cours-algebre-bilineaire3
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3.2.3 Orientation d’un espace Euclidien∗Soit E un espace Euclidien de dimension n∈ IN , si (e ) est une base de E et (u ) une famille de n-´el´ementsi i∗de E, on note f l’unique ´el´ement de L(E) tel que 1≤ i≤ n⇒ f (e ) = u , et E = E−{0}(e ),(u ) (e ),(u ) i ii i i i• Proposition: On noteB l’ensemble des bases de E. On d´efinit surB la relation:0 0(e )R(e ) si det(f 0 ) > 0 (Dans ce cas on dit que (e ) et (e ) sont de mˆeme sens)i ii (e ),(e ) ii iAlorsR est une relation d’´equivalence surB etB/R a pour cardinal 2.•D´efinition: (Orientation d’un espace Euclien) Une orientation de E est la donn´ee d’un´el´ement deB/R.Une base (e ) de E sera dite directe si elle appartient `a la classe choisie, sinon on dira que (e ) est indirecte.i i• D´efinition: (Forme volume) Soit E un espace Euclidien orient´e de dimension n. Soit (e ) une base or-inthonorm´eedirectedeE,l’applicationVol : E → IR estind´ependantedelabaseorthonorm´ee(u ) 7→ det(f )i (e ),(u )i idirecte (e ). On l’appelle n-forme volume de E.i•D´efinition: (Produit vectoriel) Soit E un espace Euclidien orient´e de dimension 3, et u,v deux ´el´ementsde E. Il existe un unique vecteur de E not´e u∧ v et appel´e produit vectoriel de u et v, tel que ∀w ∈E,Vol(u,v,w) =< u∧v,w >.• D´efinition: (Produit mixte) Soit E un espace Euclidien orient´e de dimension 3, et u,v,w des ´el´ementsde E, on appelle produit mixte de u,v,w le r´eel < u∧v,w >.0 0Exercice I: Soit E un espace Euclidien de dimension n, et (e ,...,e ), ...
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3.2.3 Orientationd’un espace Euclidien ∗ SoitEun espace Euclidien de dimensionn∈IN, si(ei)est une base deEet(ui)une famille denme´le´-stne ∗ deE, on notefedt´el´emenl’uniqueL(E)tel que1≤i≤n⇒f(ei) =ui, etE=E− {0} (ei),(ui) (ei),(ui) •Proposition:On noteBl’ensemble des bases deEfisnu´ietndr.OBla relation: 0 0 i det(f)>0 (Dansce cas on dit que (ei) et (esemeˆmed)snentso) 0 (ei)R(ei) s(ei),(eii ) AlorsRruqvi’de´ecuslanetuneestionrelaBetB/Ra pour cardinal 2. •fin´eioit:nD(Orientation d’un espace Euclien) Une orientation deE’ued´enndolastetnede´em´nleB/R. Une base (ei) deEecsslaac,sieishoidnononi(euqartedsieradiesierectpprallae`tlaitneei) est indirecte. •e´nfitioi:nD(Forme volume) SoitEesunecaplcuEeidiironisnominededene´tn. Soit(ei) une base or-n thonorme´edirectedeE, l’applicationV ol:E→IRe´dndnepitsesebathorteanladeeem´oron (ui)7→det(f(ei),(ui)) directe (ei). Onl’appellen-forme volume deE. •nfitiDe´oi:n(Produit vectoriel) SoitEemsnoi3ne,tdienorient´edediupsenEecailcuu, vstneme´le´xeud deEexiste un unique vecteur de. IlE´teonu∧vrodul´epappeetdleieevtirotcuetv, tel que∀w∈ E, V ol(u, v, w) =< u∧v, w>. •ion:D´efinit(Produit mixte) SoitEucuilidneenpscaEedidensmeieor´ent3noite,u, v, wsmentel´e´sed deE, on appelle produit mixte deu, v, wel´eerl< u∧>v, w. 0 0 Exercice I:SoitEun espace Euclidien de dimensionn, et (e1, . . . , en−1), et (e ,. . . , e) 2 familles 1n−1 orthonormales.Montrerqu’ilexisteuneuniqueisom´etriepositiveue´moeirtqinusieueenetun´egativs 0 0 telles que pour toutitel que 1≤i≤n−1, on aitu(e) =e e. i iets(ei) =i
3.2.4 Groupeorthogonal du plan EuclidienE2. •Lemme:(Rotations vectorielles) Soitu∈O(E2), etBunebaseomronohtredee´E2a:. On a−b + 22 u∈O(E2)⇐⇒ ∃a, b∈IR, mat(u,Bet) =a+b= 1 b a a b −2 2 u∈O(E2)⇐⇒ ∃a, b∈IR, mat(u,B) =eta+b= 1 b−a + •Corollaire:(O(E2),◦) est un groupe commutatif +0 •Proposition:Siu∈O(E2), etBetBnororohtdse´meebsedsesatnosE2, alors: 0 0 -SiBetBˆmedtnos,snesemeaonmat(u,B) =mat(u,B) a ba b 0 0 -SiBetBsont de sens contraire, etmat(u,Balors) =mat(u,B) = b−a−b a + •Corollaire:SiE2(uoepelrg´t,erienienoclidanEulpnutseO(E2),◦) est canoniquement isomorphe au groupe (U,×) des nombre complexes de module 1. − •Proposition:O(E2sorttrienalehogobmelneesmye´edssoidr.tel’st)erapsppar`troenua
3.2.5 Anglesde vecteurs du plan EuclidienE2 ∗ ∗ •efinition:D´edv2ceetru)snO´d(AnglesniefiartlatelnioRsurE×Epar: 2 2 0 0 0 0+v vu u (u, v)R(u , v)⇐⇒ ∃r∈O(E2),0=r( ),0=r( ) ||u|| ||u|| ||v|| ||v|| ∗ ∗ AlorsRalence,ed’´equiveralitnoseutene(edellelgnao’ltppanu, v) sa classe dans (E×E)/R 2 2 •on:nitiD´efi(Angle d’une rotation) On appelle angle d’une rotation vectorielle planerl’angle des vecteurs (u, r(u),)`ouuest un vecteur non nul quelconque. •Lemme:(Structure de groupe sur l’ensemble des angles de vecteurs) L’application qui a une rotation vectorielle associe son angle est bijective.On peut donc munir l’ensemble des angles d’une structure de groupeab´eliendetellesortequelabijectionpre´ce´dentesoitunisomorphisme:Siθ1etθ2sont 2 angles, et rila rotation d’angleθirap,fie´dnoinitθ1+θ2sera l’angle der2◦r1=r1◦r2. iθ •:eme`roe´hT(admis) La fonctione: (IR,+)→(U,×Deun morphisme de groupe surjectif.) est P n (iθ) θ7→ n! n∈IN plus son noyau est un sous groupe cyclique de (IR,ell)diff+tnede´erpaep.0nOπnpsospluitet´le´nemet strictement positif. + •Corollaire:SiE2eu(seotosinuano,e´tneiriqonanecsmhirpmoO(E2),◦)'(IR/2πZ,+) / •Proposition:(Mesure d’un angle de vecteurs) Soituetvv2ceetruendo’ruinepnlta´nEsuncolninduiles u v E2. Ilexiste une unique rotationrtelle quer= .( )On appelle mesure de l’angle (u, v) l’unique ||u|| ||v|| a b ¯/ iθ ´ele´mentθ∈IR/2πqueZ tela+ib=eest la matrice de, ou`rdans n’importe qu’elle base b−a orthonorme´edirectedeE2.
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