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Plan de cours d¶etaill¶eELM42 Algµebre 3, L2 S3 2009/2010David Vauclair27 avril 2010Table des matiµeres1 Dualit¶e dans les espaces vectoriels de dimension ﬂnie 21.1 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Restriction µa un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Formes bilin¶eaires 42.1 G¶en¶eralit¶es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 D¶eﬂnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Orthogonalit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Applications lin¶eaires associ¶ees aµ une formes bilin¶eaire . . . . . . 52.1.4 Formes bilin¶eaires non d¶eg¶en¶er¶ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Formes bilin¶eaires sym¶etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Matrice et invariants d’une fbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Isotropie et non d¶eg¶en¶erescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Orthogonalit¶e et non d¶eg¶en¶erescence . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Deﬂnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Polyn^omes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Classiﬂcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Plandecoursd´etaille´ ELM42Alge`bre3,L2S32009/2010

David Vauclair 27 avril 2010

Tabledesmatie`res 1Dualit´edanslesespacesvectorielsdedimensionﬁnie2 1.1 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Espace bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3Restrictiona`unsous-espacevectoriel....................3 2Formesbiline´aires4 2.1G´ene´ralit´es..................................4 2.1.1De´ﬁnition...............................4 2.1.2Orthogonalit´e.............................5 2.1.3Applicationsline´airesassoci´ees`auneformesbilin´eaire......5 2.1.4Formesbilin´eairesnonde´ge´ne´re´es..................6 2.2Formesbilin´eairessyme´triques........................7 2.2.1 Matrice et invariants d’une fbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2Isotropieetnond´eg´en´erescence...................9 2.2.3Orthogonalite´etnonde´ge´ne´rescence................10 2.3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Deﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.2Polynˆomesquadratiques.......................12 2.3.3 Classiﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Espaces euclidiens 14 3.1 La structure euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.2 Orientation et produit vectoriel dans E = R n . . . . . . . . . . . 17 3.2.3 Description de O n ( R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3Legroupesym´etrique.............................21 3.4Lade´compositionpolaire...........................22

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