cours : contraintes sur la mecanique des milieux continus
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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCONTRAINTESCadre généralTenseur des contraintesHypothèses de baseThéorème de l’action et de la réactionSignification physique du vecteur contrainteDifférents tenseurs des contraintesSignification physique des contraintesContraintes normale et tangentielleConditions aux limites en pressionContraintes dans un repère orthonorméCONTRAINTESÉquations d’équilibreForces extérieures agissant sur un volumeÉquilibre des forcesÉquilibre des momentsUtilisation du tenseur des contraintesContraintes principalesContrainte moyenne et déviateurContraintes équivalentesBilanRésuméMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSComment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?CONTRAINTESCadre géénnééralTenseur des contraintesHypothèses de baseThéorème de l’action et de la réactionSignification physique du vecteur contrainteDifférents tenseurs des contraintesSignification physique des contraintesContraintes normale et tangentielleConditions aux limites en pressionContraintes dans un repère orthonorméÉquations d’équilibreForces extérieures agissant sur un volumeÉquilibre des forcesÉquilibre des momentsUtilisation du tenseur des contraintesContraintes principalesContrainte moyenne et déviateurContraintes équivalentesBilanRésuméIl faut utiliser le tenseur des contraintesMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCONTRAINTESCadre généralTenseur des contraintesHypothèsseess de baseThéorème de l’action et de la réactionWtSignification ...
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CONTRAINTES
Cadre général
Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes
Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthono
mré
Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments
Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
CONTRAINTES
Cadre général
Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments
Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?
Il faut utiliser le tenseur des contraintes
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothès e s d e b a s e Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Efforts de cohésion dans Ω A (dus à la déformation) Densité volumique de forces F
Ω A F
t
Ω
Efforts de Ω sur Ω A (provoquant la déformation) Densité surfacique de forces t
x
aér oitc
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base T héorè me de laction et Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
dv = t ds Ω F A ∂Ω A F ∧ x dv = t ∧ x ds Ω A ∂Ω A
n
Ω
P Ω A F
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
VecteneTetniartnoc ruaitron ces durserud neeseLt tnseesesaintontres c = t)σ(vn.σt)C(di= F tmétrt syique=σσ t
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Si gn i f i c ation physique d u v e c teur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
t lim df = ds -> 0 ds
n
t
Le vecteur contrainte n est pas forcément porté par la normale à cette surface.
df
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte D i f fére n ts tenseurs des c ontraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
vecteur
df = σ .ds
Cauchy (eulérien, symétrique)
Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)
Piola-Lagrange
contraintes
surface
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes C on tra i n tes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Contrainte normale
σ n n
ds
σ n = t . n = σ ij n i n j
t
Contrainte tangentielle
σ t b
σ t = t . b = σ ij b i n j ou σ t b t -σ n n =
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle C ond i t io n s au x l im it e s e n p r e s sion Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
∂ Ω
Ω
Vecteur contrainte T connu sur la partie ∂ Ω T de ∂ Ω
∂ Ω T
t = T
n
T
σ .n = T
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression C on tra i n tes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Dans un repère orthonormé (Oxyz) :
n00 σ zz t 1 σ x σ yz z σ zx σ zy σ xx σ yx σ xy
σ xx σ xy σ xz σ = σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz
σ yy
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
actions sur Ω A par le milieu extérieur
Ω A
- vecteur contrainte t - forces de volume f v
Ω
CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume É qu ili br e de s f o r c e s Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
γ ∂ Ω Ω Ω ρ
Ω σ Ω ρ γ
σ ρ γ
