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CHAPITRE2SÉRIESENTIÈRES2.1 Sériesentières X Déﬁnition2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions f dont lenntermegénéralestdelaforme f (x)= a x ,où(a ) désigneunesuiteréelleoucomplexen n n net x∈R.X nUne série entière est notée a x . Comme pour les séries de fonctions, on cherchenl’ensemble;  ∞ X nΔ= x∈R : a x converge . n n=0C’estledomainedeconvergencedelasérieentière.Exemple1.∞X nx.n!n=0nxPosons f (x)= etappliquonslecritèredeD’Alembert;nn! f (x) x n+1 lim = lim = 0.Lasérieentièreestabsolumentconvergentepourtout n−→∞ n−→∞f (x) n+1nx∈R;doncΔ=R.Exemple2.∞X nx.2nn=1 n 2 f (x)x nn+1 Posons f (x)= ona: lim = lim x=|x|.n 2 n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nSi|x| < 1,lasérieestabsolumentconvergenteetsi|x| > 1lasériediverge.Etudionslecasoù|x|= 1.∞Xn n |x| 1 x on a f (x) = = La série est alors absolument convergente dans [−1,1];n 2 2 2n n nn=0etalorsΔ= [−1,1]Exemple3.23SÉRIESENTIÈRES∞Xnn!x .n=0 f (x)n+1 Cettesérieneconvergequesix= 0car lim = lim |(n+1)x|etlalimiten’existe n−→∞ n−→∞f (x)nquesi x= 0:d’où:Δ={0}.Exemple4.∞X nx.nn=1 n x f (x) nn+1 Posons f (x) = on a lim = lim x = |x|. Si |x| < 1, la série estn n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nabsolumentconvergenteetsi|x| > 1lasériediverge.Etudionslecasoù|x|= 1. X 1x= 1:c’estlasérieharmonique ,elleestdivergente.n !X n(−1)x=−1:c’estlasérieharmoniquealternée ...

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CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

2.1 Séries entières Déﬁnition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions X f n  dont le terme général est de la forme f n ( x ) = a n x n , où ( a n ) n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R . Une série entière est notée X a n x n  . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’ensemble ;  ∞    x ∈ R Δ =   : n X = 0 a n x n converge      C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ X x n . n ! n = 0 Posons f n ( x ) = xn n !etappliquonslecritèredeD’Alembert; lim f n + 1 ( x ) = n l − i → m ∞  n + x 1 = 0. La série entière est absolument convergente pour tout n −→∞  f n ( x )   x ∈ R ; donc Δ = R . Exemple 2. ∞ x n X n 2 . n = 1 n Posons f n ( x ) = nx 2 on a : n l − i → m ∞  f n f + n 1 (( xx ))  = n l − i → m ∞   nn + 1  2 x  = | x |  Si | x | < 1, la série est absolument convergente et si | x | > 1 la série diverge. Etudions le cas où | x | = 1. a e X on a  f n ( x )  = | xn | 2 n = n 1 2  L séri ∞ xn n 2 est alors absolument convergente dans [ − 1  1] ; n = 0 et alors Δ = [ − 1  1] Exemple 3.

Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit X a n x n  une série entière. On suppose qu’il existe x 0 ∈ R tel que la suite ( a n x 0 n ) soit bornée. Alors : 1. La série X a n x n  est absolument convergente pour | x | < | x 0 | . 2. La série X a n x n  est normalement convergente pour | x | < r, et pour tout r tel que 0 < r < | x 0 | 

geeresquneienvco−nmi∞→0=xilrac∞XeCttseré=nn0x!.nnfsn=)x(onnxilan−→mn∞fn(x+1o’:ù=Δ0{.}xEmelpe4.∞Xn=1xnn.Posoalte|x)1’netimilquteisex:d=0ixes+n(1fx())xnf=lim|(n+n−→∞|x1=x.1=elacos|ùEtudionsdiverge.sal1eiréiste>|x|rgveteenenumontcsbloseatréeil,sax|<1Si|=|x|x1+nn∞→−mnli=x)n()f’où:Δ=[−11[.sectnoevgrneetD.Xée1)(−!,nnleelmrahqinolaeunretc’es=−1:érietlasideveetsetx.grneequnimoll,enX1altse’c:raheirés

2.2 Rayon de convergence d’une série entière Pour les séries entières, la notion de convergence prend une forme assez simple. Théorème 2.2.1 Soit X a n x n  une série entière ; alors il existe un unique nombre réel R ≥ 0 (éventuellement inﬁni) tel que : 1. X a n x n  converge absolument dans ] − R  R [ . 2. X a n x n  diverge si | x | > R.

