cours-Chap6-Repérage dans le plan-Vecteurs
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Seconde Chap 6 : Repérage dans le plan. Vecteurs. 1. Repérage des points d’un plan. Un repère du plan est un triplet (O, I, J) de points non alignés. On dit que : J• O est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • la droite graduée de repère (O, I) est O_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I_ _ • la droite graduée de repère (O, J) est _ _ fi fi fi fiRemarque : Si on pose i=OI et j=OJ, le fi firepère se note aussi (O ;i ,j). Cas particuliers : • Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère (O, I, J) est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et OI = OJ = 1, on dit que le repère est _ _ _ _ _ _ _ théorème Dans un repère (O, I, J) du plan, tout point M est repéré par un unique couple (x ; y) de nombres réels. Ce sont les coordonnées de M dans le repère (O, I, J). x est l’abscisse de M, y est son ordonnée. propriétés • coordonnées du milieu d’un segment : Si A(x ; y ) et B(x ; y ) dans un repère quelconque, alors le milieu P de A A B B[AB] a pour coordonnées x + x y + yA B A B x = et y = P p2 2x + xA BRéciproquement, si les coordonnées de P vérifient x = et y = P p2y + yA B alors P est le milieu de [AB]. 2• distance entre deux points : Dans un repère orthonormé, si A(x ; y ) et B(x ; y ) alors AB = A A B B(x – x )² +(y – y )² B A B A Exercice ?fi ?fiDans un repère (O; i, j), on donne A(1 ; 3) et B(–1 ; –1) et C(3 ; 2). ...
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Seconde Chap 6 : Repérage dans le plan. Vecteurs. 1.Repérage des points d’un plan. Unrepère du plan est un triplet (O, I, J) de points non alignés. On dit que : ·J O est_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ ·la droite graduée de repère (O, I) est O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I ·la droite graduée de repère (O, J) est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ® ¾®® ¾® Remarque: Si on posei=OIetj=OJ, le ® ® repère se note aussi (O ;i,j). Cas particuliers: ·Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère (O, I, J) est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ·Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et OI = OJ = 1, on dit que le repère est _ _ _ _ _ _ _ théorème Dans un repère (O, I, J) du plan, tout point M est repéré par un unique couple (x; y) de nombres réels. Ce sont lescoordonnéesde M dans le repère (O, I, J). xest l’abscissede M, y est sonordonnée. propriétés ·coordonnées du milieu d’un segment :Si A(xA;yA) et B(xB;yB) dans un repère quelconque, alors le milieu P de [AB] a pour coordonnées xA+xByA+yB xP= etyp= 2 2 xA+xB Réciproquement, si les coordonnées de P vérifientxP= etyp= 2 yA+yB alors P est le milieu de [AB].2 ·distance entre deux points : Dansun repèreorthonormé, si A(xA;yA) et B(xB;yB) alors AB = (xB–xA)² +(yB–yA)² Exercice¾® ¾® Dans un repère (O; i, j), on donne A(1 ; 3) et B(–1 ; –1) et C(3 ; 2). 1°) Calculer les coordonnées de I milieu de [BC]. 2°) Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
BERTAUD MH – Seconde 3 – 28 ex – 17/12/2002
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2.Vecteurs. ¾® Etant donnés deux points distincts A et B, on peut définir le vecteurABet le ¾® vecteurBA¾® LevecteurABest caractérisé par : · · · ¾® A est ...................... du vecteurABet B son .............................. ¾® Remarque : la longueur du vecteurABest aussi appelée lanormedu vecteur. On la ¾® || || noteAB . Cas particulier : Si A et B sont confondus, alors le vecteur a pour norme 0; on dit alors que c'est levecteur nul. ¾® On le note 0. ¾® ¾®¾® ¾® On dit queBAest levecteur opposédeAB; on noteBA= –AB2.1.Comment reconnaître des vecteurs égaux? définition¾ ¾ ®¾ ¾ ® Ondit que les vecteurs non nulsAB et CD sontégaux s'ils ont : · · · Remarque : Tou¾ ¾s®les vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même ¾® longueur¾®être notés plus simplement par u. Pour représenter unque AB peuvent vecteur u non nul, on le dessine à partir de deux points du plan auxquels on ne donne pas nécessairement de nom. Exercice : Parmi les vecteurs représentés cicontre : ¾® ® ® 1°) Donner un vecteur égal à u ®k ® .t® u k 2°) Trouver un vecteur nul.t® su 3°) Trouver u¾n®vecteur non nul, s différent¾®de umais de même ® sens que u ® ® v ® ® ® v j 4°) Trouver un vecteur non nul, de même direction mais pas dej ¾® ® même sens que u. ® 5°) Trouve¾r®un vecteur de mêmei norme que umais pas de mêmei direction. page 2
