Cours de géométrie différentielle complexe
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Université Joseph Fourier ´ EÉcole d’été de mathématiques 1996:Analyse complexeCours de géométrie différentielle et holomorpheThierryBoucheIntroductionàlagéométriedifférentielledesvariétésanalytiquescomplexesTabledesmatières Variétés,applicationsdifférentiables,fibrésvectoriels . Variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∞.. Applications C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibrétangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Espacetangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Espacecotangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Dualitétangent cotangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Sous variétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Variétésàbord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibrésvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Sections,morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Opérationsalgébriquessurlesfibrésvectoriels. . . . . . . . . . . . . . Formesdifférentielles . Définitiondestenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
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Université Joseph Fourier École d’été de mathématiques 1996 : Analyse complexe Cours de géométrie différentielle et holomorphe
Thierry Bouche
Introduction à la géométrie différentielle des variétés analytiques complexes
´E
Table des matières
Variétés, applications différentiables, fibrés vectoriels .Variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions. . ..ApplicationsC∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibré tangent ..Espace tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espace cotangent. . ..Dualité tangent-cotangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-variétés. . ..Variétés à bord. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition. . ..Sections, morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .Opérations algébriques sur les fibrés vectoriels.
Formes différentielles .Définition des tenseurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Opérations sur les tenseurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Produit tensoriel. . ..Contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Symétrisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .Antisymétrisation. . . . . . . . . . . . . . .Formes diff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . érentielles . ... . . . . . . . . . . . . . . .Produit extérieur. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .Produit intérieur par un champ de vecteurs. .Opérateurd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .Pull-back & push-forward. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .Intégration sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Orientation. . .. . . . . . . . . . . . . . . Intégration. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Lemme de Poincaré.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.. . .Notion de cohomologie.
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Structures complexes
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Opérateur∂. . . . . . . . .. . . .
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Structures presque complexes . . .
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Cohomologie de Dolbeault .
Lemme de Dolbeault-Grothendieck
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applications di. Variétés,fférentiables, fibrés vectoriels
. Variétés, applications différentiables, fibrés vectoriels .. Variété Une variétéC∞est un objet sur lequel on souhaite pouvoir faire les mêmes calculs diffé-rentiels que surRn. Pour calculer une dérivée, il suffit de connaître la fonction dans un voisi-nage du point considéré, donc on va munir une variété d’une structurelocalehéritée de celle deRn. Par exemple, sur la figure, on observe que la courbe de gauche se recoupe enpdonc ce n’est pas une variété : en effet, un voisinage même petit du point doublepn’a pas la topologie d’un intervalle deRune variété : tout point admet un petit. Par contre la courbe de droite est voisinage qu’on peut identifier avec un intervalle deR(remarquer à cette occasion que ceci n’est plus vérifié pour lesgrandsvoisinages : il y a toujours une dialectique entre phénomènes locaux et aspects globaux qui font apparaître la topologie ou la géométrie de la variété).
p
F.:À gauche : ce n’est pas une variété ; à droite, c’est une variété
... Définitions. Étant donné un espace topologiqueMunecarte(ouapplication de coordonnées locales) est la donnée d’un ouvertU⊂M, d’un ouvertV⊂Rnet d’un homéomorphismeϕ:U→ V. L’application réciproque s’appelle une paramétrisation deU. Unatlasest une collection de cartes(Uα,ϕα)qui recouvrentM. La régularité de l’atlas est donnée par la régularité des applications de recollement(ouchangements de cartes). Formellement, on donne la D .. —Un atlas de classeCp des ouverts U par un recouvrement de M estde Mα sur lesquels sont définies des cartesϕαtelles que : . M⊂SUα(les Uαrecouvrent M ) ; α .ϕα:Uα→Vαest un homéomorphisme de Uαsur un ouvert VαdeRn; U. Siαβ=Uα∩Uβ≠∅, alorsϕαβ=(ϕβ◦ϕ−α1)|ϕα(Uαβ)est un difféomorphisme de classe Cpsurϕβ(Uαβ)(ce qui a bien un sens carϕαβest définie d’un ouvert deRndans un autre ouvert deRn).
