CHAPITRE1SÉRIESNUMÉRIQUES1.1 GénéralitésDéfinition1.1.1Soit(u )unesuitedenombresréels,onpose:nnXS = u +u +...+u = u .n 0 1 n kk=0Etudierlasériedetermegénéralu ,c’estétudierlasuite(S ).n n(S )estappeléesuitedessommespartiellesdelasérie.nNotation X X Unesériedetermegénéralu estnotée u ou u .n n n n≥01.1.1 ConvergenceDéfinition1.1.2Unesériedetermegénéralu estditeconvergentesilasuite(S )estconvergente.n nDanscecas,lalimitedelasuite(S )estappeléesommedelasérieetonnote:n+∞Xlim S = un nn→+∞n=0Unesériequin’estpasconvergenteestditedivergente.End’autrestermes,sionnoteℓ= lim S onaalors:nn→+∞ X u convergeversℓ⇐⇒ lim S = ℓ n n n→+∞n≥⇐⇒∀ε > 0, ∃N∈N :∀n∈N(n≥ N=⇒|S −ℓ| < ε)n nX ⇐⇒∀ε > 0, ∃N∈N :∀n∈N n≥ N=⇒ u −ℓ < ε . n k=01SÉRIESNUMÉRIQUESExemple1.1.11) Sériegéométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la formenu = a.q ,a, 0.nPourcetypedesérie,lecalculdelasommepartielleestdonnéparlaformulesuivante:2 n 2 nS = u +u ++u = a+a.q+a.q ++a.q = a(1+q+q ++q )n 0 1 n n+11−qa si q, 1= 1−qa(n+1) si q= 1.Onremarqueainsique lim S existesietseulementsi|q| < 1.Danscecaslasériegéométriquenn→+∞+∞X 1 anconvergeetona a.q = a = .1−q 1−qn=01 ∗2) Sérieharmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme u = où n ∈N .n nMontronsquecettesérien’estpasconvergente.Pourcelamontronsqu’ellen’estpasdeCauchy.1 1 1Eneffet,posonsS = + ++ n 1 2 ...
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