cours d'algèbre linéaire
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´Universite de Nice L2MI` ´2007-08 Algebre lineaireEspaces vectoriels, Applications lin´eaires.Vocabulaire et r´esultats de base.On travaille avec un corps, not´e K. Pour les exemples et les exercices K sera le corps des r´eels Rou celui des complexes C. Les ´el´ements du corps de base sont appel´es scalaires.1. Les espaces vectoriels exemplairesPour une d´efinition de la structure d’espace vectoriel, voir 11.1.2 3 n1.1. K, K , K , et, plus g´en´eralement, K pour n entier naturel. Un ´el´ement (x ,x ) de1 22K s’´ecrit de mani`ere unique(x ,x ) =x (1,0)+x (0,1).1 2 1 22La famille (e ,e ) := ((1,0),(0,1)) est donc une base (d´efinition en 11.2) deK qu’on appelle base1 2canonique.De mani`ere analogue, pour i fix´e entre 1 et n, on note e la liste de r´eels de longueur fix´ee n dontile i-`eme terme est 1 et tous les autres 0. La famille (ici une liste de listes) (e ,e ,...,e ) est une1 2 nn nbase de K qu’on appelle base canonique de K .0Pour l’anecdote : K est l’espace vectoriel `a un seul ´el´ement 0 et sa base est vide.1.2. L’espacevectorielK[X]despolynˆomes`acoefficientsdansK. DirequetoutpolynˆomedP(X) de K[X] a une ´ecriture unique (sa forme d´evelopp´ee) P(X) = a + a X + ... + a X0 1 dnavec a ,...,a scalaires, c’est dire que la liste infinie (1,X,...,X ,...) est une base de K[X].0 dOn l’appelle base canonique ou base des monˆomes de K[X]. On voit donc que K[X] est dedimension infinie sur K (voir 11.2). Le polynˆome P est repr´esent´e par la liste de ses ...
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Universit´edeNice 2007-08
L2MI Alg` ´ ebre lineaire
Espacesvectoriels,Applicationslin´eaires. Vocabulaireetre´sultatsdebase. Ontravailleavecuncorps,not´eK. Pour les exemples et les exercicesKse´lepsorsrdeersecalR ou celui des complexesCess´e.Ldsprocudstneme´l´eelpptaonesasebscalaires. 1.Les espaces vectoriels exemplaires Pourunede´finitiondelastructured’espacevectoriel,voir11.1. 1.1.K, K2, K3lpsue,,te´ar´gneemelK,tnnpournentier naturel.´eUn´lmene(tx1, x2) de K2itdemanis’´ecreuqinuere` (x1, x2) =x1(1,0) +x2(0,1) La famille (e1, e2) := ((1,0),(0,e)ddon1c))estase(unebinit´dfie112.noneK2qu’on appelle base canonique. Demani`ereanalogue,pourit1efi´xeetnern, on noteeialletsi´redsleeolede´eruxfigneundont leisertuaselsuotte1iuice(llmifaLa0.eestterm`eme-lesiet)seniltsde(e1, e2, , en) est une base deKnqu’on appellebase canoniquedeKn. Pour l’anecdote :K0´luasnemtnlee´ceveespaiel`ctor’ltse.ts0easabsteedevi eu 1.2.L’espace vectoriel K[X]des pol ˆ ` ffi ients dans K.eomnˆlypouttoeuqeriD ynomes a coe c P(X) deK[Xtureceirnu´ea]uniqueafor(s´ppo)ee´demleveP(X) =a0+a1X+ +adXd aveca0, , adscalaires, c’est dire que la liste infinie (1, X, , Xn, ) est une base deK[X]. On l’appelle base canonique oubasoˆemmsnoeseddeK[X]. On voit donc queK[X] est de dimension infinie surKemo(ovir11.2).LepolynˆPffieicseocnestrtse´rpeneseept´laarstliesed (a0, a1, , ad). Elle est de longueur finied.isimoˆnohcedundlypordeupe´eceisma,guoneltt 1.3.L’espace vectorielF(A,K)des applications deAdans K pourAensemble quel-conque.Par exempleF([0,1],Remmˆilesnt’ivaerapseevecrotc,leitsnue)ll[e0,1] n’en est pas un. On sait qu’il existe au moins une base deF([0,1],R), mais on ne sait en expliciter aucune. 2.nsliatioplicAprise´nae Ilyaplusieursmanie`resdelesdonner. 2.1. Une applicationf:E−→Fu’eqleelv´onifiertseodnne´,ee´attnK`--ae’tsideriae´c,ernil-compatibleaveclesope´rationsdeEetFv(´eadrloineioitfin1n.1)4. 2.2. On part de deux espaces vectorielsEetF. On dispose d’une baseBdeEet d’une baseC deF. The´ore`me1.erede´ianlinatioplicneapUEdansFseesdessedegamiodale´nn´einarep´etdrmte vecteurs de la baseB(ces images sont donc des vecteurs deF). Uneapplicationlin´eairedef:E−→Feeterstd´dsnalsadeeeoosconrdeen´´nimapeedalr´nno baseCdes images des vecteurs de la baseBaeduceseocroodnn.Letables´etlesamatricedef dans les bases(B,C).