.Variété
Deux atlas sont équivalents si leur concaténation produit un nouvel atlas de même classe, ce qui revient à demander que les changement de cartes d’une carte d’un atlas vers une carte de l’autre atlas aient la bonne régularité. D .. —Une variété (C∞) de dimension n est la donnée d’un espace topologique M , et d’une classe d’équivalence d’atlas(de classeC∞). Les variétés que je considérerai dans la suite seront en outre localement compactes, et dé-nombrables à l’infini — cette hypothèse technique ayant pour seul but de m’assurer l’existence de partitions de l’unité lorsque j’en aurai besoin. Si on préfère l’analyse complexe à l’analyse réelle, on peut choisirCncomme modèle local, et demander que les changements de carte soient holomorphes. On définit ainsi unevariété analytique complexe. Pour fixer les idées, nous considérerons ici une application deCndansCpcomme holomorphe si lespapplications co-ordonnées sont complexe-analytiques, i.e. si elles se développent localement en séries entières dans lesncoordonnées deCn.
Exemples : ouvert. ToutΩdeRnest une variété de dimensionn, avec comme atlas l’application iden-tité définie sur l’ouvertΩ. .S1=R/(2πZ)le cercle est une variété de dimension, avec comme atlasU0={θ≠ 0[2π]}etUπ={θ≠π[2π]}, les applicationsϕαconsistant à prendre la détermination de l’angle respectivement dans les intervalles]0,2π[et]−π,π[. Le changement de carte est une application affine, doncC∞. tore. LeT2=R2/Z2est une variété de dimension, avec par exemple comme atlas : U−−={(x,y):x≠0[1],y≠0[1]}U−+={(x,y):x≠0[1],y≠0,5[1]} U+−={(x,y):x≠0,5[1],y≠0[1]}U++={(x,y):x≠0,5[1],y≠0,5[1]} les applicationsϕconsistant à prendre le représentant de la classe d’équivalence de (x,y)respectivement dans les intervalles ]0,1[×]0,1[,]0,1[×]0,5,1,5[,]0,5,1,5[×]0,1[,]0,5,1,5[×]0,5,1,5[ donc les changement de cartes sont des translations. En identifiantCàR2, on constate queT2admet une structure complexe car les similitudes deR2(ici des translations) sont évidemment holomorphes. . La sphèreS2={x=(x1,x2,x3)∈R3:||x||2=1}est une variété de dimension. On prend par exemple comme atlas lesouvertsUi±={x∈S2:±xi>0}qui recouvrent S2puisque||x||2=1 entraîne que l’une au moins des coordonnéesxidexsoit non nulle, et on définit les homéomorphismesϕi±par : ϕi±:Ui±→ {(x,y)∈R2:x2+y2<1} x→(. .ˆ.) . ,xi, . . c’est-à-dire que l’on projette sur l’hyperplan défini par l’annulation de lai-ème coordon-née dex. Montrons par exemple que les cartesϕ3+etϕ2−sont compatibles sur U3+∩U2−={x∈R3:||x||=1,x3>0,x2<0}. On voit facilement qu’il existe un atlas. maximaldans lequel on a mis tous les atlas compatibles entre eux. La donnée d’une classe d’équivalence d’atlas est par conséquent équivalente à celle d’un atlas maximal.
