩A2= 1A1∩1A2 1A1∪A2= 1 (1 1A1)(1 1A2) = 1A1+ 1A2 1A1∩A2 2. Montrer que n 1∪np=1Ap= 1 Y1 1Ap p=1 3. En utilisant la formule n n Y(1 +ai) = 1 +X Xai1. . . aip i=1p=1 1i1<...<ipn qui est valable pour toutn0, et pour tout(ai)1in∈Rneri,v’ideerletnti n P(∪in=1Ai) =X X( 1)p 1P(Ai1∩. . .∩Aip) (1.1) p=1 1i1<...<ipn 4. Montrer que pour toutA
,ω∈
, etu∈R, on a (1 +u)1A(ω)= 1 +u1A(ω) avec la convention00= 1, lorsqueu= 1, etω6∈Aiuerddeneit’ldiet.En n (1 +u)Pin=11Ai=Y(1 +u1Ai) i=1 Parunraisonnementanalogueaceluiutilisedanslaquestionprecedente,verierl’identite n X(1 +u)Pni=11iA(ω)P(ω) = 1 +X XupP(Ai1∩. . .∩Aip) ω∈
p=1 1i1<...<ipn 5.RetrouverlaformuledePoincare(1.1),enposantu= 1. 1.1.2 Paysages uniformes Lorsque tous les evenements elementairesωd’un espace probabilise (
,Ptlamˆemeno) probabiliteple calcul des probabilites des evenements composes, A reduit au comptage
se denombred’elementsdansAlP.icerpsuent,semavonnouss P(
) =XP(ω) =|
| p= 1 =⇒p= 1/|
| ω∈ etparconsequent,nousavons
