Cours-alg
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COURS D’ALGEBRE AU MAGISTERE DE CACHANMarc HINDRY, Universite Paris 7.hindry@math.jussieu.frA. GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES.A.1. Generalites page 3A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe page 4A.3. Action de groupes page 6A.4. Theoremes de Sylow page 7A.5. Produit semi-direct page 10A.6. Groupes abeliens page 15A.7. Le groupeS page 19nA.8. Le b-a-ba de la classi cation des groupes nis page 23B. ANNEAUX.B.1. Generalites, exemples page 30B.2. Divisibilite et ideaux page 33B.3. Anneaux de polynˆomes page 38B.4. Ensembles algebriques et ideaux de k[X ,...,X ] page 411 nC. CORPS.C.1. Generalites, exemples page 45C.2. Elements algebriques et transcendants page 46C.3. Corps nis page 50D. MODULES.D.1. Generalites, exemples page 52D.2. Modules de type ni sur les anneaux principaux page 53D.3. Facteurs invariants de matrices page 55E. GROUPES CLASSIQUES.1. Formes sesqui-lineaires Geometrie orthogonale, unitaire et symplectique page 602. Les groupes GL(n,K) et SL(n,K) page 643. Groupe orthogonal page 664. Groupe symplectique page 695. Groupe unitaire page 716. Quaternions, arithmetique et groupe orthogonal page 73F. REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS.F.1. Generalites, exemples page 81F.2. Caracteres page 83En un semestre A, B, C et D ont ete traitees et il a ete fait allusion aux parties E et F.1Quelques references choisies.J’utiliserai beaucoup et je recommande comme reference (en particulier ...
Voir
4. Groupe symplectique
3. Groupe orthogonal
6.Quaternions,arithm´etiqueetgroupeorthogonal ´ F. REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS.
5. Groupe unitaire
E. GROUPES CLASSIQUES.
D.3. Facteurs invariants de matrices
2. Les groupes GL(n K) et SL(n K)
1.Formessesqui-line´airesGe´ome´trieorthogonale,unitaireetsymplectique
F.2.Caracte`res
F.1.G´ene´ralit´es,exemples
1
EnunsemestreA,B,CetDont´ete´traite´esetila´et´efaitallusionauxpartiesEetF.
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MarcHINDRY,Universite´Paris7. hindry@math.jussieu.fr
` ` COURS D’ALGEBRE AU MAGISTERE DE CACHAN
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page 81
A.3. Action de groupes
A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe
A.1.Ge´ne´ralite´s
A. GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES.
A.6.Groupesabe´liens
A.7. Le groupeSn A.8. Le b-a-ba de la classification des groupes finis
A.4.The´ore`mesdeSylow
A.5. Produit semi-direct
B.3.Anneauxdepolynoˆmes
B.4.Ensemblesalge´briquesetide´auxdek[X1 . . . Xn C. CORPS.
B. ANNEAUX.
B.1.Ge´n´eralite´s,exemples
C.2.Ele´mentsalge´briquesettranscendants
C.3. Corps finis
]
C.1.G´en´eralite´s,exemples
D.1.Ge´ne´ralite´s,exemples
D.2. Modules de type fini sur les anneaux principaux
D. MODULES.
B.2.Divisibilite´etid´eaux
Quelquesr´efe´renceschoisies.
J’utiliseraibeaucoupetjerecommandecommer´efe´rence(enparticulierpourl’alg`ebrea`l’agr´egation)le
Cours d’al `bre, D. Perrin (collection Ellipses) ge
SauflespartiesDetF,celivretraitetouslesthe`mesabord´esdanscecours. d’alg`ebretraitante´galementl’alge`breline´airejesignale
AlgebrasinoW-setcoiAnddng(colle,S.La.heictr`rt,)yeleesnedse
Parmi les trait´ ´ ´ es generaux
Coursd’alg`ebre´dxurpme`iresenaesrsuntdeaivesud)nnapal,itrauocellect(coHermtionR,meneG.do e nees d’universit´emaislesexercicespermettentd’allerauniveaulicence-maıˆtrise.
Algebratn.oiPneltcci-eertn,M.A(colrtineeuqigogayarttattr),llHada´esp`e
Algebra, Birkhoff & MacLane (collection Chelsea), un classique.