. Variétés, applications différentiables, fibrés vectoriels
On a iciϕ3+(x)=(x1,x2)etϕ2−(x)=(x1,x3)donc : (ϕ2−)−1(x,y)=(x,−q1−x2−y2,y) et : ϕ3+◦(ϕ2−)−1(x,y)=(x−q1−x2−y2) , avec rappelons-lex2+y2<1. Doncϕ3+◦(ϕ2−)−1est un difféomorphismeC∞de − ϕ2(S2∩ {x2<0,x3>0})={(x,y):x2+y2<1} sur ϕ3+(S2∩ {x2<0,x3>0})={(x,y):x2+y2<1}. Bien queS2soit de dimension paire, l’atlas ci-dessus ne nous fournit pas de structure complexe. Exercices : autre atlas de. UnSnest donné par les deux projections stéréographiques définies comme suit : laprojection stéréographique de pôle nordπ+est l’application qui envoie tout point pdeSnexcepté le pôle nord sur le point du plan équatorial aligné avec le pôle nord etp. On définit de même la projection stéréographique de pôle sud. C’est un exercice facile de donner les expressions en coordonnées de ces deux applications. Il y a un seul recollement. Il est antiholomorphe : peut-on pourtant donner une structure holomorphe àSn? Peut-on trouver un atlas deSncomportant moins de cartes que celui qui vient d’être construit ? .RPn={droites deRn+1}=Rn+1\ {0}/R∗, est une variété de dimensionn.RPnest recouvert par lesn+1 ouvertsUk={[x0:. . .:xn]:xk≠0}(06k6n), où [x0:. . .:xn]désigne la classe d’équivalence de (c’est-à-dire la droite engendrée par) (x0, . . . ,xn), et les cartes x ϕk:(x0, . . . ,xn)→(x1,∙ ∙ ∙, xk−1, xk+1,∙ ∙ ∙,n). xkxkxkxk Vérifier que les cartes sont compatibles. Remarque :RP1, l’ensemble des droites du plan, s’identifie au cercleS1, il suffit de multiplier les angles par. Par contreRP2ne s’identifie pas àS2, on peut voirRP2comme un hémisphère dont on identifie les points diamétralement opposés sur l’équateur. Vérifier qu’on définirait de même les variétés complexesCPn=Cn+1\ {0}/C∗.
... ApplicationsC∞. On peut étendre la notion d’applicationsC∞ou holomorphes à des variétés en regardant l’expression de l’application dans les coordonnées locales données sur toute carte de l’atlas. En d’autres termes, on considère que les applications de coordonnées locales sont des difféomor-phismes locaux, et que les théorèmes de composition restent valides dans ce contexte. D .. — variétés de dimension m et n, munies d’atlas respec-Soient M et N deux tifsφαetϕβ.
.Variété
Une application f de M dans N est diteC∞si et seulement si les applicationsϕβ◦f◦φα−1 sontC∞lorsqu’elles ont un sens (rappelons que ces applications sont définies d’un ouvert deRm dans un ouvert deRn). Une bijection f entre M et N est un difféomorphismeC∞si f et f−1sont des applications C∞. En particulier, s’il existe un difféomorphisme entre M et m alors N=n. On noteC∞(M ,N)(resp.C∞(M)) l’ensemble des applicationsC∞ valeur dans Nde M à (resp.R). Si M et N sont des variétés complexes, on définira de même les applications holomorphes entre M et N . On noteraHol(M ,N)(resp.Hol(M)) l’ensemble des applications holomorphes de M vers N (resp.C). On vérifie que deux atlas sont compatibles si et seulement si l’application identité est un difféomorphisme deMmuni d’un des deux atlas sur elle-même muni de l’autre.
.... Expressions en coordonnées locales. —Si on se donne une applicationf:M→ R, et un atlas(Uα,ϕα)surM, on a une collection d’applicationsfα=f◦ϕ−1:Vα→Ravec Vα=ϕα(Uα)⊂Rnqui vérifient fα=fβ◦ϕαβsiUαβ≠∅.()
Réciproquement, la donnée d’une collection d’applications(fα)vérifiant les conditions () détermine de façon unique une application deMdansR. Exemples : . S2→RP2 f:(x→[x] estC∞, localement inversible, mais pas globalement inversible (puisque deux points diamétralement opposés de la sphère définissent la même droite). Par exemple, on a : ϕ2◦f◦(ϕ+,x,y))=(q1−x2−y2, y) 1)−1(x,y)=ϕ2(f(q1−x2−y2x x qui est bienC∞surx2+y2<1,x≠0. application méromorphe sur. TouteCdéfinit une application holomorphe deCdans CP1. En effet, siFest méromorphe surC, elle s’écrit comme le quotient de deux appli-cations holomorphes surC:F=gfqui ne s’annulent pas simultanément. L’application ˜CP1 F:C→ x,[f(x):g(x)] ˜ est donc bien définie. On a évidemment (avec les notations de la page)ϕ1◦F=Fpour les points d’image finie parF. Vérifier que réciproquement la donnée d’une application deHol(C,CP1)est équivalente à celle d’une fonction méromorphe.