Preuve.  ∞  Soit I =   r ∈ R + : X a n r n converge   ⊂ R + . I , ∅ car 0 ∈ I .   n = 0   On distinguera trois cas : I = { 0 } , I = R + et { 0 } ⊂ I ⊂ R + . 1) I = { 0 } . On pose R = 0. ∞ Soit x ∈ R ∗ . Ceci implique que | x | > 0 et par suite x < I et la série X | a n x n | diverge. n = 0 ∞ Montrons que X a n x n diverge. Pour cela, on raisonnera par l’absurde. Supposons que n = 0 ∞ X a n x n converge pour | x | > 0. n = 0 X ∞ x 1 n |  Soit x 1 ∈ C tel que 0 < | x 1 | < | x | . La série   n = 0 | a n   est convergente d’après le lemme d’Abel (2.1.1) et donc x 1 ∈ I . D’où la contradiction avec le fait que I = { 0 } . 2) I = R + . On pose R = ∞ . On doit prouver que X a n x n  est absolument convergente pour tout x ∈ R . ∞ La série X | a n | r n converge pour tout r > 0. n = 0 Soit x ∈ R ∗ . Il existe r > 0 tel que | x | < r . Ceci implique | a n x n | ≤ | a n | r n et d’après le théorème de comparaison la série X a n x n  converge absolument. 3) { 0 } ⊂ I ⊂ R ∗ , I , { 0 } et I , R ∗ . a) I est majoré. En e ﬀ et, soit r ∈ R ∗  I et supposons que r n’est pas un majorant de I . Il existerait alors r 1 ∈ I tel r < r 1 . D’après la déﬁnition de I , la série X | a n | r 1 n  est convergente ainsi que X | a n | r n  (car | a n | r n < | a n | r n 1 ) et donc r ∈ I ce qui est en contradiction avec l’hypothèse r ∈ R ∗  I . I est alors un ensemble non vide et majoré donc admet une borne supérieure R = sup I . Pour conclure, on doit prouver que r ∈ I X a n x n  converge absolument pour tout x , | x | < R et diverge pour tout x , | x | > R . b)Soit x ∈ R tel que | x | < R . Il existe ρ ∈ I tel que | x | < ρ < R . Comme la série X | a n | ρ n  converge, X | a n |  | x n |  converge en vertu du théorème de comparaison. X a n x n  est alors absolument convergente. c) Soit x ∈ R , | x | > R . Ceci implique que | x | < I et donc la série X | a n x n |  diverge. 25 M r A  N  -E  .

e,rgveoncxnanX’d

M r A  N  -E  .

Preuve. a) Posons ℓ = lim a n a + n 1  En utilisant le critère de d’Alembert on a : n −→∞   n l − i → m ∞  a n + a 1 n xx nn + 1  = n l − i → m ∞  a n + 1 | x | = ℓ | x | . Ceci implique : a n  α )  ℓ | x | < 1 ⇐⇒| x | <ℓ 1  = ⇒ la série est absolument convergente β )  ℓ | x | > 1 ⇐⇒| x | > 1 ℓ  = ⇒ la série est divergente D’après la remarque (2.2.1), R = ℓ 1. b) Posons ℓ = n l − i → m ∞ n p | a n | . En utilisant le critère de Cauchy : lim n p | a n x n | = ℓ | x | n −→∞ puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on aboutit à la même conclusion ; R = 1 ℓ . Exemple 2.2.1

2.2.1 Détermination du rayon de convergence Lemme 2.2.1 (Lemme d’Hadamard) Soit X a n x n  une série entière. Le rayon de convergence R est donné par la relation : 1 R = n l − i → m ∞  aa nn + 1 = lim n p | a n |  n −→∞

elelsèrpa’dlasé1.1),(2.Abeltsba1neaXxnirenvcogeerlusontmextuo,R∈1petntruoR<|x1|<|vériﬁantx||1I∈O.|xteodcntnoMsnoreuqnxXadinrgvePoe.ruecalo,rniaosnneparl’absurde.Siveon)cntpoteenrg.r≤|x|runxnestnormalemetnd(noacsblo-uemurPouttoR+r∈lqte<reual,RirésaXealanserudnrirteie.4.séridelaturesaceltseR=|x|.3.euepnnùoxoeuutdo2.|.|xR>evgrneetdiverge=⇒XanxnaX⇒nxnx|.1=R<|enumontctaesolbsétcaract:rapésireriséneesnnxXavnreedocdeu’egcn2.2.rqueayon1LereirénaX.nxameRnvcogeeredncaselseatppleréyanoedonvergeo∈R+∪{+∞}crnn||aX+:∈Rnrpus=RerbmoneL1.2on2.niti.Déﬁ<|x|x||1es<Rtoèhh’pynaioclverantctditseiocneeII∈cect|≤R=suprement|x1céseasrianlarons

