cours-algebre-bilineaire4
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6666Exercice I: Soit E un plan Euclidien orient´e.2d d1) Montrer que pour i,j,k∈E tels que||i|| =||j|| =||k|| = 1, on a (i,j) = (i,k) ⇐⇒ (j =k)d2) Montrer que si (i,j) est une base orthonorm´ee directe de E , alors (i,j) =π/2 [2π]23.2.6 Angles de droites vectoriellesDans cette partie E d´esigne un plan vectoriel Euclidien, et Δ l’ensemble des droites vectorielles de E2 2• D´efinition: (Angle de deux droites) La relation sur Δ×Δ:0 0 + 0 0(d,d)R(δ,δ ) ⇐⇒ ∃r∈O (E ),r(d) =δ,r(d) =δ20 0est une relation d’´equivalence. On appelle angle de deux droites d,d de E la classe de (d,d) dans Δ×Δ/R20 +• Lemme: Pour tout couple (d,d) de droites vectorielles de E , il existe un ´el´ement u de O (E ) tel que:2 2+ 0{r∈O (E )|r(d) =d} ={u,−Id◦u}2• Corollaire: (Structure de groupe) L’application qui a` une rotation r associe l’angle des droites (d,r(d))+O (E )2est ind´ependante de la droite d, et induit une bijection entre / et Δ× Δ/R. On munit{Id,−Id}l’ensemble des angles de droites d’une structure de groupe ab´elien telle que la bijection pr´ec´edente devienne +O (E )2un isomorphisme avec / ,◦ .{Id,−Id}Exercice II: Si θ et θ sont 2 angles de droites, expliciter la d´efinition de θ +θ .1 2 1 2 +O (E )2 / /•Proposition: SiE estorient´e,onaunisomorphismecanoniqueentre / ,◦ et(Z /πZ ,+)2 {Id,−Id}/ /• D´efinition: (Mesure d’un angle de droites) La mesure d’un angle de droites est l’´el´ement de Z /πZcorrespondant a` cet angle via les isomorphismes pr´ec´edents.3.2.7 ...
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Exercice I:SoitE2ieor´ent.upnalEncuilidned d 1) Montrer que pouri, j, k∈Etels que||i||=||j||=||k||= 1, on a (i, j) = (i, k)⇐⇒(j=k) d 2) Montrer que si (i, jnubesaoee)ts´eedirecrthonormedetE2, alors (i, j) =π/2 [2π]
3.2.6 Angles de droites vectorielles
Dans cette partieE2Euelidcln,ieetise´dritoecnvlanpeugnΔl’ensemble des droites vectorielles deE2 D´efinition:(Angle de deux droites) La relation sur Δ×Δ: • (d, d0)R(δ, δ0)⇐∃⇒r∈O+(E2), r(d) =δ, r(d0) =δ0 estunerelationd’´equivalence.Onappelleanglededeuxdroitesd, d0deE2la classe de (d, d0) dans Δ×Δ/R •Lemme:Pour tout couple (d, d0) de droites vectorielles deE2l´´euntetenemxesi,liudeO+(E2) tel que: {r∈O+(E2)|r(d) =d0}={u,−Id◦u} •Corollaire:St(ctruedurorge)epupa’Lcilpretoa`nuqniutaoinatiorassocie l’angle des droites (d, r(d)) est independante de la droited, et induit une bijection entreO+(E2)/{Id,−Id}et Δ×Δ/R munit. On ´ l’ensembledesanglesdedroitesd’unestructuredegroupeab´elientellequelabijectionpre´c´edentedevienne un isomorphisme avecO+(E2/){Id,−Id},◦. Exercice II:Siθ1etθ2icitexpltes,droiseednalgno2tsitinednoalrefie´dθ1+θ2. •Proposition:SiE2niisqoumeoernpthi´sem,eocnaanuontsroeitnereO+(E2/){Id,−Id},◦et (Z//πZ/,+) •noit:´Dinfieededangld’unsurerudemaseseL)ortiteoidrdelengna’udtneme´le´’ltsesZeeM(//πZ/ correspondant`acetanglevialesisomorphismespr´ec´edents.
