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Classe d e 4ème DROITES REMARQUABLES DU T RIANGLECours 1 Médiatricesa) Définition et propriétésDéfinition : la mé diatrice d’un segment [AB] est la droite perp endiculaire à (AB) et passant par lemilieu I de [AB].Propriétés : • la médiatrice d’un segment est un axe de symétrie pour ce segment.• Si N est un point de la médiatrice de [AB] alors NA = NB.• Si NA = NB alors N est un point de la médiatrice de [AB].b) Médiatrices d’un trianglePropriété :Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes. Le point d’intersection est lecentre d’un cercle passant par les trois sommets du triangle.• d1 est la médiatrice de [BC]• d2 est la médiatrice de [AC]• d3 est la médiatrice de [AB]• O est le point d’intersection de d1 et d2démonstrationO appartient à la médiatrice de [BC] donc OB = OCO appartient à la médiatrice de [AC] donc OA = OCainsi • OA = OB et O appartient à d3, la médiatrice de [AB]• O est à égale distance de A, B et CConclusions :• d1, d2 et d3 sont concourantes en O• O est le centre du cercle qui passe par A, B et CDéfinition : Ce cercle s’appelle le cercle circonscrit au triangle. Le triangle est dit inscrit dans le cercle . 2 Hauteursa) DéfinitionDans un triangle EST, la droite perpendiculaire à (ST) et passant parE s’appelle la hauteur issue de E ou relative à [ST].Le point P, intersection de la hauteur issue de E et dela droite (ST), est appelé pied de la hauteur .Classe d e 4ème ...
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DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
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a) Définitionet propriétés Définition : la médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu I de [AB]. Propriétés : ·la médiatrice d’un segment est un axe de symétrie pour ce segment. ·Si N est un point de la médiatrice de [AB] alors NA= NB. ·Si NA = NB alors N est un point de la médiatrice de [AB].
b) Médiatricesd’un triangle Propriété : Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes. Le point d’intersection est le centre d’un cercle passant par les trois sommets du triangle. ·d1 est la médiatrice de [BC] ·d2 est la médiatrice de [AC] ·d3 est la médiatrice de [AB] ·O est le point d’intersection de d1 et d2
démonstration O appartient à la médiatrice de [BC] donc OB= OC O appartient à la médiatrice de [AC] donc OA= OC ainsi ·OA = OB et O appartient à d3, la médiatrice de [AB] ·O est à égale distance de A, B et C Conclusions : ·d1, d2 et d3 sont concourantes en O ·O est le centre du cercle qui passe par A, B et C
Définition : Ce cercle s’appelle lecercle circonscrit au triangle. Le triangle est ditinscrit dans le cercle.
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a) Définition Dans un triangle EST, la droite perpendiculaire à (ST) et passant par E s’appelle la hauteur issue de E ou relative à [ST].
point P, intersection de la hauteur issue de E et de droite (ST), est appelépied de la hauteur.
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DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
b) Orthocentre Propriété : leshauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.
démonstration ABC est triangle On construit : ·la parallèle à (AB) passant par C ·la parallèle à (BC) passant par A ·la parallèle à (AC) passant par B elles se coupent en I, J et K(avec A∈[JK], B∈[IK], C∈[IJ])
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Par définition ·(AK) et (BC) sont parallèles ·(BK) et (AC) sont parallèles donc AKBC est un parallélogramme ainsiAK = BC Par définition ·(AJ) et (BC) sont parallèles ·(CJ) et (AB) sont parallèles donc ABCJ est un parallélogramme ainsiAJ = BC comme A∈[JK] et AK = AJ,A est le milieu de [JK]. de même on montre queB est le milieu de [IK]etC est le milieu de [IJ]. On construit d1, la médiatrice de [JK]. AinsiA appartient à d1car A est le milieu de [JK]. De plus d1 et (JK) sont perpendiculaires, (JK) et (BC) sont parallèles doncd1 est perpendiculaire à (BC). On peut en conclure quedans le triangle ABC, d1 est la hauteur issue du sommet A. de même on montre quedans le triangle ABC, d2 est la hauteur issue du sommet B et d3 est la hauteur issue du sommet C. Or nous savons que les 3 médiatrices d’un triangle sont concourantes,d1, d2 et d3, médiatrices de IJL et hauteurs de ABC, sont concourantes.
Conséquence : Siune droite passe par un sommet et l’orthocentre d’un trianglealorselle est perpendiculaire au côté du triangle opposé à ce sommet. 3eséMnaid
a) Définition
Définition :dans un triangle EGK, le segment dont les extrémités sont le sommet E et le milieu I du côté [GK] s’appellela médianeissue de E ou relative à [GK].
b) Centrede gravité
Propriété :les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelécentre de gravité.
Remarque : Le centre de gravité est situé au deux tiers de la longueur de chaque médiane à partir du sommet. C’est à dire : AG = AJ ; BG = BK ; CG = CI
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DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
démonstration Hypothèses : ·ABC est un triangle ·d2 ou (IB) est une médiane de ABC ·d3 ou (JC) est une médiane de ABC ·G est le point d’intersection de (IB) et (JC) ·M est le symétrique de A par rapport à G On a : d’après le théorème des milieux appliqué aux triangles ACM et ABM : ·(IG) et (CM) sont parallèles ·(JG) et (BM) sont parallèles donc BMCG est un parallélogramme, ses diagonales [GM] et [BC] ont le même milieu K.d1 ou(KA) est une médiane de ABC Conclusion :d1, d2 et d3 sont concourantes en G De plus, on a : GM ·GK1car BMCG est un parallélogramme 2 ·AG1GMcar M est le symétrique de A par rapport à G AG2 alors donc GK1AG1AK 23
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Conséquences :- Siune droite passe par un sommet et le centre de gravité d’un triangle alorselle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu. -Siun point est le point d’intersection de deux médianes d’un triangle alorsil est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets.
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a)Définition Définition : la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet ang Propriété : la bissectrice d’un angle partage cet angle en deux angle même mesure.
b)Équidistance Propriétés : ·Tout point situé sur la bissectrice d’un angle est à égale distance de ses côtés. ·Tout point situé à égale distance des côtés d’un angle appartient à la bissectrice de cet angle.
c)Cercle inscrit Propriété : les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes.