∞ 1. X x n !. n n = 0 On a a n = n 1!,utilisonslecritèredeD’Alembert: lim a n + 1 = lim ∞  ( nn + !1)!  = n l − i → m ∞  n + 11  = 0, donc le rayon de convergence est n −→∞  a n  n −→ R = ∞ . La série est absolument convergente pour tout x ∈ R . ∞ x n 2. X n 2 . n = 1 2 On a n l − i → m ∞  aa nn + 1  = n l − i → m ∞  n + n 1  = 1. Le rayon de convergence est R = 1. La série est absolument convergente pour tout | x | < 1 et divergente si | x | > 1. ∞ x n . X 2 n 3 . n = 0 Le critère de Cauchy donne : n l − i → m n r 21 n = 12,lerayondeconvergenceest R = 2. La série est absolument ∞ convergente pour tout | x | < 2 et divergente si | x | > 2. Remarque 2.2.2 Soit φ une application de N dans N , la série suivante X a n x ϕ ( n )  est une série entière. On commence par calculer directement la limite suivante ; ( n + 1) ℓ = lim a n + 1 x ϕ ( n ) = lim a n + 1   n l − i → m ∞ | x | ϕ ( n + 1) − ϕ ( n ) n −→∞  a n x ϕ  n −→∞  a n puis chercher le domaine de x où ℓ < 1 ; R est donc sup n ℓ ∈ R + = R + ∪ {∞} o , où notre série converge. Exemple : Trouver le rayon de convergence de la série : X 3 n x 2 n + 5   Dans notre cas ϕ ( n ) = 2 n + 5,

3 n + 1 x 2 n + 7 ℓ = n l − i → m ∞  3 n x 2 n + 5  = 3 | x | 2  La série converge si 3 | x | 2 < 1 ⇐⇒| x | < √ 33d’oùlerayondeconvergenceest: R = √ 33. La série est absolument convergente pour tout | x | < √ 33etdivergentesi | x | > √ 33.

2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 27 M r A  N  -E  .

2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit X a n x n  une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ f :] − R  R [ 7−→ R la fonction déﬁnie par f ( x ) = X a n x n , f est alors continue. n = 0 Preuve. Soit 0 < r < R . Pour tout n ∈ N , les fonctions f n ( x ) = a n x n sont continues dans [ − R  R ] et puisque la convergence est normale donc uniforme dans [ − r  r ], f est alors continue dans [ − r  r ] pour tout r , 0 < r < R . Elle est donc continue dans ] − R  R [.

2.3.2 Dérivée d’une série entière Déﬁnition 2.3.1 Une fonction f : R 7−→ R est dite dérivable en x 0 ∈ R si lim f ( xx ) −− xf ( x 0 )existe.Onlanote f ′ ( x 0 ). x −→ x 0 0 Déﬁnition 2.3.2 Une fonction f est dite de classe C n sur un intervalle I de R , si sa dérivée d’ordre n est une fonction continue sur I. On notera alors que f ∈ C n ( I ) . Si elle est indéﬁniment (ou inﬁniment) dérivable, on dira alors qu’elle est de classe C-inﬁnie et on écrira que f ∈ C ∞ ( I ) . Par contre f ∈ C 0 ( I ) , signiﬁe que f est seulement continue sur I. Proposition 2.3.2 Soit X a n x n  une série entière de rayon de convergence R, et soit ∞ f :] − R  R [ 7−→ R la fonction déﬁnie par f ( x ) = X a n x n . Alors f est dérivable et n = 0 ∞ on a f ′ ( x ) = X na n x n − 1 . n = 1 Preuve. n Soient les fonctions S n :] − R  R [ 7−→ R déﬁnies par S n ( x ) = X a k x k . Ces fonctions k = 0 possèdent les propriétés suivantes : i) lim a con . n −→∞ S n ( x ) = f ( x ) pour tout x ∈ ] − R  R [ et l vergence est absolue donc simple n ii) ∀ n ∈ N , S n est dérivable et on a S ′ n ( x ) = X ka k x k − 1 . k = 1 iii) Le rayon de convergence de X na n x n − 1  est R car n l − im( n + 1) a n + 1 lim  aa nn + 1  = = →∞  na n  n −→∞ 1 R . La suite ( S ′ n ) n est uniformément convergente dans [ − r  r ]. ∞ f est dérivable et on a f ′ ( x ) = n l − i → m ∞ S n ( x ) = X na n x n − 1 ∀ x ∈ [ − r  r ] et ∀ r ∈ ]0  R [. n = 1 ∞ Donc f ′ ( x ) = n l − i → m ∞ S n ( x ) = X na n x n − 1  ∀ x ∈ ] − R  R [. n = 1 M r A  N  -E  .

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