. Variétés, applications différentiables, fibrés vectoriels
Exercices : identifiant habilement les. Encartes deCP1et celles deS2(projections stéréographiques), construire un difféomorphisme, et une application biholomorphe entre ces deux varié-tés . que l’ensemble des matrices inversibles. MontrerG Ln(R)est une variété. SoitAune ma-tricen×net : fA:G→fA(G)=G−1AG montrer quefAestC∞deG Ln(R)dansMn(R). que tous les tores. MontrerTnsont difféomorphes entre eux, mais qu’il y a une infinité de structures complexes sur chaque tore réel de dimension paire.[Indication : les applications holomorphes sont conformes.]
.. Fibré tangent
... Espace tangent. On va donner une définition abstraite de l’espace tangent à une variété en commençant par interpréter les vecteurs deRncomme des dérivations de fonctions deC∞(Rn). Soitf:Rn→Rune fonctionC∞dans un voisinage dem∈Rnet soitv∈Rnun vecteur, on leur associe la dérivée defselonvenm: v(f)=tli→m0f(m+tvt)−f(m), soit, en coordonnées locales :
n v(f)=Xvi∂∂fxi(m)=dmf(v). i=1 On peut voir l’action devcomme celle d’une fonctionnelle (que l’on note encorev) def(en fait sur les germes de fonctionsC∞au pointmvérifie les propriétés de linéarité et de), qui Leibniz (au pointm) : v(λf+µg)=λv(f)+µv(g)()
v(f g)=f(m)v(g)+g(m)v(f).() On appelledérivationune telle fonctionnelle. Réciproquement, si une dérivationϕvérifie les propriétés () et (), alors montrons queϕs’interprète comme l’action d’un vecteurv. On observe d’abord queϕ(12)=2ϕ(1)doncϕ(1)=0 puis par linéaritéϕest nulle sur les constantes. Soit maintenantf:Rn→Rune fonctionC∞dans un voisinageV=B(m0,ε)de m0∈Rn, posons pourm∈V: g(t)=f(m0+t(m−m0)).
.Fibré tangent
La fonctiongestC∞sur[0,1], donc f(m)=g(1)=g(0)+Z1g0(t)d t 0 n +X(m)d t . =f(m0)i=1−m0)iZ01∂∂fxi(m0+t(m−m0) Donc, par linéarité et en appliquant Leibniz : ϕ(f)=iXn1ϕ((m−m0)i){Z10∂∂fxi(m0+t(m−m0))d t}|m=m0. = Finalement : n∂f(m0)=v(f), ϕ(f)(m0)=i=X1ϕ(mi)∂xi oùva pour coordonnéesϕÛmiÜdans la base canonique. ... —. Notation.On note∂x∂ilei-ème vecteur de la base canonique. Ce qui se justifie par le fait que n∂n v=k=X1vi∂xi⇒v(f)=kX=1vi∂∂fxi(m). Revenons maintenant au cas d’une variété quelconque. On noteCm∞(M)l’ensemble des fonctionsdeMdansRqui sontC∞sur un voisinage dem. D .. —L’espace tangent TmM en un point m de M est l’ensemble des dérivations au point m surC∞(M). m P .. —TmM est un espace vectoriel de dimension n=dim De plus le fi-M . bré tangent T M=∪m∈M{m} ×Tm est muni canoniquement d’une structure de variété deM , dimension2n. Remarque. —L’identification entre vecteurs deRnet dérivations surCm∞0(Rn)qui vient d’être discutée revient à identifier canoniquementTm0RnetRnen tout pointm0. Démonstration. —Les dérivations étant des formes linéaires surCm∞(M),elles héritent des lois d’espace vectoriel correspondantes. Il suffit de voir que la condition de Leibniz () est préservée par combinaison linéaire. Considérons la carte(U ,x)deMavecm∈U, à valeurs dans l’ouvertVdeRn. On peut lui associer l’applicationx∗:TmM→Rnqui appliquevsur : x∗(v):(Cx∞(mf)(Rn)→→xR∗(v)(f)=v(f◦x). On observe quex∗est un isomorphisme entreTmMetTx(m)Rn'Rncarxfournit une identifi-cation entreCm∞(M)etCx∞(m)(Rn)(par définition même des applicationsC∞sur une variété : . Plus rigoureusement, on préférerait parler de l’espace desgermesde fonctionsC∞surMau pointm: ce sont les classes d’équivalence de couples(U , f)oùuest un voisinage ouvert dem, etf∈C∞(U); avec la relation (U , f)∼(V ,g)a∃W⊂U∩V:f|W=g|W.
