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777Autour des groupes de réﬂexions Master 2 Mathématiques fondamentalesCours : Michel Broué Université Paris VII Denis DiderotTD : Vincent Beck Année 2005 2006Représentation des groupes ﬁnis1 G-moduleDéﬁnition 1 G-module. Soient k un corps et G un groupe ﬁni. Un G-module est un k-espace vectorielde dimension ﬁnie muni d’un morphisme de groupe ρ : G→GL(V). Le morphisme ρ est appelé morphismestructurel ou morphisme associé à la structure de G-module de V. On dit alors que V est une représentationde G. Lorsqu’on a besoin de préciser le corps de base, on note kG-module plutôt que G-module.GDéﬁnition 2-morphisme. Soient k un corps, G un groupe ﬁni et V ,V deux G-modules. Pour i = 1,2,1 2on note ρ : G→GL(V ) le morphisme structurel. Un G-morphisme (ou morphisme de G-module) f : V →Vi i 1 2est une application k-linéaire telle que f ◦ρ (g) =ρ (g)◦f pour tout g ∈ G. On note Hom (V ,V ) l’espace1 2 G 1 2vectoriel des G-morphismes de V dans V .1 2Déﬁnition 3 G-isomorphisme. Soientk un corps,G un groupe ﬁni etV ,V deux G-modules etf :V →V1 2 1 2′ ′ ′un G-morphisme. S’il existe un G-morphismef :V →V tel quef◦f = id etf ◦f =id , on dit quef est2 1 V V2 1un G-isomorphisme. On vériﬁe aisément qu’un G-morphisme bijectif est un G-isomorphisme. On dit que V et1V sont G-isomorphes (ou plus simplement isomorphe s’il n’y a pas d’ambiguité) s’il existe un G-isomorphisme2G-mod.f :V →V . On note alors V ≃ V .1 2 1 2Déﬁnition 4 Sous-G-module. Soient k un corps, G un groupe ...

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Autour des groupes de réﬂexions Cours : Michel Broué TD : Vincent Beck

Master 2Mathématiques fondamentales Université Paris VIIDenis Diderot Année 20052006

Représentation des groupes ﬁnis

1Gmodule Déﬁnition 1Gmodule.Soientkun corps etGun groupe ﬁni. UnGmodule est unkespace vectoriel de dimension ﬁnie muni d’un morphisme de groupeρ: G→GL(V). Le morphismeρest appelé morphisme structurel ou morphisme associé à la structure deGmodule deV. On dit alors queVest une représentation deG. Lorsqu’on a besoin de préciser le corps de base, on notekGmodule plutôt queGmodule. Déﬁnition 2Gmorphisme.Soientkun corps,Gun groupe ﬁni etV1,V2deuxGmodules. Pouri= 1,2, on noteρi: G→GL(Vi)le morphisme structurel. UnGmorphisme (ou morphisme deGmodule)f: V1→V2 est une applicationklinéaire telle quef◦ρ1(g) =ρ2(g)◦fpour toutg∈G. On noteHomG(V1,V2)l’espace vectoriel desGmorphismes deV1dansV2. Déﬁnition 3Gisomorphisme.Soientkun corps,Gun groupe ﬁni etV1,V2deuxGmodules etf: V1→V2 ′ ′′ unGmorphisme. S’il existe unGmorphismef: V2→V1tel quef◦f= idV2etf◦f= idV1, on dit quefest unGisomorphisme. On vériﬁe aisément qu’unGmorphisme bijectif est unGisomorphisme. On dit queV1et V2sontGisomorphes (ou plus simplement isomorphe s’il n’y a pas d’ambiguité) s’il existe unGisomorphisme Gmod. f: V1→V2. On note alorsV1≃V2. Déﬁnition 4SousGmodule.Soientkun corps,Gun groupe ﬁni,VunGmodule etρ: G→GL(V)le morphisme structurel. Un sousGmodule deVest un sousespace vectoriel stable parρ(g)pour toutg∈G. Soientkun corps,Gun groupe ﬁni etVunGmodule. Pourx∈Vetg∈V, on utilise les notations suivantes pour désignerρ(g)(x): ρ(g)(x) =ρg(x) =ρgx=gx=g∙x=gVx. Déﬁnition 5Ginvariants.Soientkun corps,Gun groupe ﬁni etVunGmodule. L’ensemble G V ={x∈V,∀g∈G, gx=x} est un sousGmodule deVappelé l’ensemble des invariants (ou desGinvariants) deV. Exercice 1Construction deGmodules.SoientV,V1,V2etWquatreGmodules dont on note respective mentρV, ρ1, ρ2etρWles morphismes structurels. a)Montrer que l’applicationρ, déﬁnie parρ(g) = idkpour toutg∈G, munitkd’une structure deGmodule. b)Déterminer le nombre de classe d’isomorphisme de structure deGmodule surk. ′ ′′ c)SoitVun sousGmodule deV. MunirVetV/Vd’une structure deGmodule. d)Montrer que l’applicationρdéﬁnie par ( G−→GL(Homk(V1,V2)) ρ: −1 g7−→(f7→ρ2(g)◦f◦ρ1(g)) ∗ munitHomk(V1,V2)d’une structure deGmodule. En déduire une structure deGmodule surV. e)Montrer que l’applicationρdéﬁnie par ( G−→GL(V1⊕V2) ρ: g−7→ρ1(g)⊕ρ2(g) munitV1⊕V2d’une structure deGmodule. f)Montrer que l’applicationρdéﬁnie par ( G−→GL(V1⊗V2) ρ: g→7−ρ1(g)⊗ρ2(g) munitV1⊗V2d’une structure deGmodule.

