Cours de calcul différentiel
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Cours de Calcul Diff´erentiel 2Jean-Claude Sikorav, janvier-mai 2008(version du 4 mai 2008)ContenuA. Sous-vari´et´es1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions.2. Sous-vari´et´es.3. Param´etrages, cartes. Espace tangent.4. Calcul diff´erentiel sur des sous-vari´et´es.´B. Equations diff´erentielles´ ´5. Equations diff´erentielles autonomes de dimension un. Lemme de comparaison, unicit´e. Equa-tions diff´erentielles lin´eaires.6. Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz. Continuit´e et diff´erentiabilit´e en fonction des solutions ini-tiales.7. Compl´etude, orbites p´eriodiques, int´egrales premi`eres, fonctions de Liapounov.´8. Etude des points singuliers en dimension deux.Bibliographie´V.I. Arnold, Equations diff´erentielles ordinairesM. Berger et B. Gostiaux, G´eom´etrie diff´erentielle : vari´et´es, courbes, surfacesM.Chaperon,G´eom´etrie diff´erentielle et singularit´es de syst`emes dynamiques,Ast´erisque138-139, 1986, Soc Math France.M. Demazure, Catastrophes et bifurcations´J. Dieudonn´e, El´ements d’analyse, tomes 1 et 3Do Carmo, Differential geometry of curves and surfacesJ. Lafontaine, Introduction aux vari´et´es diff´erentiablesF. Laudenbach, Calcul diff´erentiel et int´egralJ. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint11. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale.Submersions, immersions.1. Th´eor`eme des fonctions implicites (TFI)Th´eor`eme des fonctions implicites. Soient E ,E ,G trois espaces de Banach, ...
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CoursdeCalculDiff´erentiel2 Jean-Claude Sikorav, janvier-mai 2008 (version du 4 mai 2008) Contenu
A.Sous-vari´ete´s 1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions. 2.Sous-vari´et´es. 3.Parame´trages,cartes.Espacetangent. 4.Calculdiff´erentielsurdessous-vari´et´es. ´ B.Equationsdiffe´rentielles ´ ´ 5.Equationsdiffe´rentiellesautonomesdedimensionun.Lemmedecomparaison,unicite´.Equa-tionsdiffe´rentielleslin´eaires. 6.The´ore`medeCauchy-Lipschitz.Continuite´etdiffe´rentiabilit´eenfonctiondessolutionsini-tiales. 7.Compl´etude,orbitesp´eriodiques,int´egralespremie`res,fonctionsdeLiapounov. ´ 8. Etude des points singuliers en dimension deux.
Bibliographie ´ V.I. Arnold,serianidrosellqEauntie´eresdifftion M. Berger et B. Gostiaux,ruoc,sebte´i,se´rfsuesace´rteiidGe´moelle:varff´erenti M. Chaperon,seyd`tmeuqseanimaritngulesys´esditnere´ffisteelleom´eGdiietr´est,Ari´euesq8-13 139, 1986, Soc Math France. M. Demazure,Catastrophes et bifurcations ´ J.Dieudonn´e,me´eElylesa’antnds, tomes 1 et 3 Do Carmo,Differential geometry of curves and surfaces J. Lafontaine,cetsdiioffn´aeurxvIanrtir´oedtu´sneitbael F. Laudenbach,ralullcff´diCanitege´tnereleit J. Milnor,Topology from the differentiable viewpoint
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1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions.
