Cours de trigonométrie : Chapitre 20

I. MESURER LA LONGUEUR D’UN ARC DE CERCLE 67
Chapitre 20
Trigonométrie : Cosinus et Sinus d’un réel
I Mesurer la longueur d’un arc de cercle
On pose en degrés ÷a =mes AOB .
ePendant plus de 2000 ans, jusqu’au 19 siècle, le degré est
l’unité de mesure d’un angle géométrique.
B
Le choix de 360 ° vient du fait que le périmètre d’un cercle vaut
Aenviron 6 fois son rayon, et le système de numération utilisé était
◦a
en base 60! Les mesures d’angles sont alors principalement utilisées r
pour l’astronomie, la géométrie, la marine et permettent de calculer
Ola longueur d’un arc de cercle.
Pour cela on utilise la proportionnalité entre la mesure d’angle et
le périmètre intercepté :
C
Mesure en degré Longueur de l’arc intercepté l =......
Périmètre complet
’Mesure de AOB
Indiquer le coefficient de proportionnalité : ......................
eOn utilise enMathématiques depuis le 19 siècle une autre
lunité!
BCette mesure est aussi proportionnelle à la longueur de l’arc
intercepté, mais le coefficient de proportionnalité est ici le A
b radrayon du cercle.
r ÷En radians, b =mes AOB , donne directement l =r×b. O
Cb
68 CHAPITRE 20. TRIGONOMÉTRIE : COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL
On mesure donc un angle en radian, lorsqu’on utilise l’unité naturelle du cercle,
c’est à dire son rayon!
Définition Unité de mesure : le radian
÷L’angle AOB est mesuré, en radians, par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur le cercle de
centre O et de rayon 1.
Quelques exemples de mesures d’angles en radians Compléter le tableau
Degré 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
Radian 1
Exercices : Livre : 16, 17, 18 page 187
Conversions.
II Cercles trigonométriques gradués en radian
Définition Cercle trigonométrique Sens trigo.
Un cercle C du plan est trigonométrique si
◮ son rayon mesure une unité, r = 1
O◮ on définit un sens de parcours deC, appelé sens trigo-
nométrique, qui est le sens contraire du parcours des
aiguilles d’une montre. C
Un cercle trigonométrique
On se propose maintenant de graduer un cercle trigonométrique avec les mesures en radian des angles
classiques.
πa) Cercle gradué en - Cercle gradué avec des moitiés de l’angle plat
2
On utilise l’angle d’un triangle rectangle.
Pour construire ces graduations, on trace deux droites perpendiculaires passant par le centre du cercle.b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
II. CERCLES TRIGONOMÉTRIQUES GRADUÉS EN RADIAN 69
π
2
Sens trigonométrique
π 02× =π π2 4× = 2π
2
C
π
3×
2
πb) Cercle gradué en . Cercle gradué avec des tiers de l’angle plat
3
On utilise l’angle d’un triangle équilatéral.
Pour construire ces graduations, on trace un diamètre du cercle et les médiatrices des rayons du cercle
obtenus.
π π
2×
3 3
Sens trigo.
π 03× =π π3 6× = 2π
3
C
π π
4× 5×
3 3
πc) Cercle gradué en . Cercle gradué avec des quarts de l’angle plat
4
On utilise les angles d’un triangle rectangle isocèle.
Pour construire ces graduations, on trace un carré circonscrit au cercle, ses diagonales et les médiatrices
des côtés de ce carré.b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
70 CHAPITRE 20. TRIGONOMÉTRIE : COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL
π π
2× =
4 2
Sens trigo.π
4π
3×
4
π 0
4× =π π4 8× = 2π
4
π π
5× 7×
4 4
π π
6× = 3×
4 2
πd) Cercle gradué en . Cercle gradué avec des sixièmes de l’angle plat
6
Pour construire ces graduations, on trace deux droites perpendiculaires passant par le centre du cercle et
les médiatrices des rayons obtenus.
π π
3× =
6 2 π π
2× =π π
6 34× = 2×
6 3 Sens trigo.
π
π 6
5×
6
π 0
6× =π π6 12× = 2π
6
π π
7× 11×
6 6
π π
π π 10× = 5×
8× = 4× 6 3
6 3
π π
9× = 3×
6 2b
b
b
b
III. COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL 71
III Cosinus et Sinus d’un réel
a) Représentation d’un réel sur un cercle trigonométrique
Définition
⊕
C xM
1Un cercleC du plan est trigonométrique,A est un point deC
et un axe gradué représentant les reéls est tangent au cercle
au point A.
◮ On place le réel x sur l’axe, 0
O A
◮ On enroule les réels positifs dans le sens trigonomé-
trique,
-1◮ On enroule les réels négatifs dans le sens contraire du
sens trigonométrique.
On obtient alors pour tout réel x un point M le représentant surC.
Propriété
Chaque réel est représenté par un et un seul point, maischaque point du cercle représente une infinité
de réel!
Exercices : Livre : 8, 10 page 186
Placer un réel sur un cercle trigonométrique.
Définition Cosinus et Sinus d’un réel
⊕1On considère maintenant un cercle trigonométrique
et un repère orthonormé : sin(x) M(x)
• d’unité celle du cercle,
• d’origine le centre du cercle. 0
−1 1O cos(x)Pour tout réel x, on considère M le point du cercle re-
présentant x, on a alors :
cos(x) = x et sin(x) = yM M −1
Propriétéï ò
π
Si x∈ 0; , on retrouve la géométrie plane et la trigonométrie dans un triangle rectangle.
2
Démonstration:
En effet, dans ce cas les nombres sin(x) et cos(x) sont positifs et représentent les longueurs des côtés d’un
triangle rectangle MNP. Avec N le projeté de M sur (Ox) et P sur (Oy). ◊Comme OM = 1, ON = cos(x) et OP = sin(x) et x la mesure en radians de l’angle NOM, on retrouve
côté adjacent ON côté opposé OP◊ ◊cos(NOM) = = = cos(x) et sin(NOM) = = = sin(x).
hypotnuse OM hypotnuse OM72 CHAPITRE 20. TRIGONOMÉTRIE : COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL
Propriété
Pour tout réel x,
22
◮ cos(x)∈ [−1; 1] ◮ sin(x)∈ [−1; 1] ◮ cos (x) +sin (x) = 1
Démonstration:
Évidentes, les exposer oralement.
Tableau des valeurs remarquables de cos(x) et sin(x) (fig.20.1, p.72) :
π π π π π
x, en radian 0 π − 2π
6 4 3 2 2
cos(x)
sin(x)
Tab. 20.1 – Les lignes trigonométriques classiques
Exercices : Livre : 23, 24, 25 page 188
Valeurs remarquables.
Exercices : Livre : 26, 27 page 188
Calculs.
Exercice : Livre : 41 page 191
Lectures sur cercle.