g)Montrer que l’applicationρdéﬁnie par ( G−→GL(Bil(V1×V2,W)) ρ:   −1−1 g→−7B7→(x, y)7→ρW(g)B(ρ1(g)(x), ρ2(g)(y)) munit Bil(V1×V2,W)d’une structure deGmodule. En déduire une structure deGmodule sur Bil(V×V, k). ′ ′′ h)Soitk→kune extension de corps. Munirk⊗Vd’une structure dekGmodule.

Déﬁnition 6Représentation unité.La représentation déﬁnie à la questionade l’exercice 1 s’appelle la représentation unité ou encore la représentation triviale. Lorsqu’est utilisée une structure deGmodule surk sans précision, il s’agit de la représentation unité.

Exercice 2Morphisme.SoientV,V1,V2,WquatreGmodules. a)Montrer queidV∈EndG(V). b)Soientu∈HomG(V,V1)etv∈HomG(V1,V2). Montrer quev◦u∈HomG(V,V2). G GG G c)Soitf∈HomG(V,W), montrer quef(V )⊂W. Sifest unGisomorphisme, montrer quef(V )= W. d)Soitf∈HomG(V,W), montrer queImfetKerfsont des sousGmodules respectivement deWetV. ′ ′ e)SoitVun sousGmodule deV. Montrer que l’inclusioni: V→Vest un morphisme deGmodule. ′ ′ f)SoitVun sousGmodule deV. Montrer que la surjection canoniqueπ: V→V/Vest un morphisme de Gmodule. Montrer aussi que pour toutf∈HomG(V,W)tel quef◦i= 0, il existe une unique application ′ f∈HomG(V/V,W)telle quef◦π=f. ∗ g)Montrer queV1⊗V2etHomk(V1,V2)sontGisomorphes. ∗ ∗∗ ∗ h)Montrer queV1⊗V2,(V1⊗V2), Bil(V1×V2, k)etHomk(V1,V2)sontGisomorphes. i)Montrer queV⊗k,VetHomk(k,V)sontGisomorphes.

Exercice 3SousGmodule.SoientV,V1,V2,WquatreGmodules. G a)DéterminerHomk(V1,V2). G GG b)Montrer que(V1⊕V2V) =1⊕V2. ∗ c)Montrer que le crochet de la dualitéh∙,∙iV,V∈Bil(V×V, k)estGinvariant. ∗ ∗ ∗ d)Montrer que Sym(V,W)est un sousGmodule de Bil(V×V,W). Déterminer le sousGmodule deV⊗V correspondant à Sym(V, k)via l’isomorphisme de la questionhde l’exercice 1. ∗ ∗ e)Montrer que Alt(V,W)est un sousGmodule de Bil(V×V,W). Déterminer le sousGmodule deV⊗V correspondant à Alt(V, k)via l’isomorphisme de la questionhde l’exercice 1. Pour les questionsfetg, on supposecark6= 2. 2∗ ∗∗ ∗ f)Montrer que Sym(V, k)estGisomorphe àS (V )= (V⊗V )/hx⊗y−y⊗x, x,y∈Vi. 2∗ ∗∗ ∗ g)Montrer que Alt(V, k)estGisomorphe à= (VΛ (V )⊗V )/hx⊗x, x∈Vi.