3.2.7 Groupe orthogonal d’un espace Euclidien de dimension 3
Dans cette partie,E3eididednecaplcuEneigesunesd´3,etimensionΣesalonogthoresriseys´mtesnmelbdel’e parrapporta`unplan ´etudedeO+(E3) •Lemme:Pour toutudansO+(E3) 1 est valeur propre deu. Siu6=Id, alors 1 est valeur propre simple. •nfie´D:noitiSiu∈O+(E3), on dit queu Siest une rotation vectorielle.u6=Id, la droite ker(u−Id) est appel´eel’axedeu, et (ker(u−Id))⊥le plan deu. •Proposition:Soitu∈O+(E3)− {Id} plan. LeH= (ker(u−Id))⊥est stable paru, et sa restrictionuH appartient`aO+(H appelle angle de). Onul’angle deuH. •4!’dsnsexa´ffidneren’tsasapsede.LnsLa’ddtioidn’anglesderotatioednoitatnerieound’een´onadE3est insuffisante pour orienterH, on ne peut mesurer l’angle deueptuapstditonneautremenrpen,se`a’uqgisu leconsid´erercommeune´le´mentdeIR/2πZ/. Exercice III:Montrer que siE3rienesto,e´tisteHest un planE3nitairenuevtcuenrroamulad,ln´ond’ee `H´nee’dnuoeiersnte´aetquivalente`aladonontideH. a •:noi´eDitfinemtnlee´edi-tondemtun´uresmed(ot-iU)ruO+(E3) d’angle plat. •Proposition:le´tuoTe´emtnu∈O+(E3seenprodd´ecompo)es,susiΣ.deplDeme´lstnedtiue´2eu6=Id, lesplansdecessyme´triesdoiventcontenirl’axedeu. •Proposition:tT´ou´eelntmeu∈O+(E3)´desmoceesopenproduitdedemi-otrus ´ etude deO−(E3) •Lemme:∀u∈O−(E3):−1 est valeur propre deu. Siu6=−Id, alors−1 est valeur propre simple. •Proposition:∀u∈O−(E3)− {−Id},∃(r, s)∈O+(E3)×Σ, u=r◦s=s◦r plus, si. Deu /∈Σ, ce couple est unique, etretsnomt.planˆeme Exercice IV:Soitu∈enrreimd´etΣ,{(r, s)∈O+(E3)×Σ|u=r◦s=s◦r} Exercice V:ete´Dtndserminerles´el´emeO+(E3) qui sont diagonalisables. Exercice VI:elle valide si l’on ne suppose queLa proposition ci dessus reste u=r◦s Σ =? A-t-onO−(E3)? Exercice VII: Soit(Classification selon l’ensemble des vecteurs invariants).u∈ O(E3). Etudier l’appartenance deuaux ensemblesO+(E3), O−(E3),Σ selon la dimension de l’ensemble des vecteurs invariants paru.
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3.3 Espaces Hermitiens
Dans toute cette partie,Eeund´esignC-espace vectoriel.