Figures géométriques où on a une égalité de vecteurs. Le parallélogramme ¾ ¾ ®¾ ¾ ® Dire queAB = DC signifieque ABCD est un parallélogramme Figure : Sur la figure¾¾ ®ci¾ ¾d®essous, construire : A– D tel que¾A¾D®=¾C¾B®– E tel que¾E¾C®=¾A¾B®– F tel queBF = ACC BLe milieu d'un segment ¾ ¾ ®¾ ¾ ® Dire queAI = IB signifieque I est le milieu de [AB] Figure : Avec les données de l'exercice précédent, démontrer que A est le milieu de [ED]. 2.2.Comment additionner des vecteurs? définition B ¾® Etantdonnés trois points A, B et C, la somme des vecteursABet ¾® ¾® ABCest le vecteurAC. ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ® Onécrit AB + BC = AC.C Cetteégalité est appelée larelation de CHASLES. Construction du vecteur somme ·Cas de deux vecteurs quelconques:CB¾® ¾® PourconstruireAB+CD, on peut utiliser la relation de Chasles¾ ¾ ®¾ ¾ ® en plaçant le¾¾ ®point¾ ¾®E te¾l¾®que¾B¾E®=¾C¾D®. Ona alors :AB + CD = AB + BE = AE ADpage 3
·Cas de deux vecteurs de même origine : règledu¾¾ ®par¾a¾l®lélogrammeB Pourconstruire AB + AD, on se ramène à la relation de Chasles ¾ ¾ ®¾ ¾ ® en construisant C tel queBC = AD. ABCDest alors un parallélogramme de diagonale [AC] ASoustraction de deux vecteurs D Soustraireun vecteur, c'est ajouter son opposé. ¾ ¾ ®¾ ¾ ® Exemples :AB – AC = ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ® AB+ AC – DB + CB = 4.Comment multiplier un vecteur par un nombre? définition¾® ¾® Etantdonnés un vecteur uet un réel k, on appelle produit du vecteur upar le réel ¾® ¾® k, le vecteur w, noté k uayant les caractéristiques suivantes : ¾® · siu n'estpas le vecteur nul : ¾® ¾® –si k = 0alors w= 0 ¾® ¾® –si k > 0alors uet w ont la même direction, le même sens et la ¾® ¾® longueur de west le produit par k de la longueur de u. ¾® ¾® –si k < 0alors uet w ont la même direction, sont de sens contraire et ¾® ¾® la longueur de west le produit par – k de la longueur de u. ¾® ¾® ¾® · siu estle vecteur nul alors w= 0. Exemples : Construire les points C, D, EFet G tels que : ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ® 1 34 AC =– 2AB ;AD =3 AB; AE= –AB ; CF= AB ; DG= –CB 2 23 A B ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾®¾ ¾ ®¾ ¾ ® ´ ´´ Cas particuliers : 1AB = AB; (–1) AB= –AB =BA ;0 AB= 0 Règles de calculs¾® ¾® Que¾l®s qu¾®e soien¾t®les v¾®et v et les réels a et b, on a :ecteurs u a (u+ v¾®) = a¾®au +¾®v (a +¾b®) u= a u¾®+ b u a (b¾u®) =¾®(ab) u¾® ¾® Si k u= 0 alors k = 0 ou u= 0. Exemp¾®les :¾® ¾®¾® 3u +5 (u– v) +2 v= page 4
¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ® Del'égalité 5AB =3 CD, on peut déduire queAB =.......... ou encoreCD = .......... ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ® Del'égalité 2AB +8 CD =3 AB ,on peut déduire que : 8CD = ..................... = ........... 3.Coordonnées d’un vecteur. définit¾®ion¾® Soit (O; i, j) un repère du plan. ® Les coordonnées d’un vecteurusont les coordonnées du point M tel quey M ¾® ®u OM=u. théorème ·Si A et B sont les points dej coordonnées A(xA;yA) et B(xb;yB), alors leOoi x ¾® vecteurABa pour coordonnées : (xB–xA;yB–yA) Exercice¾® ¾® ¾® ¾® ¾® ¾® ¾® ¾ ® 1°) Lire les coordonnées des vecteurs u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8donnés sur la figure ci–dessous. uur 7ur u 3uur 1ur uj1iur uur4u 2 u ur6 uur 5® ® ®® 2°) Lireles coordonnées des vecteursu,v,wet x. ® ®®u ®v j w ® i ® x page 5
·® ® uetvsont les vecteurs de coordonnées : ® ® u(x; y) etv(x’ ; y’). ® ® Dire queu=vsignifie quex=x’ et y = y’. (Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées) ® ® u+va pour coordonnées (x+x’ ; y + y’). ® kua pour coordonnées (kx; ky). ¾® ¾® Exemple(–3 ; 5) et v(2 ; 4): On donne u ¾® ¾®¾® ¾®¾® ¾® Calculerles coordonnées de u+ v ; –3 u; 5 v; –2 u+ 3 v 4.Vecteurs colinéaires. définition ® ® Direque deux vecteursuetvnon nuls sont colinéaires signifie ® ® qu’il existe un réel k non nul, tel quev=ku. Remarques : ·Deux vecteurs colinéaires ont même _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ®® ·0= 0u: par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Vecteurscolinéaires et points alignés Dire que A, B et C sont trois points alignés équivaut à dire que_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Vecteurscolinéaires et droites parallèles Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire que _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Expressionanalytique de la colinéarité ¾® ¾® Soit deux vec¾t®eurs¾®u (x; y) et v(x' ; y') Les vecteurs uet v sont colinéaires si et seulement si _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) page 6
3 ¾® ¾®¾® ¾® Exercice 1: On donne u( ;2) et vet v sont–ils3). Les vecteurs u( 2 ; 2 colinéaires ? 5 Exercice 2). Les points A, B et C sont–ils: On donne A(2 ; 4), B(6 ; –2) et C(3 ; 2 alignés ? 7 63 Exercice 3Les droites (AB) et; ).; 3), C(–3 ; 2) et D(: On donne A(–1 ; 4), B( 2 52 (CD) sont–elles parallèles ?
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