2 Caractère Déﬁnition 7Caractère.SoientVunGmodule etρle morphisme structurel. On appelle caractère de la représentationVet on noteχVla fonction déﬁnie par ( G−→k χV: g7−→tr (ρ(g)). On appelle caractère deGune fonctionχ: G→ktelle qu’il existe unGmoduleVtelle queχ=χV.

Exercice 4Caractère.SoientVetWdeuxGmodules. a)Montrer que siVetWsont isomorphes alorsχV=χW. b)CalculerχV(1). c)Calculerχk. d)CalculerχV⊕W,χV,χV⊗WetχHomk(V,W)en fonction deχVetχW. ∗

Exercice 5Fonctions surG.On appelleRla relation d’équivalence de conjugaison surG: −1 gRh⇐⇒ ∃k∈G, g=khk. On noteF(G, k)(resp.F(G/R, k)) lakalgèbre des fonctions deGdansk(resp. deG/Rdansk). La propriété universelle du quotient permet d’identiﬁerF(G/R, k)à la souskalgèbre deF(G, k)des fonctions centrales c’estàdire la souskalgèbre formée des fonctions constantes sur les classes de conjugaison. a)Montrer que la fonction ( F(G, k)−→F(G, k) σ: −1 F7→−(g7→F(g) ). est un automorphisme de l’espace vectorielF(G, k)stabilisant l’espace des fonctions centrales. b)Soit CarGl’espace vectoriel engendré par les caractères. Montrer que CarGforme une souskalgèbre stable parσde l’espaces des fonctions centrales. On suppose pour la questioncquecarkne divise pas|G|. c)Montrer que la fonction  F(G, k)×F(G, k)−→k  h∙,∙i: 1P1P ′ ′−1′ (F,F )−7→F(g)F (gF() =g)σ(F )(g).  |G| |G| g∈Gg∈G est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et que sa restriction à l’espace des fonctions centrales est non dégénérée.

3 Exemple Exercice 6Représentation d’action de groupe.SoitXun ensemble ﬁni sur lequelGagit. On noteF(X, k) lakalgèbre des fonctions deXdansketexla fonction déﬁnie parex(y) =δxypoury∈X. a)Montrer que la famille(ex)x∈Xforme une base deF(X, k). b)MunirF(X, k)d’une structure deGmodule. Montrer que pour cette structure, on agex=egx. G c)Montrer quedimkF(X, k) =|X/G|. g g d)Montrer queχF(X,k)(g) =|X|oùX ={x∈X, gx=x}.

Déﬁnition 8Représentation régulière.LorsqueGagit sur luimême par multiplication à gauche, la représentation obtenue comme dans l’exercice 6 s’appelle la représentation régulière deG. On noteχregle caractère de la représentation régulière.

Exercice 7Représentation régulière. a)Calculerχreg. Dans la questionb, on suppose quecarkne divise par|G|. b)SoitVunGmodule. Montrer quehχreg, χVi= dimk(V).

4 Semisimplicité

Déﬁnition 9Gmodule irréductible.SoitVunGmodule. On dit queVest irréductible (ou simple) si V6= 0et les seuls sousGmodules deVsont{0}etV. Déﬁnition 10Caractère irréductible.Soitχun caractère deG. On dit queχest irréductible (ou simple) siχest le caractère d’unGmodule irréductible. Déﬁnition 11Gmodule indécomposable.SoitVunGmodule. On dit queVest indécomposable si pour toute décompositionV = V1⊕V2oùV1etV2deux sousGmodules alorsV1= 0ouV2= 0. Déﬁnition 12Gmodule semisimple.SoitVunGmodule. On dit queVest semisimple (ou complètement ′ ′′′ réductible) si pour tout sousGmoduleVdeV, il existe un sousGmoduleVdeVsupplémentaire deV.