Pourapprofondirlanotiond’actiondegroupes,lesapplications`alage´ome´triecitons
Ele´mentsdeg´eom´etrie.R,Mneimn´e(collectoiCnsaisinf)ioostiteannntiuctrns.f
Pouruneintroductionauxrepr´esentationsdegroupesfinis,ilestdifficiledesurpasser
Repr´esentationslin´eairesdesgroupesfinis, J-P. Serre (collection Hermann).
Pourfinir,jerecommandedejeteruncoupd’oeilauvolumedel’encyclope´dierusse
Basic notions of algebra, I. Shafarevic (collection Springer).
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A. GROUPES ET ACTIONS ET GROUPES
Unepr´esentationdesgroupes,deleursquotientsavecdesexemples.Lanotioncentralepr´esente´eestcelle d’action de groupe.
A.1.Ge´n´eralite´ssurlesgroupes.
D´efinition.Ungroupeest la don ´ d’un ensembleGet d’une loi interneG×G→Gntfiavri´e nee (i)(e´l´ementneutre)Ilexistee∈Gtel que, pour toutg∈G, on aite∗g=g∗e=g. (ii)(associativit´e)Pourtoutg g0 g00∈G, on a (g∗g0)∗g00=g∗(g0∗g00) . (iii)(inversed’un´ele´ment)Pourtoutg∈G, il existeg0∈Gtel que,g0∗g=g∗g0=e.
Remarques. L’ensembleGs’appelle l’ensemble sous-jacent; par abus de langage, on parlera du groupeG, sous-entendant ainsi la loi que l’on notera le plus souvent comme un produit; l’inverse degoralrasee´tons g−1uqsroL.edeperifioiv´elalulsg∗g0=g0∗g, on dira que le groupe estcommutatifouleeinb´aet l’on notera alors parfois la loi comme une addition et l’inverse degrcri’se´a−g.
Exemples.Vousconnaissezd´eja`biensˆurdesgroupescommeZ,ZnZ(munis de l’addition), ouSn(le groupe des permutations surne´´lmeL(tsenuG)onR), le groupe des matrices de taillen×nblesersi`aivn coefficientsre´els.Commeexempleinitial,ajoutonsl’ensembledestransformationsline´airespre´servantune figuredansleplan,l’espaceouplusge´ne´ralementRnstra;ceostnoisnmrtasnofderssosiaid’eull.te´mseir Concre`tementl’ensembledestransformationsline´airesduplanpr´eservantunpolygonere´gulier`anˆot´ces estungroupenote´Dn(dont on montre ci-dessous qu’il est de cardinal 2n); l’ensemble des transformations lin´eairesduplanpr´eservantuncubeestungroupe(dontonpeutmontrerqu’ilestdecardinal48);
Premierscalculs.Dansungroupe,“onpeuttoujourssimplifier”,c’est-`a-direquexy=xzıˆarentney=z. En effet il suffit de multiplier parx−1:
− y=ey= (x−1x)y=x1(xy) =x−1(xz) = (x−1x)z=ez=z.
L’inverse dex−1estxet l’inverse dexyesty−1x−1, en effet :
De´finition.
On axm.x
(xy)(y−1x−1) =x(yy−1)x−1=xex−1=xx−1=e.
e
x . . . x | {z } xn:=(nfois) − x−1. . . x1 | {z } (|n|fois)
sin= 0
sin >0
sin <0
n=xm+net (xm)n=xmn. Siy=gxg−1alorsyn=gxng−1 .
Un sous-ensembleHd’un groupeGest unsous-groupesi la loi de groupe surGinduit une loi de groupe surH.’Cse-ta`d-iresiHtl’´tientconrseeerentuemtnlee´eststablepumrapitlacilnoitas,pgesal’`avein (l’associativite´estalorsautomatique).Onvoitfacilementquecetteconditione´quivaut`adirequee∈Het quex y∈Hrtneenıˆaxy−1∈HmDe.stleeiemel’ierqusectnterdeaimi´mnortdtmesdnoiuoserg-sepuo ˆ est un sous-groupe.
SiSest un sous-ensemble d’un groupeGetlniefid´on´rdnegneepuorg-souseparScomme le plus petit sous-groupe deGcontenantS de tous les sous-groupes contenant l’intersection, i.e.H un exercice. C’est facile de voir que c’est aussi l’ensemble des produitsx11∙ ∙ ∙xrravecr≥0,xi∈Seti=±1.