2 2.3..snie´iaernoitrusspOare´ticaslonsalelipp ´ (1)Etantdonne´esdeuxapplicationslin´eairesf:E−→Fetg:E−→F, l’applicationf+g estline´aireet,pourλscalaire, l’applicationλf.reai´eintles (2)Lacompose´ededeuxapplicationslin´iresestlin´eaire(attention,pourcomposerfavecg ea pour formerf◦gil faut que lebutdegso`lage´tialasourcedef). Lorsqu’une application lin´eaireestbijective,sar´eciproqueestline´aire. (3)Ondisposed’applicationsline´airesder´ef´erence,parexemple,pouride 1 an, lai-eme` ` fonctioncoordonn´eesurKn, qu’on appelle aussii:noitce-`emeproj pri:Kn−→K (x1, , xn)−→7xi On se donne une applicationf:E−→Kn. En composantfavec laioinnotcmefe`-coordonne´esurKnon obtient une fonctionfi:E−→K. Pourxdtee´´lmeneEon a donc f(x) = (f1(x), , fn(x’L.)one´):ed´eai(lrer)montusvicne´tsrvnaetfetniltseiseriae´ seulement sif1,f2,...,fnteslin´eaires.snottuo Exercice1..Le corps estR. Pourquoi l’application f:R4−→R (x, y, z, t)→−73x−4y+t est-elleR-lielssuQleri?e´naeesagrpatlonimesfdes vecteurs de la base canonique deR4? Quelle est la matrice defdans les bases canoniques respectives deR4etR? Onconsid`eremaintenantl’application g:R4−→R2 (x, y, z, t)7→−(3x−4y+t,6y−7t) Reprendrelesquestionspr´ec´edentes`aproposdeg./
3.Sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielE 3.1.Ilssonttr`essouventdonne´scomme (1)Noyauund’tionlin´eapplicari114.,)aeri(eov (2)Imageund’ppea´nilriaeacilnoit.4),ir11e(vo (3)Ser´egdnecneseapuo-spar une partieAdeE: c’est l’ensemble de toutes lescombinai-sonslin´eairesfiniesementsde’de´´lA. On le note Vect(A). On peut aussi prouver qu’un sous-ensembleFd’un espace vectorielEest un sous-espace vectoriel enve´rifiantqu’ilestnonvide(parexempleparcequ’ilcontient0)etstable par addition et par multiplication par un scalaire. Exemple 3.1.1.Cetabittestsee´tillsiofrapeqs´onac’uedncuetn´hoe`rmeiepmrotant.Ainsi,dire que l’ensembleC([0,1],R) des fonctions continues sur l’intervalle [0,1] est un sous-espace vectoriel deF([0,1],Raffirmer que la fonction constante 0 est continue, que la somme de deux), c’est fonctions continues est continue et que le produit par un scalaire d’une fonction continue est continue.
3 Onconsid`erealorsl’espacevectorielC([0,1],R) des fonctions continues sur l’intervalle [0,1`]a valeurs dansRUn.esr´atlunoftemadlatntqesontiraegt´in’ledeiroe´htaledelgearni´teu’l C([0,1],R)−→R 1 fZ0 7−→f(t)dt
estuneapplicationlin´eaire. Exemple 3.1.2.tedesth´Ilr´esultsixe’lrelteecneesemr`eosusebadeiravdae´itnopri´sprosdelet´e que l’ensembleC1([0,1],R)fsedtcnosnoinietvrlael0[d´erivablessurl’,ueestun1`]dae´ir´veeoctnni sous-espace vectoriel deF([0,1],R) et que l’application : C1([0,1],R)−→C([0,1],R) f→−7f0
estuneapplicationline´aire. Onconsid`ereunespacevectorielEsurK. Un sous-espace vectoriel deEest en particulier un espace vectoriel surK. SiE11.2), alors tous ses sous-espaces vectorielsest de dimension finie (voir sontdedimensionfinieetonalere´sultatimportantsuivant: Th´eore`me2.nOdie`ocsnuxsoredespacus-elsieveesorctFetGd’un espace vectorielEsurK. SiF⊂G, alorsdimF≤dimGaevseetsi´eitalegc´istnemeluF=G. Autrement dit, lorsqueFest inclus dansG, etFid´ffdtereneG, la dimension deFest strictement plus petite que la dimension deG. 2 Exemple 3.1.3.dseirleectocesvespaous-Onpeutd´etemexe,plustossleimrearenisnirap,R. Leur dimension est au plus 2, donc 2, 1 ou 0. – dimension 2 : il n’y a queR2. – dimension 1 : SiF⊂R2uali,1noa`esabeneml´´eunsLet.enmideisnepse-decaunstussoe sous-espaces de dimension 1 deR2ontlsrdseetiocevsirotleelchs,unacngeenerde´peranuevtceur non nul. –dimension0:lesous-espacere´duita`(0,0). Onconsid`ereunespacevectorielEsur un corpsKet un sous-espace vectorielFdeE. On dira eF0est un´lmeneatriedeFdansEsi on peut trouver une baseBdeF, une baseB0de qusupp F0telles queB ∪ B0est une base deE. Leth´eor`emedelabaseincomple`te(voir11.3)montrequetoutsous-espaceFadmet au moins un suppl´ementairedansE. The´ore`me3.levauieq:esntvinaseusno´tetssesprL´et´opri (1)FetF0nosuosxuedterdsnascevsirotse-secapme´eaintsselplupE. (2)aL´reunebasedeuniond’Fet d’une base deF0est une base deE. (3)Tout vecteur deEdecrits’´eunreueiqni`emacommesommed’un vecteur deFet d’un vecteur deF0. (4)Tout vecteur deEec’´smeomtcrisommed’un vecteur deFet d’un vecteur deF0et l’intersectionF∩F0aite`e´udsert{0}. Lorsquel’unedecespropri´ete´sestvraie,on´ecritE=F⊕F0et on dit queEest la somme directe ` deFetF0. A cause de (2), siEest de dimension finie etE=F⊕F0, on adimE= dimF+dimF0.
