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¾W¨W¾W˙˘WW¾¨--¾˙W˙W˘W˙¨1. Rappels de 1ere sur les evenements Une expérience aléatoire est un expérience dont les résultats sont dus au hasard. Exemple : On lance un dé cubique et on lit le nombre sur la face supérieure. Chaque résultat est une issue. Exemple : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 sont les issues du lancer de dé.. L’ensemble de toutes les issues est l’univers des possibles noté . Exemple : = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;6 }. Un évènement est une partie ou sous ensemble de l’univers . Exemple : « Obtenir un résultat pair » est l’événement { 2 ; 4 ; 6 } . est l’évènement certain . { } = Ø (ensemble vide ) est l’événement impossible. Exemple : « Obtenir 8 » est un événement impossible. L’événement A ou B noté A B est l’événement constitué des éventualités qui sont dans A ou dans B. L’événement A et B noté A B est l’événement constitué des éventualités qui sont dans A et dans B Deux évènements A et B sont incompatibles si leur intersection est vide (ils n’ont aucune issue commune ) Exemple : « Obtenir un nombre pair » et « obtenir 3 » sont deux évènements incompatibles. Si A est un événement , l’évènement contraire de A noté A est l’évènement constitué par toutes les éventualités qui n’appartiennent pas à A. Exemple: si A est «obtenir un résultat impair » ( A= { 1 ; 3 ; 5}) alors A est « obtenir un résultat pair » soit (A = { 2 ; 4 ; 6 }). 2. Rappels de 1ere sur les ...
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Français
Uneexpérience aléatoireest un expérience dont les résultats sont dus au hasard. Exemple : On lance un dé cubique et on lit le nombre sur la face supérieure. Chaque résultat est uneissue. Exemple : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 sont les issues du lancer de dé.. L’ensemble de toutes les issues est l’universdes possibles notéW. Exemple :W2 ; 3 ; 4 ; 5 ;6 }.= { 1 ; Unévènement ou sous ensemble de l’universest une partieW. Exemple : « Obtenir un résultat pair » est l’événement { 2 ; 4 ; 6 } . Westl’évènement certain . { } = Ø (ensemble vide ) estl’événement impossible : « Obtenir 8 » est un événement impossible.. Exemple L’événement A ou B noté AÈ constitué des éventualités qui sont dans A ou dans B.B est l’événement L’événement A et B noté AÇ l’événementB est constitué des éventualités qui sont dans A et dans B Deux évènements A et B sont incompatiblessi leur intersection est vide (ils n’ont aucune issue commune ) Exemple : « Obtenir un nombre pair » et « obtenir 3 » sont deux évènements incompatibles.
Si A est un événement ,l’évènement contrairede A notéA est l’évènement constitué par toutes les éventualités qui n’appartiennent pas à A. Exemple: si A est «obtenir un résultat impair » ( A= { 1 ; 3 ; 5}) ¾ ¾
alors A est « obtenir un résultat pair » soit (A = { 2 ; 4 ; 6 }). 1. Définition On définit une probabilitépsur un universWen associant à chaque événement A deWun nombre compris entre 0 et 1 appeléprobabilité de A, notép(A) , tel que : La probabilité de l’évènement certain est 1 :p(W) = 1. probabilité de l’évènement impossible est 0 :La p(Æ) = 0. La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des issues de A. Exercice. .e puréeirua face snu sur l oréetboel emun obn rvsee qu oetucibd é enualcnOn Ce dé est pi pé de f açon que: p(1) = p(2) = 0,1 ; p(3) = p(4) = 0,15 ; p(5) = p(6) = a. 1. Calculer a. 2. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de trois. 2. Propriétés Si A et B sont deux parties deWalorsp(AÈB) =p(A) +p(B)% p(AÇB) Si A et B sont deux évènements incompatibles ( AÇB =Æ) alors ppA A((ÇÈ 0B) = = )B p+ ) A( p(B) ¾ ¾ Si A est un événement et A son événement contraire alorsp(A) = 1 % p(A) 3. ité iuqElibaborp Lorsque toutes les issues d’un univers ont la même probabilité, on dit qu’il y a loi équirépartie . Dans ce cas, la probabilité d'un évènement A est donnée par : nombre d'issues de A ion de A P ( A ) = On dit aussi P ( A ) = nombre de cas favorables à la réalisat nombre toal d'issues . nombre de cas possibles Remarques : Les expressions suivantes « dé parfait ou équilibré » , « boule tirée de l’urne au hasard » , « boules indiscernables »
indiquent que pour les expériences réalisées, le modèle associé est l’équiprobabilité.
