cours-Chap5-Notions de fonctions
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Seconde Chap 5 : Notion de fonction 1. Définition D est une partie de IR. Définir une fonction sur D, c'est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul appelé image de x. D est appelé l'ensemble de définition de la fonction. Notations : • On utilise généralement les lettres f , g, h ... pour désigner une fonction. • L'image d'un réel x par f est notée f(x) (on lit : "f de x"). • On écrira indifféremment f : D ¾¾fi IR ou plus simplement f : ‰¾¾fix f (x) ‰¾¾fi x f (x) pour dire que : f est la fonction de D dans Y qui à tout x de D associe le réel f (x). Exemple 1 : Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6 heures à 22 heures pendant la même journée. t em pérat ur e (en °C ) 6 3 t em ps (en h)J OI 6 8 12 20 22 A chaque instant x de l'intervalle [6 ; 22], on associe un unique résultat y : la température à cet instant. S'il fait 11° C à 8 heures, alors f (8) = 11 ; on dit que 11 est l'image de 8 par f . Compléter : f(10) = _ _ _ _ f(17) = _ _ _ _ _ _ f(22) = _ _ _ _ _ _ Quel est l'ensemble de définition de f ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Vocabulaire : x est appelé la variable. Dans l'exemple précédent la variable est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Si y est l'image de x par f , alors _ _ _ _ _ _ _ _ _ On dit que x est un antécédent de y par f . Dans l'exemple cité plus ...
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Seconde Chap 5 : Notion de fonction 1.Définition Dest une partie de IR. Définir unefonctionsur D, c'est associer à chaque réelxde D, un réel et un seul appeléimagedex. D est appelél'ensemble de définitionde la fonction. Notations :·On utilise généralement les lettresf ,g, h ... pour désigner une fonction. ·L'image d'un réelxparfest notéef(x) (on lit : "fdex"). ·¾ ¾ ® On écrira indifféremmentfplus simplement: DIR ouf: ½¾ ¾ ® xf(x) ¾ ¾ ® xf½ (x) pourdire que :fest la fonction de D dansYqui à toutxde D associe le réelf(x). Exemple 1: Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6 heures à 22 heures pendant la même journée. t empérat ur e(en °C) 6 3 t emps(en h) J O I12 20226 8 A chaque instantxl'intervalle [6 ; 22], on associe un unique résultat y : la de température à cet instant. S'il fait 11° C à 8 heures, alorsf(8) = 11 ; on dit que 11 est l'image de 8 parf. Compléter :f(10) =_ _ _ _f(17) =_ _ _ _ _ _f(22) = _ _ _ _ _ _ Quel est l'ensemble de définition def ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Vocabulaire : xest appelé lavariable. Dans l'exemple précédent la variable est_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Siy est l'image dexparf, alors_ _ _ _ _ _ _ _ _ Ondit quexest unantécédentde y parf. Dans l'exemple cité plus haut, à quelle(s) heure(s) la température est–elle de 3°C ? _ _ _ _ _de –2°C ? _ _ _ BERTAUD MH – Seconde 5 – 25 ex – 27/11/2001page 1
On dit que 3 a pour antécédents_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ et que –2 a pour antécédents_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ½¾ ¾ ® Exemple 2 : On considèref:xx² + 2x– 3 ´ L'imagede 1 parfest le nombref(1) = 1² + 2 1 – 3 = 0 L'imagede 2 parfest le nombref(2) = L'imagede – 10 parfest le nombref( – 10) = L'(ou les) antécédent(s) de – 3 parfest (sont) le (les) nombre(s)xtel(s) quef(x)= – 3. Pour les déterminer, il faut donc résoudre l'équationx² + 2x– 3 = – 3. Les antécédents de – 3 parf.sont donc les nombres 2.Représentations graphiques (ou courbes représentatives). y Achaque fonctionf, on peut associer sareprésentation graphiqueC (oucourbe représentative) dans un repère orthogonalC (O; I, J). C est l'ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)), oùxest un réel de l'ensemble de définition def. x L'abscissexdécrit l'ensemble de définition D defet l'ordonnée y est l'image dexparf. propriété Soitfune fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. Î Î M(x,y) Céquivaut àx Dety=f(x) –4x–3 Exemple 3: Soitfla fonction définie sur [–4 ; 7] parf(x.) = x² + 1 On veut tracer point par point la courbe représentative def. Pour cela, compléter le tableau de valeur suivant en utilisant la calculatrice. page2
x4 6 71,5 20,5 1–0,5 0–3 –2 –1 –4 f(x)
3.Sens de variation d'une fonction.définitionfest une fonction définie sur un intervalle I. ··Dire quef estcroissanteDire quesur If est décroissanteI sur signifie quepour tous réels a et bsignifie quepour tous réels a et b de I :de I: sia < b alorsf(a)Âf(b) sia < b alorsf(a)Ãf(b) Conséquences Une fonction croissante conserveUne fonction décroissante "inverse" l'ordre :l'ordre : pour tous réels a et b de I,f(a) etpour tousréels a et b de I,f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre quef(b) sont rangés dans l'ordre contraire a et b.de a et b.
oa b
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Remarque : Si, dans la définition, on remplace l'inégalitéf(a)Âf(b) (resp.f(a)Ãf(b)) parf(a) <f(b) (resp.f(a) >f(b)), on dit quefest strictementcroissante sur I (resp. strictementdécroissantesur I). Exemple 4 : On reprend la fonction de l'exemple 3. A l'aide du graphique, dire sur quel intervallefest croissante. Sur quel intervalle fest décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau appelétableau de variationdef. xf4.Notion de minimum et de maximum. définition Soitfune fonction définie sur D son ensemble de définition. Iest un intervalle contenu dans D etx0est un réel de I. ·£ Dire quef(x0) est lemaximumdefsur I signifie que pour toutxde I,f(x)f(x0). ·³ Dire quef(x0) est leminimumdefsur I signifie que pour toutxde I,f(x)f(x0) Exemple :les graphiques cidessous, on donne la représentation graphique des Sur fonctionsfet g. Compléter les phrases suivantes : Le maximum de la fonctionfsur [ 6; 7 ] est .....; il est atteint pourx= ..... Le minimum de la fonctionfsur [ 6; 7 ] est .....; il est atteint pourx= ..... Le maximum de la fonction g sur [ – 5 ; 7] est .....; il est atteint pourx= ..... Le minimum de la fonction g sur [ 5; 7 ] est .....; il est atteint pourx= .....
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Le maximum de la fonctionfsur [ 0 ; 5 ] est ....; il est atteint pourx= ... Le minimum defsur [0; 5] est ...; il est atteint pourx=
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