cours-Chap5-Notion de fonctions

Seconde

Chap 5 : Notion de fonction

1. Définition

D est une partie de IR.
Définir une fonction sur D, c'est associer à chaque réel x de D, un réel et un
seul appelé image de x.
D est appelé l'ensemble de définition de la fonction.


Notations :
• On utilise généralement les lettres f , g, h ... pour désigner une
fonction.

• L'image d'un réel x par f est notée f(x) (on lit : "f de x").

¾¾fi ‰¾¾fi• On écrira indifféremment f : D IR ou plus simplement f : x f (x)
‰¾¾fi x f (x)
pour dire que : f est la fonction de D dans IR qui à tout x de D associe le
réel f (x).

Exemple 1 : Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6
heures à 22 heures pendant la même journée.


t em pérat ur e (en °C )
6

3

t em ps (en h)J
OI 6 8 12 20 22



A chaque instant x de l'intervalle [6 ; 22], on associe un unique résultat y : la
température à cet instant.
S'il fait 11° C à 8 heures, alors f (8) = 11 ; on dit que 11 est l'image de 8 par f .
Compléter : f(10) = _ _ _ _ f(17) = _ _ _ _ _ _ f(22) = _ _ _ _ _ _
Quel est l'ensemble de définition de f ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Vocabulaire :
x est appelé la variable. Dans l'exemple précédent la variable est _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _
Si y est l'image de x par f , alors _ _ _ _ _ _ _ _ _
On dit que x est un antécédent de y par f .


Dans l'exemple cité plus haut, à quelle(s) heure(s) la température est–elle de 3°C ?
_ _ _ _ _ de –2°C ? _ _ _

On dit que 3 a pour antécédents _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
et que –2 a pour antécédents _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
BERTAUD MH – Seconde 3 – 27 ex – 03/12/2002 page 1


‰¾¾fiExemple 2 : On considère f : x x² + 2 x – 3

L'image de 1 par f est le nombre f (1) = 1² + 2·1 – 3 = 0
L'image de 2 par ff (2) =
L'image de – 10 par ff ( – 10) =



L' (ou les) antécédent(s) de – 3 par f est (sont) le (les) nombre(s) x tel(s)
que f (x)= – 3. Pour les déterminer, il faut donc résoudre l'équation x² + 2x – 3 = –
3.









Les antécédents de – 3 par f sont donc les nombres .

2. Représentations graphiques (ou courbes représentatives).

y A chaque fonction f, on peut
associer sa représentation graphique C
(ou courbe représentative) dans un
repère orthogonal C
(O; I, J).

C est l'ensemble des points M de
coordonnées
(x ; f(x)), où x est un réel de
l'ensemble de définition de f.
x
L'abscisse x décrit l'ensemble de
définition D de f et l'ordonnée y est
l'image de x par f.






propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
M(x , y) ˛ C équivaut à x ˛ D et y = f (x)

–4x –3
Exemple 3 : Soit f la fonction définie sur [–4 ; 7] par f(x) = .
x² + 1
On veut tracer point par point la courbe représentative de f .
Pour cela, compléter le tableau de valeur suivant en utilisant la calculatrice.

x –4 –3 –2 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 4 6 7
f(x)
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3. Sens de variation d'une fonction.

définition
f est une fonction définie sur un intervalle I.

• Dire que f est croissante sur I • Dire que f est décroissante sur I
signifie que pour tous réels a et b signifie que pour tous réels a et b
de I : de I:
si a < b alors f (a) Â f (b) si a < b alors f (a) Ã f (b)

Conséquences
Une fonction croissante conserve Une fonction décroissante "inverse"
l'ordre : l'ordre :
pour tous réels a et b de I, f(a) et pour tous réels a et b de I, f(a) et
f(b) sont rangés dans le même ordre que f(b) sont rangés dans l'ordre contraire
a et b. de a et b.

o a b o a b

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Remarque :
Si, dans la définition, on remplace l'inégalité f (a) < f (b) (resp. f (a) > f (b))
par f (a) < f (b) (resp. f (a) > f (b)), on dit que f est strictement croissante sur
I (resp. strictement décroissante sur I).

Exemple 4 : On reprend la fonction de l'exemple 3.
A l'aide du graphique, dire sur quel intervalle f est croissante. Sur quel intervalle
f est décroissante.






On résume ces propriétés dans un tableau appelé tableau de variation de f.

x



f



4. Notion de minimum et de maximum.
définition
Soit f une fonction définie sur D son ensemble de définition.
I est un intervalle contenu dans D et x est un réel de I. 0
• Dire que f (x ) est le maximum de f sur I signifie que pour tout x de I, f (x) £ f 0
(x ). 0
• f (x ) est le minimum de fx de I, f (x) ‡ f 0
(x ) 0

Exemple : Sur les graphiques ci-dessous, on donne la représentation graphique des
fonctions f et g.
Compléter les phrases suivantes :
Le maximum de la fonction f sur [ -6; 7 ]
est .....; il est atteint pour x = .....
Le minimum de la fonction f sur [ -6; 7 ] x = .....
Le maximum de la fonction g sur [ – 5 ; 7] x = .....
Le minimum de la fonction g sur [ -5; 7 ]
est .....; il est atteint pour x = .....
Le maximum de la fonction f sur [ 0 ; 5 ]
est ....; il est atteint pour x = ...
Le minimum de f sur [0; 5] est ...; il est
atteint pour x =



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