D Dans un lycée de 1000 élèves, 45% des élèves sont des filles, 55% des garçons. Parmi les filles, 30% sont internes et 70% externes. Parmi les garçons, 60% sont internes et 40% externes. On considère les événements suivants : F : " l'élève est une fille " G : " l'élève est un garçon " I : " l'élève est interne " E : " l'élève est externe " Indiquer p(F) ; p(G) . Parmi les filles, 30% sont internes . On a donc
.. = 0,30
Que calculeton lorsqu'on calcule p(FÇ I) ? Calculer cette probabilité .
Soient A et B deux événements de probabilités p(A) et p(B) avec p(A)¹0 Définition : Si p(A)¹ 0, le sachant que l'évènement A est réalisé B on appelle probabilité conditionnelle de l'évènement nombre, noté pA p(B) , défini parA(B) p( (Ap =AÇB) .) Cette égalité s’écrit également : P (A∩B) = PA(B)´P(A). Remarque : Lorsque p (B)¹0, on a aussi pB
.. ce que l’on peut écrire
.
.. ,(A) = Ainsi, si p(A! ¹ 0 p et(B! ¹ 0 a p, on(A ÇB! 1p(A! ´pA(B! 1 p(B! ´pB(A!.
Propriété : Etant donnés deux événements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : PA(B) + PA( B ) = 1. p(B )) + p( = 1 p(B branche est pondérée par la) p( Chaque )
pB(A) + pB(A) = 1 ¾ et pB(A) pB(A) pB¾(A) pB¾(A) (A) + pB¾(A 1) = ¾ pB
probabilité de l’événement
Chaque branche est pondérée par
la probabilité conditionnelle
AA AA AÇB A Ç B AÇ A Ç La succession de deux branches représente l'événement intersection . Leur probabilité est le produitdes probabilités inscrites sur les deux branches précédentes. Règle des nœudsLa somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud est égale à 1. On a :p(A) =p(AÇB) +p(AÇ ) etp(A) =p(A ÇB) +p(A Ç )
Un sondage effectué dans une région à propos de la pose d'éoliennes a donné les résultats suivants • 65 % des personnes interrogées sont contre les éoliennes ; • parmi les personnes qui sont contre cette réalisation, 20 % sont des écologistes ; • parmi les personnes favorables à cette réalisation, 70 % sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard. On note F l'événement : « La personne est favorable aux éoliennes » et E l'événement « La personne est écologiste ». 1. Traduire, à l'aide des événements E et F, les données de l'énoncé en terme de probabilités. 2. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre pondéré . 3. a. Calculer la probabilité que la personne soit favorable aux éoliennes et écologiste. b. Calculer la probabilité que la personne soit contre les éoliennes et écologiste. c. En déduire que la probabilité que la personne soit écologiste est 37,5 %. 4. Quelle est la probabilité que la personne soit favorable aux éoliennes sachant qu'elle est écologiste ? Un sondage effectué dans une région à propos de la pose d'éoliennes a donné les résultats suivants • 65 % des personnes interrogées sont contre les éoliennes ; • parmi les personnes qui sont contre cette réalisation, 20 % sont des écologistes ; • parmi les personnes favorables à cette réalisation, 70 % sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard. On note F l'événement : « La personne est favorable aux éoliennes » et E l'événement « La personne est écologiste ». 1. Traduire, à l'aide des événements E et F, les données de l'énoncé en terme de probabilités. 2. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre pondéré . 3. a. Calculer la probabilité que la personne soit favorable aux éoliennes et écologiste. b. Calculer la probabilité que la personne soit contre les éoliennes et écologiste. c. En déduire que la probabilité que la personne soit écologiste est 37,5 %. 4. aux éoliennes sachant qu'elle est écologiste ?Quelle est la probabilité que la personne soit favorable