3.3.1D´efinitionsetproprie´te´s´ele´mentaires
•:ontiinfie´DAp(ioaticplits)Soiml-snesiaernie´EetF applicationdeux C-espaces vectoriels. UneudeE ¯ dansFsemi-lin´eairesietsidet∀x, y∈E,∀λ∈C, u(x+y) =u(x) +u(y), u(λ.x) =λ.u(x). •Pro:tee´rp´iSiusestrireakee,i-emn´liuet Imusont des espaces vectoriels. •oi:nDe´nfiti(Forme sesquilineaire hermitienne) Une applicationφ:E×E→meorsqsestCeefunrie´naeiuil hermitienne surE∀x, y∈E: i)φ(x, .) est lineaire, ii)φ(., y)estsemi-lin´eairee,itii)φ(x, y) =φ(y, x) ´ •´eDitfinn:io(Forme hermitienne) Une applicationq:E→IR est une forme hermitienne s’il existe une formesesquiline´airehermitienneφtelle que∀x∈E, q(x) =φ(x, x). (NB:φest unique, et on l’appelle forme polaire deq). On a de plus: •poirrPe:´et´(Formules de polarisation)∀x, y∈E:q(x+y) =q(x) +q(y) + 2Re(φ(x, y)) et φ(x, y) =41(q(x+y)−q(x−y)−iq(x+iy) +iq(x−iy)) 3.3.2 Formes quadratiques hermitiennes et bases Dans cette partie,Eigned´esnuC-espace vectoriel de dimension finie •tioi:nDe´nfi(Matrice adjointe) SoitAune matricep×qes.Oplexellenappnietdaojedntieomscac`fficoe Ala matriceA∗=tA.¯ •:noitinefiD´(Matrice hermitienne)A∈ Mn(C) est dite hermitienne (resp anti hermitienne) siA∗=A (respA∗=−A) •nfie´Dn:ioit(Matrice d’une forme hermitienne) Soitqune forme hermitienne surE,φsa forme polaire, et (ei)1≤i≤nune base deE appelle matrice de. Onqdans la base (ei)1≤i≤nla matriceA= (φ(ei, ej))(i,j)∈{1...n}2. •Proposition:Soitqune forme hermitienne surE,Asa matrice dans une base (ei)1≤i≤ndeE, etφla polaire deq. On a alorsA∗=A plus, pour tout. Dex, ydeE, siX, Yennolocn)ordoescoes(enn´ede´neltisng dex, ydans la base (ei)1≤i≤n, alorsq(x) =X∗.A.Xetφ(x, y) =X∗.A.Y •Corollaire:Si (ei)1≤i≤net (ei0)1≤i≤nsont des bases deE, etPla matrice de passage de (ei)1≤i≤na` (ei0)1≤i≤n, alors les matricesAetA0d’une forme hermitienneqdans ces bases sont telles queA0=P∗AP. 3.3.3 Espaces Hermitiens
•´Dfieno:init(esheFormiennrmitpoestitid´esniefi)sevtioSqune forme hermitienne.qest dite positive (resp de´finiepositive)si∀x∈E, q(x)≥0 (resp∀x∈E, x6= 0⇒q(x)>0) •Proposition:(Cauchy-Schwarz) Soitqune forme hermitienne positive surE, de forme polaireφ. On a: ∀x, y∈E,|φ(x, y)| ≤pq(x)pq(y) •Proposition:(Minkowski) Soitqune forme hermitienne positive surE. On a: ∀x, y∈E,pq(x+y)≤pq(x) +pq(y) Exercice VIII:Montrer que siEest de dimension finie, etqest une forme hermitienne positive surE, de matriceAdans une base (ei) deE, alorsqisopevitteisluesenemitsesfinietd´eAest inversible. •Corollaire:Siqfin´eednnieitrmhesrola,evitisopeiestuneformepq(.) est une norme surE. •itnofiein:´D(Espace Hermitien) (E, q) est un espace hermitien siEest un C-espace vectoriel de dimension finie, etquresosepivit´deninfieimreneitneformehuE •Proposition:Si (E, q) est un espace hermitien, alorsEeasebunde`essopq-orthonormale.
3.3.4 Endomorphisme adjoint
•efiD´tini:on(Adjoint d’un endomorphisme) Soit (E, q) un espace hermitien, et (.|.) la polaire deq, et u∈ L(E). Alors∃!v∈ L(E),∀x, y∈E,(u(x)|y) = (x|v(y)).vetspaepntdel´eadjoiu, et on le noteu∗ •Corollaire:(E, q) hermitien, (eiabesu)endem´eeonororthE, alorsmat(u∗,(ei)) = (mat(u,(ei)))∗. •Propri´et´e:∀u, v∈ L(E),∀λ∈C: ∗ u∗∗=u, (u+v)∗=u∗+v∗, (λu)∗=λ¯u∗, (uv)∗=v∗u, siu∈GL(E),(u∗)−1= (u−1)∗ D´efinition:(endomorphisme normal, hermitien, unitaire) (E, q Soit) hermitien.u∈ L(E), on dit queu • est normal siu∗u=uu∗, queuest hermitien siu=u∗, et queuest unitaire siu∗u=uu∗=Id. •n:ioitfinDe´Un={A∈GLn(C)|AA∗=Id}est un sous groupe deGLnC(a)pplee´rguoepitunreai.
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