3
SoitG1etG2seO.orpunfitidne´lexgeudproduit de groupesqui a comme ensemble sous-jacentG1×G2par la loi de composition :
(g1 g2)∗(g10 g20) := (g1g10 g2g20).
Une applicationf:G1→G2entre deux groupes est unhomomorphisme de groupesellesiefiire´v
∀x y∈G1 f(xy) =f(x)f(y);
c’est unisomorphismesi elle est bijective, unautomorphismesi de plusG1=G2 appelle. Onnoyaule sous-groupe Ker(f) ={x∈G1|f(x) =e}etimagele sous-groupef(G1) ={y∈G2| ∃x∈G1 f(x) =y}. Ilestimm´ediatquelecompose´d’homomorphismes(resp.d’isomorphismes,resp.d’automorphismes)est encore un homomorphisme (resp. un isomorphisme, resp. un automorphisme). En particulier l’ensemble des automorphismes d’un groupeGest un groupe que l’on notera Aut(G aussi que la bijection). Remarquons r´ iproque d’un isomorphisme est automatiquement un homomorphisme. ec Exemples. L’applicationx7→x2est un homomorphisme de groupes si et seulement si le groupeGestnieelb´a (i.e. commutatif). Soitx∈G, l’applicationφx:G→Grap´ediefinφx(y) :=xyx−1est un automorphisme appele´ompruaotnteismhireuri´edeG; de plus l’applicationx7→φxdeGdans Aut(G) est un homomorphisme degroupes.L’ensembledesimagesparautomorphismeint´erieurd’un´ele´menty∈Gs’appelle laclasse de conjugaisondey.
De´crivonsmaintenantl’exemplecit´eplushautdegrouped’origineg´eome´trique:legroupedi`edralDn. Th´eor`eme.rguoeLlygounpoesd’planirse´mteisosepeda`reiluge´rennˆcs(´eotn≥3), de centreOa pour cardinal2n; il contientnrotations, les rotations d’angle2kπnet de centreOetnrteimye´ssmy,selsietr´es orthogonales fixant les droites passant parOsnmoemotlumelieietu’uudarneteˆe.
Preuve.Onvoitfacilementquelesisome´triesd´ecritesdansl’e´nonce´laissentinvariantlepolygone,ils’agit ded´emontrerquecesontlesseules.Pourcelaonvautiliserlelemmesuivant(dontonlaisselapreuveen exercice) :
Lemme.Soitsomistr´eplieelanssiaitnaravntnaiunpolygoner´egulei`rauennntcereˆctoe´,sedOet sommets A1 . . . Analors - Sisfixe deux sommets adjacents, alorssde’itles;´eitnt - Sisfixe un sommetAi, alorsseitl’stsoit´tdineltsaseiorrapoppae´myeirtteoi`artdrlaOAi. Soit maintenantσuetsixeli,enogylontitaroneutrieduponeisom´erd’angle 2kπntelle quer◦σ(A1) =A1 (eneffetcesrotationspermutentcirculairementlessommets).Donc,d’apre`slelemme,oubienr◦σ=idet alorsσest une rotation d’angle−2kπnou bienr◦σltseeisamye´rts1aprrapport`aOA1etσ=r−1◦s1. Cela suffit pour voir que card(Dn) = 2nectendirer(ierified´vmrteteepeuq)tnemr−1◦s1est une des sym´etriesd´ecrites.
Remarques. Les rotations forment un sous-groupe deDnisomorphe `ZnZ. Sirest une rotation etsune a ´trie, alorssrs−1=srs=r−1v(e´ectneuelerqromtnredetuepnO.)el-zefiirurpolaceerisilutDnest syme trivial sintaoidna’aplrratongleriap’dteemitsenng´edrdror(ee2π) sinestpairterepr´reuta.Onpinteussi D2herp`amgne(tliseitosomantinvariantunsealpseirtssialseneduproeg´eomisesmmleocZ2Z×Z2Z).
A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe.
On intoduit les notations suivantes, siAetBsont des parties d’un groupeG. A b∈B}edeetemmˆA−1:={a−1|a∈A}. On ´crirag.Apour{g}.A e
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On poseA.B:={a.b|a∈