Un sondage effectué dans une région à propos de la pose d'éoliennes a donné les résultats suivants • 65 % des personnes interrogées sont contre les éoliennes ; • parmi les personnes qui sont contre cette réalisation, 20 % sont des écologistes ; • parmi les personnes favorables à cette réalisation, 70 % sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard. On note F l'événement : « La personne est favorable aux éoliennes » et E l'événement « La personne est écologiste ». 1. Traduire, à l'aide des événements E et F, les données de l'énoncé en terme de probabilités. 2. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre pondéré . 3. a. Calculer la probabilité que la personne soit favorable aux éoliennes et écologiste. b. Calculer la probabilité que la personne soit contre les éoliennes et écologiste. c. En déduire que la probabilité que la personne soit écologiste est 37,5 %. 4. aux éoliennes sachant qu'elle est écologiste ?Quelle est la probabilité que la personne soit favorable Un sondage effectué dans une région à propos de la pose d'éoliennes a donné les résultats suivants • 65 % des personnes interrogées sont contre les éoliennes ; • parmi les personnes qui sont contre cette réalisation, 20 % sont des écologistes ; • parmi les personnes favorables à cette réalisation, 70 % sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard. On note F l'événement : « La personne est favorable aux éoliennes » et E l'événement « La personne est écologiste ». 1. Traduire, à l'aide des événements E et F, les données de l'énoncé en terme de probabilités. 2. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre pondéré . 3. a. la probabilité que la personne soit favorable aux éoliennes et écologiste.Calculer b. Calculer la probabilité que la personne soit contre les éoliennes et écologiste. c. En déduire que la probabilité que la personne soit écologiste est 37,5 %. 4. Quelle est la probabilité que la personne soit favorable aux éoliennes sachant qu'elle est écologiste ?
4 Dé D xéVè M S Une loi de probabilité est définie sur l'ensemble E des issues d'une expérience aléatoire. Définition : A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre. Soit : pA(B) =p(B) ou pB(A) =p(A) . On a : A et B sont indépendants équivaut donc àp(AÇB) =p(A)´ p(B). Exemple : On choisit une carte dans un jeu de 32 cartes . On note A l'événement : " la carte tirée est un as " et B l'événement : " la carte tirée est un pique ". AÇB est réalisé par une seule issue
.
... donc p (AÇB) =
. D'autre part p (A) =
..
et p (B) =
..
.Or
.. donc p (AÇB) = p (A)´p les évènements A et B sont indépendants.(B) et Remarque : Il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité. Soient A et B deux évènements de E. A et B sont indépendants si et seulement sip(AÇB) =p(A)´ p(B). A et B sont incompatibles si et seulement si AÇB =Æ ( et alorsp(AÇB) =
.) Exercice : On lance simultanément un dé vert et un dé rouge et on considère les évènements : A : " la somme des nombres est 7" B : " on a obtenu au moins un 3 " 1. Définir l’évènement AÇB . 2. Les évènements A et B sontils incompatibles ?
3. Les évènements A et B sontils indépendants ? 4 Dé D xéVè M S Une loi de probabilité est définie sur l'ensemble E des issues d'une expérience aléatoire. Définition : A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre. Soit : pA(B) =p p(B) ouB(A) =p(A) . On a : A et B sont indépendants équivaut donc àp(AÇB) =p(A)´ p(B). Exemple : On choisit une carte dans un jeu de 32 cartes . On note A l'événement : " la carte tirée est un as " et B l'événement : " la carte tirée est un pique ". AÇB est réalisé par une seule issue
.
... donc p (AÇB) =
. D'autre part p (A) =
..
et p (B) =
..
.Or
.. donc p (AÇB) = p (A)´p (B) et les évènements A et B sont indépendants. Remarque : Il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité. Soient A et B deux évènements de E. A et B sont indépendants si et seulement sip(AÇB) =p(A)´ p(B). A et B sont incompatibles si et seulement si AÇB =Æ ( et alorsp(AÇB) =
.) Exercice : On lance simultanément un dé vert et un dé rouge et on considère les évènements : A : " la somme des nombres est 7" B : " on a obtenu au moins un 3 " 1. Définir l’évènement AÇB . 2. Les évènements A et B sontils incompatibles ? 3. Les évènements A et B sontils indépendants ?