. Variétés, applications différentiables, fibrés vectoriels
définition.). Donc dimTmM=n. À la cartexest associée canoniquement une base deTmM dont lei-ème vecteur est(x∗)−1(∂∂xi). Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on note encore cette base∂∂xi. Ceci est justifié par le fait que pour les fonctions coordonnéesxila valeur de v(xi)estvisiv=Pkn=1vk∂∂xk. On peut d’ailleurs exprimerx∗en coordonnées par : x∗:v→(v(x1), . . . ,v(xn)). Structure de variété sur T M :À tout couple(m,v)deT M, on associe : T x(m,v)=(x(m),x∗(v)), T xdéfinit une application de coordonnées locales sur les couples(m,v)pourm∈U ,v∈ TmM, à valeurs dansR2n. Ces ouverts recouvrent entièrementT M, l’union disjointe de tous les espaces tangents. Montrons que les changement de cartes sontC∞, ce qui achèvera de démontrer la proposition. On considère maintenant deux cartesxetydéfinies simultané-ment sur un ouvertUdeM. On se donne donc(xm,α)dans l’image deT xet on calcule T y◦T x−1(xm,α)=(ym,β). Notons(m,v)=(T x)−1(xm,α), doncm=x−1(xm)et : T y◦T x−1(xm,α)=((y◦x−1)(xm),v(y1), . . . ,v(yn)). CommeMest une variété, il est clair quey◦x−1estC∞enxm. Il reste à exprimer lesβk=v(yk) en fonction desαi=v(xi). Pourm∈Mvoisin dem0d’imagexmpar la cartex, on a :
yk(m)−yk(m0)=(y◦x−1)k(xm)−(y◦x−1)k(xm0) n =X(xm−xm0)iZ10∂(y◦∂xxi−1)k((1−t)xm+t xm0)d t . i=1 Donc : βk=v(yk)=Xnv(xi)∂(y◦∂xxi−1)k=iXn1∂∂yxkiαi. i=1= Finalementβk=v(yk)est une combinaison linéaire à coefficientsC∞desαi, la matrice de l’application linéaire qui permet de passer du vecteurαau vecteurβest la matrice : DDxy=û∂∂xyki!ik () qui est inversible carx→y(x)est un difféomorphismeC∞. Siva pour coordonnéesαdans la base∂/∂xjetβdans la base∂/∂yj,αetβsont reliés par la formule () donc en faisantα=(0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)(i.e.αi=δi jpouri∈[1,n]), on obtient : ∂ βk=∂∂xyjksoit∂x∂j=k=nX1∂∂xyjk∂.() yk Remarque. —Lorsque la variété est représentée comme sous-variété deRN, on peut éga-lement voir un vecteur tangent àMcomme la dérivée d’une courbe surMen un pointm. L’action sur les fonctions est alors évidente (on dérive la restriction de la fonction à la courbe), mais la structure d’espace vectoriel est un peu moins naturelle.