Exercice 8Lemme de Schur.SoientV,WdeuxGmodules irréductibles. a)Soitf∈HomG(V,W). Montrer quefest nul ou un isomorphisme. b)En déduire queHomG(V,W) = 0ouVetWsont isomorphes. c)Montrer queEndG(V)est unekalgèbre à division. Pour les questionsdete, on suppose quekest algébriquement clos. d)Montrer quef∈EndG(V)est une homothétie. e)En déduire quedimkHomG(V,W) = 1siVetWsont isomorphes etdimkHomG(V,W) = 0sinon.

Pour les exercices 9 et 10, on suppose quecarkne divise pas|G|. Exercice 9Semisimplicité.SoientV,WdeuxGmodules. On noteρle morphisme structurel associé àV. P −1 G a)Montrer quepV=|G|ρ(g)∈EndG(V)est un projecteur d’imageV. g∈G P G−1 b)En déduire quedimk(V )1k=|G|χV(g) =hχV, χki. g∈G c)Montrer quehχV, χWi= dimkHomG(W,V)1k= dimkHomG(V,W)1k. d)Montrer que sidimkV = 1alorshχV, χVi= 1k. ′ ′ e)Théorème de Maschke. SoientVun sousGmodule deVetpun projecteurklinéaire d’imageV. Montrer, ′ à l’aide depEndk(V)(p), queVadmet un sousGmodule supplémentaire. En déduire queVest semisimple. f)Montrer queVest irréductible si et seulement siVest non nul et indécomposable. g)Montrer queVest somme directe de modules irréductibles. h)En déduire que CarGest engendré par les caractères irréductibles. Exercice 10Orthogonalité.SoientV,WdeuxGmodules. On noteρle morphisme structurel associé àV. a)On suppose queVetWsont irréductibles et ne sont pasGisomorphes. Montrer quehχV, χWi= 0. On suppose pour les questionsb,c,d,e,f,g,hetiquecark= 0. b)Montrer quehχV, χWiest un entier naturel. c)On supposeVetWirréductibles. Montrer les équivalences Gmod. hχV, χWi>0⇐⇒ hχV, χWi 6= 0⇐⇒V≃W⇐⇒χV=χW. d)En déduire que le nombre de classes d’isomorphismes de représentations irréductibles est égal au nombre de caractères irréductibles et que ce nombre est inférieur ou égal au nombre de classes de conjugaison deG. On noteχ1, . . . , χsles caractères irréductibles deGetViunGmodule irréductible de caractèreχi. Tout Gmodule irréductible est doncGisomorphe à un et un seul desVi. s e)Montrer qu’il existe une unique famille(d1(V), . . . , ds(V))∈Ntelle queχV=d1(V)χ1+∙ ∙ ∙+ds(V)χs. L’entierdi(V)s’appelle la multiplicité deVi(ou deχi) dansV(ou dansχV). s P 2 f)Montrer les égalitéshχV, χii=di(V)hχi, χiipour touti∈[1, s]ethχV, χVi=di(V)hχi, χii. i=1 Gmod. g)Montrer les équivalencesV≃W⇐⇒χV=χW⇐⇒ ∀i∈[1, s], di(V) =di(W). reg h)On notedila multiplicité deχidansχreg. Montrer que s2 dim VP(dim V) regi i ∀i∈[1, s], di=et|G|=. hχi, χiii=1hχi, χii i)Montrer que sihχV, χVi= 1alorsVest irréductible. Pour les questionsj,k,l,metn, on suppose quecark= 0etkalgébriquement clos. j)Montrer quehχV, χVi= 1si et seulement siVest irréductible. s P reg2 k)Montrer quedi= dim Vipour touti∈[1, s]et|G|V= (dimi). i=1 P −1 Pour les questionsl,metn,fdésigne une fonction centrale. On déﬁnit alorsϕV=f(g)ρV(g). g∈G −1 l)On suppose queVest irréductible. Montrer queϕVest une homothétie de rapport(|G|dim(V)hf, χVi).

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