1.Th´eore`medesfonctionsimplicites(TFI) The´ore`medesfonctionsimplicites.SoientE1, E2, Gtrois espaces de Banach,U⊂E1× E2un ouvert,(x0, y0)un point deUetF:U→Gune application de classeC1. Onsupposequelad´erive´epartielleD2F(x0, y0) =F∂∂y(x0, y0)est un isomorphisme topologique (endimensionfinie,ilsuffitpourcelaquecesoitunisomorphismealg´ebrique). (i) Il existe un voisinage ouvert produitU1×U2⊂Ude(x, y0)et une application continue f:U1→U2telle quef(x0) =y0et (∗){(x, y)∈U1×U2|F(x, y) =F(x, y0)}= gr(f) ={(x, f(x))|x∈U1}. (ii) De plus,fest de classeC1teidaselleestff´erenti Df(x) =−D2F(x, f(x))−1◦D1F(x, f(x)). (iii) SiFest de classeCkaveck∈[2,∞],fest de classeCk. De´monstration.dr’le´oncne´udRai)elppsdonbo’a( TheoremedepointfixedeBanach,versionparam´etr´ee.SoientXun espace topologi-´ ` que,Ye,tlptem´etpaceecomriqusenug:X×Y→Yune application continue. On suppose que(∀x∈X)gx=g(x, .) :Y→Yest une contraction uniforme, soitLip(gx)≤ a <1, avecaenadtepdndne´ix. Alors(∀x∈X)gxa un unique point fixef(x), et l’application f:X→Yest continue. Pourappliquerceth´eor`emeici,on´ecritl’´equation(F(x, y) =F(x0, y0)) sous la forme (y= g(x, y) =gx(yu`))o, g(x, y) :=y−D2F(x0, y0)−1(F(x, y)−F(x, y0)). L’applicationgest de classeC1, on ag(x0, y0) = 0 et D2g(x0, y0) = Id−D2F(x0, y0)−1D2F(x0, y0) = 0. C’estpouravoirlaseconde´egalit´equ’onamultipli´eparD2F(x0, y0)−1nitnocraede´tiu.PD2g, il exister0ets >0 tels queB0(x0, r0)×B0(y0, s) est contenu dansUet||D1g|| ≤r21usB0(x0, r)× B0(y0, s). On peut aussi supposer que||D1F|| sur ´eest bB0(x0, r0), disons||D1F|| ≤M1. orn Pourx∈B0(x0, r0), on a||Dgx||=||D1g|| ≤on,d12(ipcLgx)≤esact´ed-’lrap21ilage´ni croissements finis. Soitr≤r0, et soitx∈B(x0, r). Siy∈B0(y0, s), on a ||gx(y)−y0|| ≤ ||gx(y)−gx(y0)||+||gx(y0)−gx(y0)|| ≤21||y−y0||+||F(x, y0)−F(x, y0)||. < s+M1r. 2
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Sir= min(r0,2sM1), ceci est≤s,`o’dugx(B0(y0, s))⊂B(y0, s). Commetoutebouleferm´eed’unBanachestcompl`ete,leth´eore`medepointfixes’applique`a g:B(x0, r)×B0(y0, s) :gxa un unique point fixef(x), etfest continue deB(x0, r) dansB0(y0, s). De plus,fdansse`tuesrvalaB(y0, sefiirtv´e)ef(x0) =y0cinie.t´urap Si l’on poseU1=B(x0, r) etU2=B(y0, s), (∗`hcaiuqec,noitcutrnscoarepfi´ri´e)estvaevel preuve de (i). (ii) L’applicationx7→D2F(x, f(x))∈L(E2, G) est continue, et sa valeur enx0eitna`paaptr l’ouvert Isom(E2, G)unimreitte`adi.Donc,quU1,D2F(x, f(xtionumnˆ))tces.eislbvnreneit Soientx∈U1etfix´eh∈Etendant vers 0. PuisqueFest de classeC1etfest continue, on a 0 =F(x+h, f(x+h))−F(x, f(x)) =D1F(x, f(x)).h+D2F(x, f(x)).(f(x+h)−f(x)) +o(||h||+||f(x+h)−f(x))||). En appliquantD2F(x, f(x))−1o,dnendu´eit f(x+h)−f(x) +o(||f(x+h)−f(x))||) =−[D2F(x, f(x))−1◦D1F(x, f(x))].h+o(||h||). Le membre de gauche a une norme≥12||f(x+h)−f(x))||pourhassez petit, celui de droite est O(||h||). Doncf(x+h)−f(x)) =O(||h||) et le termeo(||f(x+h)−f(x))||) est uno(||h||,)’d`ou f(x+h)−f(x) =−[D2F(x, f(x))−1◦D1F(x, f(x))].h+o(||h||). Ceci prouve quefitbaelneid´ffrenestexet queDf(x)alavae´uqoC.eruelidniemmD1F,D2Fet Ftinutconeciies,cuqlepmilituncanode´eitonsDf, doncfest de classeC1. (iii)Cecir´esultede(ii)etdesthe´ore`messurladiff´erentiabilite´d’unefonctioncomposee. ´ 2.The´ore`med’inversionlocale De´finition.Soitk∈N∗∪ {∞}. SoientU⊂EetV⊂Gdeux ouverts d’espaces vectoriels norm´es.Uneapplicationf:U→Vest unCkffid-hpromoe´ismesifest bijective, de classeCk ainsi quef−1. Th´eor`d’iversionlocale.SoientEetGdeux espaces de Banach,f:U⊂E→G eme n une application de classeCk,k∈N∗∪ {∞}, etxun point deU. On suppose queDf(x)est un isomorphisme. Alors il existeU1⊂Uouvert contenantxtel quefinduise unCkomprihms-id´ffoeeedU1sur f(U1). De´monstration.dnOit´efinF:G×U→E,F(y, x) =f(x)−y.Par construction, (F(y, x) = 0)e´quivauta`(f(x) =y). L’applicationFest de classeCket l’on aF(f(x), x) = 0. De plusD2F(f(x), x) =Df(x) est un isomorphisme, donc par le TFI il existe un voisinage ouvertV1×V2⊂G×Ude (f(x), x) et une applicationg:V1→V2de classeCktels que {(y, x)∈V1×V2|f(x) =y}={(y, g(y))|y∈V1}. AlorsU1=f−1(V1) est un voisinage ouvert dexetfinduit une bijection deU1surV1, avec f−1=g|U1de classeCk, doncf:U1→V1est unCk-diff´eomorphemsi. 3
` Convention.Apartirdemaintenant,touslesespacesvectorielssontsuppos´esde dimensionfinie.Donc(lecorpsdebase´etantleplussouventR, parfoisC), ils seront e´quip´esd’unetopologiecanoniqueassoci´ee`al’uniqueclassed’e´quivalencedenormes.
3.Rangd’uneapplicationdiffe´rentiable.Submersions,immersions. Rappeld’alg`ebrelin´eaire.SoientEetGespaces vectoriels de dimensions finiesnetmsur un corpsk(commutatif) quelconque. SoitA:E→Gn´lionticalippeaetonno,eriaenur= rg(A) sonrang.Alorseste´quivalentea`A0:kn→kmrpae´deinfi A0(x1,∙ ∙ ∙, xn) = (x1,∙ ∙ ∙, xr,0,∙ ∙ ∙,0). Ceci veut dire qu’il existe des isomorphismesϕ:E→knetψ:G→kmtels que le diagramme suivant commute :A E−−−−→G ϕ≈ ≈yψ y kn−−−−→km A0 Sir=m,A0est la projection deknsurkm× {0}. Sir=n,A0est l’injectionkn→kn× {0} →km. Proposition.On supposek=RouC. La fonctionhhrangii, deL(E, G)dansN⊂R, est semi-continueinfe´rieurement.Autrementdit,l’ensembledesu∈L(E, G)de rang≥kest ouvert (noter que (rg(u)≥k⇔rg(u)> k−1)). D´emonstration.Via des choix de bases, on peut identifier L(E, Gatricesspacedem`)e’la M(m, n). Alors rg(u)≥rsi et seulement si il existe un mineur d’ordrerdeuqui est6= 0. Notant Mi(u),i∈I, les mineurs d’ordrerdeu, on a donc {u|rg(u)≥r}=[{x|Mi(u)6= 0}, i∈I qui est ouvert car lesMi(u) sont continus en les coefficients deud-a`-tse’c,nusenirecontiupour la topologie de M(m, n). Remarque.nioaticare´disnlppa’ltni-deuvecencossussne`tnirpaeruqleperdisuluepnnertO Λr: ΛrE→ΛrG(grareext´erieure.Onidniuetnela`gbeu)≥rsi et seulement si Λru6= 0, condition clairement ouverte. De´finitions.SoientEetGeinfinoistioste,el´esrelenimedsdseseapecvsceotirdf:U⊂ E→Gune application de classeC1. Soitxun point deU. (i) Le rang defenx,ntoe´grx(f), est le rang deDF(x). (ii) L’applicationfest unesubmersionenxsifest de classeC1au voisinage dexetDf(x) est surjective. (iii) C’est uneimmersionenxsifest de classeC1au voisinage dexetDf(x) est injective. (iv) Sifest une submersion en tout point deA⊂Uon dit que c’est une submersion sur, A. SiA=U, on dit simplement quefoi.nemsrsebutsnuneimouruemepDemˆ.noisreme Remarque.On a inclus la condition de classeC1au voisinage pour rendre les notions de submersion et d’immersion utilisables en pratique. 4
